Aufgaben zum Prisma

1. Zeichne die Seite $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ mit der Originallänge $\text{c}=6\text{cm}\backslash text\{c\}=6\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

2. Zeichne um $AA$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r_1=\overline{AC}=\mathrm{4,1}\text{cm}r\_1=\backslash overline\{AC\}=4\{,\}1\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

3. Zeichne um $BB$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r_2=\overline{BC}=\mathrm{6,4}\text{cm}r\_2=\backslash overline\{BC\}=6\{,\}4\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

4. Die beiden Kreisbögen schneiden sich im Punkt $CC$.

5. Verbinde die Punkte $AA$ mit $CC$ und $BB$ mit $CC$.

6. Lege das Geodreieck im Punkt $BB$ an und markiere den Verzerrungswinkel $\alpha ={45}^{\circ }\backslash alpha=45^\backslash circ$ (hier Punkt $PP$ am Geodreieck).

7. Verbinde den Punkt $BB$ mit $PP$ .

8. Zeichne um $BB$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r_3=4\text{cm}r\_3=4\backslash ;\backslash text\{cm\}$. Das Längenmaß $4\text{cm}4\backslash ;\backslash text\{cm\}$ entspricht der Höhe $h=8\text{cm}h=8\backslash ;\backslash text\{cm\}$ des Prismas, die auf die Hälfte verkürzt gezeichnet wird.

9. Der Kreisbogen schneidet den freien Schenkel des Winkels $\alpha \backslash alpha$ im Punkt $EE$.

10. Verschiebe die Strecke $\left[BE\right]\backslash left[BE\backslash right]$ parallel, so dass sie im Punkt $CC$ beginnt und eine Länge von $4\text{cm}4\backslash text\{cm\}$ besitzt.

11. Verschiebe die Strecke $\left[BE\right]\backslash left[BE\backslash right]$ parallel, so dass sie im Punkt $AA$ beginnt und eine Länge von $4\text{cm}4\backslash text\{cm\}$ besitzt. (Die letzte Strecke ist gestrichelt, da diese Kante aus diesem Blickwinkel nicht sichtbar ist).

12. Verbinde die Endpunkte der parallel verschobenen Strecken. Achte dabei auf die nicht sichtbaren Strecken $\left[DE\right]\backslash left[DE\backslash right]$ und $\left[DF\right]\backslash left[DF\backslash right]$.

Dein Schrägriss eines liegenden geraden Prismas mit dreieckiger Grundfläche ist fertig.

1. Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AB}=6\text{cm}\backslash overline\{AB\}=6\backslash ;\backslash text\{cm\}$ und $\overline{AD}=8\text{cm}\backslash overline\{AD\}=8\backslash ;\backslash text\{cm\}$ ($\overline{AD}\backslash overline\{AD\}$ entspricht der Höhe $hh$ des Prismas).

2. Zeichne an das Rechteck $ABEDABED$ nach links anschließend das Rechteck $C^{\mathrm{\prime }}AD{F}^{\mathrm{\prime }}C\text{'}ADF\text{'}$ (dabei ist $\overline{C^{\mathrm{\prime }}A}=\mathrm{4,1}\text{cm}\backslash overline\{C\text{'}A\}=4\{,\}1\backslash ;\backslash text\{cm\}$) und nach rechts anschließend das Rechteck $B{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}EBC\text{'}\text{'}F\text{'}\text{'}E$ (dabei ist $\overline{B{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=\mathrm{6,4}\text{cm}\backslash overline\{BC\text{'}\text{'}\}=6\{,\}4\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

3. An der Seite $\left[DE\right]\backslash left[DE\backslash right]$ liegt das Dreieck $DEFDEF$ an. An der Seite $\left[AB\right]\backslash left[AB\backslash right]$ liegt das Dreieck $ABCABC$ an.

4. Zeichne um die Punkte $DD$ und $AA$ je einen Kreisbogen mit dem Radius $r=\overline{C^{\mathrm{\prime }}A}=\mathrm{4,1}\text{cm}r=\backslash overline\{C\text{'}A\}=4\{,\}1\backslash ;\backslash text\{cm\}$ (Dreieckseite $bb$).

