16Koordinatenform in Normalform

$E:2\cdot x_1-5\cdot x_2+x_3-4=0$

Du kannst nun direkt den Normalenvektor $\vec{n}$ auslesen. $\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}$. Du weißt wenn du die Normalenform ausmultiplizierst, entstehen die $x_1$, $x_2$ und $x_3$ durch das Skalarprodukt von $\vec{n}$ und $\vec{X}$. Die $-4$ der Ebene $E$ entstehen also aus dem Skalarprodukt von $\vec{n}$ und $\vec{A}$. Du kannst dir zwei der drei Koordinaten des Punktes $\vec{A}$ frei wählen und die dritte ausrechnen, so dass bei dem Skallarprodukt $-4$ als Ergebnis rauskommt.

So kannst du zum Beispiel wählen: $a_1 = 1$ und $a_2 =2$ und erhälst folgende Gleichung:

$\vec{n}\circ\vec{A}=-4$

$-n_1\cdot a_1-n_2\cdot a_2-n_3\cdot a_3=-4$

$-2\cdot a_1+5\cdot a_2-1\cdot a_3=-4$

$-2\cdot 1+5\cdot 2-1\cdot a_3=-4$

$8-1\cdot a_3=-4$

$a_3=12$