Aufgaben zum Volumen eines Zylinders

…

In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen.

Wie viele cm steht das Wasser im Glas? Runde auf ganze Zahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Zylinder

Gegeben:

Zylinder mit

Durchmesser $d=8 \mathrm{cm}$
Volumen $V=150 \mathrm{ml}$

(gemeint ist der Zylinder aus Wasser, nicht der aus Glas!)

Gesucht:

Höhe $h$

Lösungsidee

Die Höhe $h$ kommt in der Formel $V=r^2\cdot \pi \cdot h$ für das Volumen eines Zylinders vor.

Diese Formel kannst du nach $h$ umstellen und zum Berechnen der Höhe verwenden.

Lösung

Formel umstellen

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot\pi\cdot h$	$\displaystyle :(r^2\cdot\pi)$
	↓	Auf diese Weise erreichst du, dass $h$ auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.
$\displaystyle \frac{V}{r^2\cdot\pi}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Wenn es dich stört, dass $h$ jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{V}{r^2\cdot\pi}$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{150ml}{(4cm)^2\cdot3{,}14}$
	↓	Hier muss man nun auf die Einheiten achten. $ml$ können nicht durch $cm^2$ geteilt werden. $150ml = 0{,}15l = 0{,}15dm^3 = 150cm^3$ . Wichtig ist auch, dass nach dem Radius gefragt wird, das bedeutet, dass der Durchmesser von 8cm noch geteilt werden muss.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{150cm^3}{(4cm)^2\cdot3{,}14}$
	↓	Rechne das Ergebnis aus
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 2{,}98 cm$
	↓	Runde
$\displaystyle h$	$≈$	$\displaystyle 3cm$

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Tipp: Was ist ein "Innendurchmesser"?

Der "Innendurchmesser" ist der Durchmesser, den das Glas "innen" hat - also ohne die Glaswand dazu.

(Wenn man das Glas dagegen mit der Glaswand dazu misst, erhält man als Durchmesser den "Außendurchmesser"; denn man misst ja in diesem Fall nicht innen im Glas, sondern außen.)

Beispiel: Wenn das Glas 2mm dick ist und innen 8cm Durchmesser hat, dann hat es außen gemessen 8,4cm Durchmesser, weil an beiden Seiten noch 2mm für die Glaswand hinzukommen. In diesem Fall wäre also

der Innendurchmesser 8 cm, und
der Außendurchmesser 8,4 cm.