Aufgaben zum Volumen eines Zylinders

Teste dein Wissen zu Zylindern mit diesen gemischten Übungsaufgaben! Lerne, das Volumen eines Zylinders zu bestimmen.

1
Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?
Runde auf ganze $cm³$ .
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V=r^2 \cdot \pi \cdot h$
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.
Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
$r= d:2= 30\, \text{cm} :2 = 15\, \text{cm}$
Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
$V=(15\, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 60\,\text{cm}$
Das rechnest du aus,
$=13\, 500 \cdot \pi\ \text{cm}^3$
$= 42\,411{,}5008….\, \text{cm}^3$
und rundest das Ergebnis.
$\approx 42\,412\, \text{cm}^3$
2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35 cm Durchmesser und h=450 mm Höhe.
Wie viel Liter fasst das Gefäß?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben:
Zylinder mit
Durchmesser $\mathrm{d=35\text{\cm}}$
Höhe $\mathrm{h=450\text{\mm}}$
Gesucht:
Volumen $\text{V}$ in Litern $\text{(l)}$
Lösung:
Lösungidee:
$\text{V=?}$
Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:
$\mathrm{V_{Zylinder}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h}$
$\mathrm{V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h}$
Die Höhe $\h$ ist gegeben, und den Radius $\text{r}$ kannst du aus dem Durchmesser $\text{d}$ berechnen.
Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, $\text{h}$ und $\text{r}$ die gleiche Einheit haben.
Tipp: Wenn du $\text{h}$ und $\text{r}$ (oder $\text{d}$ ) schon jetzt beide in $\text{dm}$ umwandelst, kommt das Volumen in $\text{dm}^3$ (= in Litern $\text{l}$ ) heraus. Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.
Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:
$\mathrm{h=450{\mm}=4{,}5{\dm}}$
$\mathrm{d=35{\cm}= 3{,}5{\dm}}$
Aus dem Durchmesser $\text{d}$ berechnest du dann den Radius $\text{r}$ ,
$\mathrm{r=\dfrac d2=1{,}75\dm}$
… und setzt $\text{r}$ und $\text{h}$ in die Volumenformel ein:
${V=\pi\cdot\left(1{,}75{\dm}\right)^2\cdot4{,}5{\dm}}$
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
$\mathrm{V\approx43{,}3{\dm}^3}$
$\text{dm}^3$ sind dasselbe wie Liter.
Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .
$\mathrm{V\approx43{,}3\l}$
3
Dieses Glas hat einen Durchmesser von 7 cm und seine Höhe ist 8 cm.
Berechne das Volumen des Glases. Runde dein Ergebnis auf Einer.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V=r^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot\mathrm{h}$
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
$V=(3{,}5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}$
$\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3$
$\;\;\;=\;307{,}876…\;\mathrm{cm}^3$
$\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3$

In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen.

Wie viele cm steht das Wasser im Glas? Runde auf ganze Zahlen.