5. Zeichne um die Punkte $BB$ und $EE$ je einen Kreisbogen mit dem Radius $r=\overline{B{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=\mathrm{6,4}\text{cm}r=\backslash overline\{BC\text{'}\text{'}\}=6\{,\}4\backslash ;\backslash text\{cm\}$ (Dreieckseite $aa$).

5. Der Kreisbogen um $AA$ und der Kreisbogen um $BB$ schneiden sich im Punkt $CC$ des Dreiecks $ABCABC$.

6. Der Kreisbogen um $DD$ und der Kreis um $EE$ schneiden sich im Punkt $FF$ des Dreiecks $DEFDEF$.

7. Verbinde die Punkte $AA$ mit $CC$ und $BB$ mit $CC$.

8. Verbinde die Punkte $DD$ mit $FF$ und $EE$ mit $FF$.

Dein Netz eines geraden Prismas mit dreieckiger Grundfläche ist fertig.

Für die Konstruktion des Bestimmungsdreiecks benötigst du einige Informationen:

• Ein reguläres Fünfeck kannst du in 5 gleichschenklige Dreiecke zerlegen, so wie es die nebenstehende Skizze zeigt.

• Den Mittelpunktswinkel erhältst du, indem ${360}^{\circ }360^\backslash circ$ durch die Anzahl der Ecken (hier 5) geteilt wird $\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow$ ${360}^{\circ }:5={72}^{\circ }360^\backslash circ\; :\; 5\; =\; 72^\backslash circ$.

• Da die Winkelsumme im Dreieck ${180}^{\circ }180^\backslash circ$ beträgt, haben die beiden Basiswinkel $\phi \backslash varphi$ zusammen eine Größe von ${180}^{\circ }-{72}^{\circ }={108}^{\circ }180^\backslash circ\; -\; 72^\backslash circ\; =\; 108^\backslash circ$, d.h. jeder Basiswinkel ist $\phi =\frac{{108}^{\circ }}{2}={54}^{\circ }\backslash varphi=\backslash frac\{108^\{\backslash circ\}\}\{2\}=54^\{\backslash circ\}$ groß.

Konstruiere also zunächst ein Dreieck mit der gegebenen Seitenlänge $\text{a}=3\text{cm}\backslash text\{a\}=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$ des Fünfecks als Basis und den anliegenden Basiswinkeln $\phi ={54}^{\circ }\backslash varphi=54^\{\backslash circ\}$.

1. Zeichne die Seite $\left[AB\right]\backslash left[AB\backslash right]$ mit der Originallänge $\text{a}=3\text{cm}\backslash text\{a\}=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

2. Lege das Geodreieck im Punkt $AA$ an und markiere den Winkel $\phi ={54}^{\circ }\backslash varphi=54^\backslash circ$ (hier Punkt $PP$ am Geodreieck).

3. Lege das Geodreieck im Punkt $BB$ an und markiere den Winkel $\phi ={54}^{\circ }\backslash varphi=54^\{\backslash circ\}$ (hier Punkt $QQ$ am Geodreieck).

4. Verbinde Punkt $AA$ mit Punkt $PP$ und Punkt $BB$ mit Punkt $QQ$.

5. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist der Mittelpunkt $MM$ des Fünfecks.

6. Damit ist die Konstruktion des Bestimmungsdreiecks für das Fünfeck abgeschlossen.

7. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $MM$ und $r_1=\overline{MA}r\_1=\backslash overline\{MA\}$.

8. Zeichne im Punkt B einen Kreisbogen mit ${\text{r}}_2=3\text{cm}\backslash text\{r\}\_2=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$ (das ist die Länge der Fünfeckseite). Er schneidet den Kreis mit Mittelpunkt $MM$ im Punkt $CC$.

9. Zeichne im Punkt C einen Kreisbogen mit ${\text{r}}_3=3\text{cm}\backslash text\{r\}\_3=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$. Er schneidet den Kreis mit Mittelpunkt $MM$ im Punkt $DD$.

10. Zeichne im Punkt D einen Kreisbogen mit ${\text{r}}_4=3\text{cm}\backslash text\{r\}\_4=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$. Er schneidet den Kreis mit Mittelpunkt $MM$ im Punkt $EE$.

11. Verbinde die Punkte $BB$ mit $CC$, $CC$ mit $DD$, $DD$ mit $EE$ und $EE$ mit $AA$.

Dein regelmäßiges Fünfeck ist fertig.

