🎓 Ui, schon PrĂŒfungszeit? Hier geht's zur Mathe-PrĂŒfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Summenzeichen

Nachfolgend soll das Summenzeichen erlĂ€utert werden, eine oft in Formeln genutzte praktische AbkĂŒrzungsweise fĂŒr systematisch gebildete Summen.

Das Symbol der Summe ist ∑\sum_{ }^{ }.

Idee des Summenzeichens

Es gibt Mengen von Zahlen, welche einer bestimmten GesetzmĂ€ĂŸigkeit gehorchen. Man sagt dann auch, es gibt ein Bildungsgesetz, welches erklĂ€rt, wie man die einzelnen Zahlen erhĂ€lt. Beispiele fĂŒr Bildungsgesetze sind die folgenden:

Möchte man nun eine Menge von Zahlen, welche nach einem Bildungsgesetz gebildet wurden, addieren, so ist das Summenzeichen hierbei eine praktische AbkĂŒrzung.

Will man zum Beispiel alle Quadratzahlen der Zahlen von 1 bis 100 addieren, so schreibt man normal:

Da es sich bei dieser Schreibweise aber um eine sehr lange Summe handelt, hat sich eine AbkĂŒrzung mittels des Summenzeichens durchgesetzt. Diese verwendet den großen griechischen Buchstaben ÎŁ\Sigma (Sigma) als Symbol.

In der Schreibweise mit dem ÎŁ\Sigma sieht das obige Beispiel so aus:

Man erhÀlt aus dieser Schreibweise die lange Kette von Additionen so:

  • Beginne unter dem ÎŁ\Sigma mit dem Wert i=1i=1 und setze diesen in den Term rechts ein.

  • Erhöhe den Wert von ii unter dem ÎŁ\Sigma um eins (nun ist also i=2i = 2).

  • Schreibe ein + und wiederhole nun die ersten drei Schritte bis ii gleich dem Wert ĂŒber dem ÎŁ\Sigma ist (also i=100i=100).

  • Setze ein letztes Mal ii (also 100) in den Term rechts ein.

So erhÀlt man:

In allgemeiner Form sieht das Summenzeichen ÎŁ\Sigma so aus:

Dabei sind die einzelnen Bezeichner:

  • mm ist der Startwert, also der kleinste Wert, welcher fĂŒr ii eingesetzt werden soll.

  • nn ist die obere Grenze, also der grĂ¶ĂŸte Wert, welcher fĂŒr ii eingesetzt werden soll.

  • ii ist der Laufindex, da fĂŒr ii alle natĂŒrlichen Zahlen zwischen mm und nn eingesetzt werden (ii durchlĂ€uft also die natĂŒrlichen Zahlen von nn bis mm).

  • aia_i ist der Term bezĂŒglich des Laufindexes, womit die Zahlen, welche man addieren will, erzeugt werden, also das Bildungsgesetz.

Beispiel

Immer wieder wird eine Geschichte ĂŒber das mathematische Wunderkind Carl Friedrich Gauß erzĂ€hlt (siehe Wikipedia-Artikel ĂŒber Gauß). Angeblich hat sich Folgendes zugetragen:

Der Grundschullehrer von Gauß’ Klasse wollte die SchĂŒler eines Tages beschĂ€ftigt wissen. Deshalb gab er ihnen eine Aufgabe, von der er glaubte, ihre Lösung wĂ€re mĂŒhevoll und wĂŒrde viel Zeit in Anspruch nehmen. Er forderte sie auf, die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu bestimmen.

Aber schon nach kurzer Zeit meldete sich Gauß mit dem richtigen Ergebnis! Der Lehrer war baff!

Gauß hatte sich sinngemĂ€ĂŸ Folgendes ĂŒberlegt: Gesucht ist die Summe ss der ganzen Zahlen von 1 bis 100.

Also gilt

Die Reihenfolge der Summanden spielt wie immer keine Rolle. Man kann sie daher umkehren. Also kann man auch schreiben:

Addiert man diese beiden Gleichungen und rechnet auf der rechten Seite die jeweils direkt ĂŒbereinander stehenden Zahlen zusammen, so erhĂ€lt man

Also ist

Wie wĂŒrde man dies unter Verwendung des Summenzeichens ausdrĂŒcken?

Dabei sollte man beachten, dass diese Summation nur deshalb so möglich ist, weil der Index in beiden FÀllen beim gleichen Wert startet und endet.

Außerdem kann man an diesem Beispiel sehen, mit welcher Technik man den Index abwĂ€rts laufen lassen kann: Man subtrahiert vom Maximalwert(hier beginnend mit 11, deshalb muss von 101101 abgezogen werden).

Mehrfachverwendung

Manchmal benötigt man zwei oder mehr Indizes.

Zum Beispiel kann man die ersten 100 Zahlen auch wie folgt aufsummieren:

Das Beispiel mag etwas kĂŒnstlich erscheinen, aber es demonstriert die gestufte Anwendung.

Grammatikalische Anmerkung – Plural von Index

FĂŒr das Wort Index gibt es zwei Arten der Plural- und damit auch der Genitivbildung.

Wird das Wort – wie hier – verwendet zur Unterscheidung mathematischer Terme, lautet der Plural Indizes und der Genitiv Index.

Bei manch anderen Verwendungen (zum Beispiel bei gebannten BĂŒchern – auf dem Index – oder in der Informatik – der Index einer Datenbank) lautet der Plural die Indexe, der Genitiv des Indexes.

Bei den zugehörigen TÀtigkeitswörtern ist es Àhnlich: Man indexiert eine Datenbank, aber man indiziert eine Zeitreihe.

Mehr zu diesem Thema findet man an dieser Stelle im Duden.


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?