5
Ein Weißbierglas hat bis zur Eichmarkierung eine Füllhöhe von $h = 15 \;\text{cm}$ . Außerdem hat es den maximalen Durchmesser $d1 = 7{,}5 \; \text{cm}$ und den minimalen Durchmesser $d2 = 4{,}5 \; \text{cm}$ .
Schätze mit diesen Zahlen das wahre Volumen des Gefäßinhaltes nach oben und nach unten ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Abschätzung nach oben
Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d1$ hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
Abschätzung nach unten
Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d2$ hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
Berechnung der Zylindervolumen
Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel $V = r^2\cdot\pi\cdot h$ und die Beziehung $d = \frac{r}2$ :
Volumen Weißbierglas
Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:
Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.
6
Eine Toilettenpapierrolle besteht aus dem Toilettenpapier und einer zylinderförmigen Rolle aus Karton.
Das Toilettenpapier hat eine Breite von $10\textsf{ cm}$ .
Der Durchmesser der zylinderförmigen Rolle sind $4\textsf{ cm}$ .
Der Gesamtdurchmesser der Toilettenpapierrolle beträgt $12\textsf{ cm}$ .
Berechne das Volumen des Toilettenpapiers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung Zylinder
Das Volumen im Inneren (mit dem Durchmesser des Kartons) lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.
$V_{\textsf{innen}}=r^2 \pi h$
Dabei ist $r=\dfrac{4\textsf{ cm}}{2}=2\textsf{ cm}$
und $h=10\textsf{ cm}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{innen}}&=&(2\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10\textsf{ cm} \\&=&4\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&40\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&125{,}6\textsf{ cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der gesamten Toilettenpapierrolle lässt sich ebenfalls mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.
$V_{\textsf{gesamt}}=r^2 \pi h$
Dabei ist $r=\dfrac{12\textsf{ cm}}{2}=6\textsf{ cm}$
und $h = 10\textsf{ cm}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{gesamt}}&=&(6\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10 \textsf{ cm} \\&=&36\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&360\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&1130{,}4\textsf{ cm}^3 \end{array}$
Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Toilettenpapiers berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{Papier}}&=&V_{\textsf{gesamt}}-V_{\textsf{innen}} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi-40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&=&320\textsf{ cm}^3 \cdot \pi \\&\approx&320\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&1004{,}8\textsf{ cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Toilettenpapiers beträgt $1004{,}8\textsf{ cm}^3$ .
Zuerst solltest du beide Zylinder (gesamte Toilettenpapierrolle und Rolle aus Karton) berechnen.
Dann kannst du das Volumen des Kartons von dem der Toilettenpapierrolle abziehen und erhältst das Volumen des Toilettenpapiers.
7
Ein Goldschmied möchte einen Ring designen.
Der Innendurchmesser des Rings soll $1{,}8\text{ cm}$ betragen, der Außendurchmesser $2{,}2\text{ cm}$ .
Der Ring soll außerdem $0{,}8 \text{ cm}$ breit sein.
Der Goldschmied möchte den Ring mit Silber herstellen. Silber hat eine Dichte von $10{,}5\text{ g}$ pro Kubikzentimeter.
Berechne zuerst das Volumen des Rings in Kubikzentimeter und runde auf zwei Nachkommastellen.
Bestimme, wie viel Gramm Silber der Goldschmied benötigt, um den Ring zu schmieden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung Zylinder
Zuerst solltest du das Volumen der beiden Zylinder (Außen und Innendurchmesser) berechnen.
Dann kannst du das Volumen im Inneren von dem des äußeren abziehen und erhältst das Volumen des Rings.
Das Volumen im Inneren lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.
$V_\text{innen} = r^2 \cdot \pi \cdot h$
Dabei ist $r = \dfrac{1{,}8\text{ cm}}{2}=0{,}9\text{ cm}$
und $h =0{,}8 \text{ cm}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_\text{innen} &=& (0{,}9\text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 0{,}81\text{ cm$^2$} \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 0{,}648 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &\approx& 2{,}03\text{ cm$^3$} \end{array}$
Das äußere Volumen lässt sich auch mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.
Dabei ist $r = \dfrac{2{,}2\text{ cm}}{2}=1{,}1\text{ cm}$
und $h$ bleibt gleich.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_\text{außen} &=& (1{,}1\text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 1{,}21\text{ cm$^2$} \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 0{,}968 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &\approx& 3{,}04\text{ cm$^3$} \end{array}$
Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Rings berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_\text{Ring} &=& V_\text{außen} - V_\text{innen} \\ &=& 0{,}968 \text{ cm$^3$} \cdot \pi - 0{,}648 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &=& (0{,}968 \text{ cm$^3$} - 0{,}648 \text{ cm$^3$}) \cdot \pi \\ &=& 0{,}32 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &\approx & 1{,}00 \text{ cm$^3$} \end{array}$
Nun kannst du ausrechnen wie viel Gramm Silber benötigt werden.
Da ungefähr 1 Kubikzentimeter Silber gebraucht wird, reichen hier $10{,}5\text{ g}$ Silber.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot\pi\cdot h$	$\displaystyle :(r^2\cdot\pi)$
	↓	Auf diese Weise erreichst du, dass $h$ auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.
$\displaystyle \frac{V}{r^2\cdot\pi}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Wenn es dich stört, dass $h$ jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{V}{r^2\cdot\pi}$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{150ml}{(4cm)^2\cdot3{,}14}$
	↓	Hier muss man nun auf die Einheiten achten. $ml$ können nicht durch $cm^2$ geteilt werden. $150ml = 0{,}15l = 0{,}15dm^3 = 150cm^3$ . Wichtig ist auch, dass nach dem Radius gefragt wird, das bedeutet, dass der Durchmesser von 8cm noch geteilt werden muss.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{150cm^3}{(4cm)^2\cdot3{,}14}$
	↓	Rechne das Ergebnis aus
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 2{,}98 cm$
	↓	Runde
$\displaystyle h$	$≈$	$\displaystyle 3cm$

Aufgaben zum Volumen eines Zylinders

Lösung:

Lösungidee:

Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:

Zylinder

Lösungsidee

Lösung

Formel umstellen

Tipp: Was ist ein "Innendurchmesser"?

Abschätzung nach oben

Abschätzung nach unten

Berechnung der Zylindervolumen

Volumen Weißbierglas