Achsensymmetrie zur y-Achse

Jede ganzrationale Funktion, bei der die Variable

• nur in Potenzen mit geradem Exponenten vorkommt,

ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beispiel für einen Graphen, der achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Jede ganzrationale Funktion, bei der die Variable

• nur in Potenzen mit ungeradem Exponenten vorkommt,

ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

Beispiel für einen Graphen, der punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Keine Symmetrie zum Koordinatensystem

Wenn in einer ganzrationalen Funktion die Variable

• als Potenz mit geradem Exponenten

und außerdem auch

• als Potenz mit ungeradem Exponenten vorkommt,

ist der Graph weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel für einen Graphen, der keine Symmetrie zum Koordinatensystem aufweist

Ob es Achsensymmetrie zu einer anderen Achse als der y-Achse oder Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung gibt, ist eine andere Frage, die schwieriger zu beantworten ist und hier nicht behandelt werden soll.

Wie das Ausrechnen der Nullstellen aus der Gleichung geht, hängt natürlich immer von der Art der Funktion ab.

Gibt es denn da gar keine allgemeine Regel, die immer funktioniert?

Eine allgemeine Regel, die immer in der gleichen Weise funktioniert, gibt es da nicht.

Aber ein paar Tipps - oder eine Art "Anleitung", die (fast) immer funktioniert - kann ich dir für solche Polynomfunktionen, wie unser $ff$ es ist, schon geben:

Falls in der Gleichung überhaupt kein $x^2,x^3\dots x^2,\; x^3\dots$ usw. vorkommt, dann

• stellst du die Gleichung einfach nach $xx$ um.

Wenn $x^{2}x^2$ die höchste vorkommende x-Potenz ist, kannst du

• die Lösungsformel der quadratischen Gleichung anwenden.

Wenn auch höhere Potenzen von $xx$ vorkommen,

• schaust du zunächst, ob du $xx$ ausklammern kannst

- und wenn das geht, dann tust du es natürlich.

Nun gut, in unserem Beispiel müssen wir zunächst einmal die Nullstellen bestimmen.

Die Funktion ist

Dann fangen wir mit der Arbeit an…

…und jeder von uns Dreien -

denn du da draußen vor dem Bildschirm, du machst doch mit, oder? -

versucht es zunächst einmal alleine…

…und wenn wir nicht weiterkommen, treffen wir uns alle auf der nächsten Kursseite!

Die Funktion gleich 0 setzen ist ja nicht schwer:

Aber wie geht es weiter?

Bei solchen Polynomgleichungen sollte man immer zunächst prüfen,

• ob man $xx$ oder sogar $x^2,x^3,\dots x^2,\; x^3,\dots$ usw. ausklammern kann.

In unserer Gleichung kann man $x^{2}x^2$ ausklammern!

Also so:

Weil das ein Produkt ist, und weil ein Produkt genau dann 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist,

kann man hier beide Faktoren einzeln gleich 0 setzen.

Der Faktor $x^{2}x^2$ ergibt die Nullstelle $x_1=0x\_1=0$.

Und dann setzen wir einfach noch den Term in der Klammer gleich 0:

$\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x+1=0\{\backslash frac\{1\}\{6\}\; x^2-\backslash frac\{1\}\{6\}x+1\}=0$ ?

Darauf kann man doch

• die Lösungsformel der quadratischen Gleichung anwenden:

*Das mach' ich doch gleich mal!

• Wir sehen uns dann auf der nächsten Kursseite!*