12. Lege das Geodreieck im Punkt $BB$ an und markiere den Verzerrungswinkel $\alpha ={45}^{\circ }\backslash alpha=45^\backslash circ$ (hier Punkt $RR$ am Geodreieck).

13. Zeichne eine Halbgerade im Punkt $BB$ beginnend durch den Punkt $RR$.

14. Zeichne um $BB$ einen Kreisbogen mit dem Radius $\text{r}=6\text{cm}\backslash text\{r\}=6\backslash ;\backslash text\{cm\}$. Das Längenmaß   $6\text{cm}6\backslash ;\backslash text\{cm\}$ entspricht der Höhe $h=12\text{cm}h=12\backslash ;\backslash text\{cm\}$ des Prismas, die auf die Hälfte verkürzt gezeichnet wird. 

15. Der Kreisbogen schneidet den freien Schenkel des Winkels $\alpha \backslash alpha$ im Punkt $GG$.

16. Hilfslinien, Hilfspunkte und der eingezeichnete Winkel wurden entfernt.

17. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]\backslash left[BG\backslash right]$ parallel, so dass sie im Punkt $CC$ beginnt und $6\text{cm}6\backslash text\{cm\}$ lang ist.

18. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]\backslash left[BG\backslash right]$ parallel, so dass sie im Punkt $DD$ beginnt und $6\text{cm}6\backslash text\{cm\}$ lang ist.

19. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]\backslash left[BG\backslash right]$ parallel, so dass sie im Punkt $EE$ beginnt und $6\text{cm}6\backslash text\{cm\}$ lang ist.

20. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]\backslash left[BG\backslash right]$ parallel, so dass sie im Punkt $AA$ beginnt und $6\text{cm}6\backslash text\{cm\}$ lang ist. (Die letzte Strecke sollte gestrichelt werden, da diese Kante in dieser Ansicht nicht sichtbar ist).

21. Verbinde die Endpunkte der parallel verschobenen Strecken. Achte dabei auf die nicht sichtbaren Strecken $\left[FG\right]\backslash left[FG\backslash right]$ und $\left[FJ\right]\backslash left[FJ\backslash right]$.

Dein Schrägbild eines liegenden geraden Prismas mit einem regelmäßiges Fünfeck als Grundfläche ist fertig.

1. Zeichne nebeneinanderliegend fünf Rechtecke mit den Maßen $\text{a}=3\text{cm}\backslash text\{a\}=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$ und $\text{h}=12\text{cm}\backslash text\{h\}=12\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

2. Wähle eines der fünf Rechtecke aus und konstruiere z.B. an die Seite $\left[BC\right]\backslash left[BC\backslash right]$ ein regelmäßiges Fünfeck. Verfahre entsprechend der Schritte 2 bis 11 (Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks).

Du hast auf der einen Seite des Rechteck $BCIHBCIH$ ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge $\text{a}=3\text{cm}\backslash text\{a\}=3\backslash ;\backslash text\{cm\}$konstruiert.

3. Führe die Konstruktionsschritte 2 bis 11 an der Seite $\left[HI\right]\backslash left[HI\backslash right]$ auf der gegenüberliegenden Seite des Rechtecks $BCIHBCIH$ durch.

Dein Netz eines geraden Prismas mit einem regelmäßiges Fünfeck als Grundfläche ist fertig.

Hinweis:

Die beiden Fünfecke müssen nicht unbedingt an die Seite $\left[BC\right]\backslash left[BC\backslash right]$ bzw. $\left[HI\right]\backslash left[HI\backslash right]$ des Rechtecks konstruiert werden.

Du kannst das eine Fünfeck z.B. an die orangefarbige Seite $\left[AB\right]\backslash left[AB\backslash right]$ (oder jede beliebige andere orangefarbige Seite) angrenzen lassen.

Das zweite Fünfeck kann z.B. an die grüne Seite $\left[JK\right]\backslash left[JK\backslash right]$ (oder jede beliebige andere grüne Seite) angrenzen.

Das ist das Netz einer dreiseitigen Pyramide.

Das ist das gesuchte Netz eines Prismas.

Das ist das Netz einer quadratischen Pyramide.