Rätselaufgaben zu besonderen ebenen Figuren

Folgende Figur besteht aus Quadraten und einbeschriebenen Kreisen.Wie ist das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreises?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Inkreis und Umkreis eines Quadrates

Man bertrachtet zunächst die zwei äußersten Kreise und das äußerste Quadrat.

Der Durchmesser des Inkreises im Quadrat ist $a$ , also gilt für den Innkreisradius: $r_i=\dfrac{a}{2}$

Kreis Quadrat Inkreis Umkreis Satz des Pythagoras legacy geogebra formula

Den Umkreisradius kann man mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen:

$\displaystyle r_u^2+r_u^2$	$=$	$\displaystyle a^2$
$\displaystyle 2r_u^2$	$=$	$\displaystyle a^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r_u^2$	$=$	$\displaystyle \frac{a^2}{2}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle r_u$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{a^2}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
	↓	Bruch erweitern
	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{\left(\sqrt{2}\right)^2}\cdot\sqrt{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{2}\cdot\sqrt{2}$

Wir betrachten zuerst allgemein ein Quadrat mit Umkreisradius $r_{u}$ und Inkreisradius $r_{i}$ .

Löse die eben erhaltene Formel $r_u=\dfrac{a}{2}\cdot\sqrt{2}$ nach der Seitenlänge a auf:

$\displaystyle r_u$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a}{2}\sqrt{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 2r_u$	$=$	$\displaystyle a\sqrt{2}$	$\displaystyle :\sqrt{2}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2r_u}{\sqrt{2}}$

Nun kann a in die Formel für den Inkreisradius $r_i=\frac a2$ eingesetzt werden:

$\displaystyle r_i$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{2r_u}{\sqrt2}}{\;\;2\;\;}$
	↓	Faktor 2 kürzen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{r_u}{\sqrt{2}}$

Das heißt $r_{i}$ ist $\dfrac1{\sqrt2}\approx0{,}71$ so groß wie $r_{u}$ .

Weil diese Zusammenhang allgemein gilt, gilt er natürlich auch für das äußerste Quadrat. Also:

\displaystyle r_{i1}=\dfrac{r_{u1}}{\sqrt2}

Nun betrachten wir das zweite Quadrat. Der Umkreis dieses Quadrats ist der Inkreis des äußersten Quadrats. Also gilt:

\displaystyle r_{i1}=r_{u2}

Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius erhalten wir:

\displaystyle r_{i2}=\dfrac{r_{u2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{r_{i1}}{\sqrt{2}}

Setze jetzt $r_{i1}=\frac{r_{u1}}{\sqrt2}$ ein und vereinfache:

\def\arraystretch{2} \displaystyle \begin{array}{rl} r_{i2}&=\dfrac{\dfrac{r_{u1}}{\sqrt2}}{\; \; \sqrt2\; \; }\\&=\dfrac{r_{u1}}{\sqrt2}\cdot\dfrac1{\sqrt2}\\&=\dfrac{r_{u1}}2 \end{array}

Der Umkreis des dritten Quadrats ist der Inkreis des zweiten Quadrats. Also gilt:

\displaystyle r_{u3}=r_{i2}=\dfrac{r_{u1}}2

Aber auch der allgemeine Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius glit in diesem Quadrat:

\displaystyle r_{i3}=\dfrac{r_{u3}}{\sqrt{2}}

Setze $r_{u3}=\dfrac{r_{u1}}2$ ein und vereinfache:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rl} r_{i3}&=\dfrac{\dfrac{r_{u1}}2}{\;\;\sqrt2\;\;}\\ &=\dfrac{r_{u1}}2\cdot\dfrac1{\sqrt2}\\ &=\dfrac{r_{u1}}{2\sqrt2} \end{array}

Auch beim vierten Quadrat ist der Umkreis der Inkreis des dritten Quadrats. Damit ergibt sich:

\displaystyle r_{u4}=r_{i3}=\dfrac{r_{u1}}{2\sqrt2}

Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius folgt:

\displaystyle r_{i4}=\dfrac{r_{u4}}{\sqrt{2}}

Setze $r_{u4}=\dfrac{r_{u1}}{2\sqrt2}$ ein und vereinfache:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rl} r_{i4}&=\dfrac{\dfrac{r_{u1}}{2\sqrt2}}{\;\; \sqrt2\;\;}\\ &=\dfrac{r_{u1}}{2\sqrt2}\cdot\dfrac1{\sqrt2}\\ &=\dfrac{r_{u1}}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2}\\ &=\dfrac{r_{u1}}4 \end{array}

Das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreis beträgt also 1:4.

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