Aufgaben zum Volumen eines Zylinders

Ein Goldschmied möchte einen Ring designen.

Der Innendurchmesser des Rings soll $1{,}8\text{ cm}$ betragen, der Außendurchmesser $2{,}2\text{ cm}$ .

Der Ring soll außerdem $0{,}8 \text{ cm}$ breit sein.

Der Goldschmied möchte den Ring mit Silber herstellen. Silber hat eine Dichte von $10{,}5\text{ g}$ pro Kubikzentimeter.

Berechne zuerst das Volumen des Rings in Kubikzentimeter und runde auf zwei Nachkommastellen.

Bestimme, wie viel Gramm Silber der Goldschmied benötigt, um den Ring zu schmieden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung Zylinder

Zuerst solltest du das Volumen der beiden Zylinder (Außen und Innendurchmesser) berechnen.

Dann kannst du das Volumen im Inneren von dem des äußeren abziehen und erhältst das Volumen des Rings.

Das Volumen im Inneren lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.

$V_\text{innen} = r^2 \cdot \pi \cdot h$

Dabei ist $r = \dfrac{1{,}8\text{ cm}}{2}=0{,}9\text{ cm}$

und $h =0{,}8 \text{ cm}$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_\text{innen} &=& (0{,}9\text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 0{,}81\text{ cm$^2$} \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 0{,}648 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &\approx& 2{,}03\text{ cm$^3$} \end{array}$

Das äußere Volumen lässt sich auch mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.

Dabei ist $r = \dfrac{2{,}2\text{ cm}}{2}=1{,}1\text{ cm}$

und $h$ bleibt gleich.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_\text{außen} &=& (1{,}1\text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 1{,}21\text{ cm$^2$} \cdot \pi \cdot 0{,}8\text{ cm} \\ &=& 0{,}968 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &\approx& 3{,}04\text{ cm$^3$} \end{array}$

Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Rings berechnen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_\text{Ring} &=& V_\text{außen} - V_\text{innen} \\ &=& 0{,}968 \text{ cm$^3$} \cdot \pi - 0{,}648 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &=& (0{,}968 \text{ cm$^3$} - 0{,}648 \text{ cm$^3$}) \cdot \pi \\ &=& 0{,}32 \text{ cm$^3$} \cdot \pi \\ &\approx & 1{,}00 \text{ cm$^3$} \end{array}$

Nun kannst du ausrechnen wie viel Gramm Silber benötigt werden.

Da ungefähr 1 Kubikzentimeter Silber gebraucht wird, reichen hier $10{,}5\text{ g}$ Silber.

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