Sonstige Aufgaben zum Thema lineare Gleichungssysteme
Wie gut kennst du dich mit linearen Gleichungssystemen aus? Hier findest du gemischte Aufgaben rund ums Thema LGS.
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FĂŒr welche Werte von a ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?
âx1âx1ââ2x1ââ++ââ2x2â+4x2â+3x2âââx3â3x3âx3ââ===â24aâ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Das LGS lĂ€sst sich als Matrix aufschreiben und mit dem GauĂ-Jordan-Algorithmus vereinfachen.
â11â2â24â3â13â1ââ24aââ
â100â221â121ââ22a+4ââ
â100â210â110ââ2a+42â2(a+4)ââ
Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthĂ€lt, gilt 0=2â2(a+4) bzw. a=â3. Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können x3â beliebig wĂ€hlen, z. B. x3â=z. Wir fĂŒgen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen a=â3.
â100â210â111ââ2â3+4zââ
â100â010â001ââz1âzzââ
Das heiĂt, es gilt a=â3 sowie x1â=z, x2â=1âz und x3â=z mit zâR.
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Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
(I) (II) ââx1â2x1ââ+ââ2x2âx2ââ==â22â
Löse das System zunÀchst graphisch.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Löse Gleichung (I) nach x2â auf:
x2â=21ââ x1â+1
Die Gerade hat die Steigung m=21ââ und den x2â-Achsenabschnitt 1.
Zeichne die Gerade ein.
In der Abbildung ist es die violette Gerade.
Löse Gleichung (II) nach x2â auf:
x2â=2â x1ââ2
Die Gerade hat die Steigung m=2 und den x2â-Achsenabschnitt â2.
Zeichne die Gerade ein.
In der Abbildung ist es die rote Gerade.
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt S(2âŁ2).
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Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mit einem Verfahren deiner Wahl.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren
Bei der Lösung zu 1 hast du die beiden Gleichungen x2â=21ââ x1â+1 und x2â=2â x1ââ2 erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.
21ââ x1â+1 = 2â x1ââ2 +2 â Löse nach x1â auf.
21ââ x1â+3 = 2â x1â â21ââ x1â 3 = 23ââ x1â â 32â 2 = x1â Setze x1â=2 in eine der beiden Gleichungen ein und berechne x2â.
x2â=21ââ x1â+1âx2â=21ââ 2+1=2
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung L={(2âŁ2)}.
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
Bei der Lösung zu 1 hast du die Gleichung x2â=21ââ x1â+1 erhalten. Setze x2â in Gleichung (II) ein:
2â x1ââx2â = 2 â Setze x2â=21ââ x1â+1 ein.
2â x1ââ(21ââ x1â+1) = 2 â Löse die Klammer auf.
2â x1ââ21ââ x1ââ1 = 2 +1 â Löse nach x1â auf.
23ââ x1â = 3 â 32â x1â = 2 Setze x1â=2 in eine der beiden Gleichungen ein und berechne x2â.
x2â=21ââ x1â+1âx2â=21ââ 2+1=2
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung L={(2âŁ2)}.
Lösung mit dem Additionsverfahren
(I) (II) ââx1â2x1ââ+ââ2x2âx2ââ==â22â
Beseitige z.B. die Variable x1â, indem du rechnest: 2â (I)+(II)
â4x2ââx2â=4+2â3x2â=6âx2â=2
Setze den berechneten Wert x2â=2 z.B. in Gleichung (II) ein:
â2x1ââ2=2â2x1â=4âx1â=2
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung L={(2âŁ2)}.
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Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen stehen mehrere Verfahren zur VerfĂŒgung, das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.
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