Ein Konditormeister hat 200 Pralinen hergestellt. 80% von ihnen sind aus dunkler Schokolade, der Rest aus weißer Schokolade. 30% der 200 Pralinen enthalten Nüsse; unter den Pralinen aus weißer Schokolade haben jedoch nur 12,5% einen Nussanteil.
Stelle die beschriebene Situation dar, und zwar
  1. mit einer Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten
  2. mit einer Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Festlegen von geeigneten Abkürzungen

Als Erstes legst du die betrachteten Ereignisse bzw. geeignete Abkürzungen dafür fest, zum Beispiel:
  • D\mathrm{D} : "Die Praline ist aus dunkler Schokolade."
  • N\mathrm{N} : "Die Praline hat einen Nussanteil."

Teilaufgabe 1: Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten

Gesucht: Vierfeldertafel für absolute Häufigkeiten
Zunächst legst du das Grundgerüst für die Vierfeldertafel an:
  • Betrachte die beiden Ereignisse, um die es geht.
  • Das eine davon kommt in die Spalten, das andere in die Zeilen.

Grundgerüst anlegen

 DD NNP(AB)P(AB) 200\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & & \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \hphantom{200}\\\end{array}
Hier steht jetzt D\mathrm{D} in den Spalten und N\mathrm{N} in den Zeilen - das kannst du natürlich auch andersherum machen.

Informationen aus dem Aufgabentext eintragen

Da eine Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten gesucht ist, trägst du in das äußerste Feld rechts unten die Gesamtzahl "200" ein.
 DD NNP(AB)P(AB) 200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & & \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & 200\ \end{array}
Die übrigen Zahlen musst du noch aus dem Text herausfinden bzw. später ausrechnen.
In der Aufgabe ist angegeben, dass
  • 80% der 200 Pralinen aus dunkler Schokolade sind, und
  • 30% der 200 Pralinen einen Nussanteil haben.
Berechne daraus (z.B. mit der entsprechenden Formel zur Prozentrechnung), wie viele Pralinen zu D und wie viele zu N gehören.
D=0,80200=160|\mathrm{D}|= 0,80\cdot 200= 160
N=0,30200=60|\mathrm{N}|= 0,30\cdot 200= 60
Diese Werte trägst du in der Vierfeldertafel in den Rändern an den jeweiligen Stellen ein(, denn betrachtet werden hier D bzw. N alleine und nicht irgendwelche Schnittmengen).
 DD N60NP(AB)P(AB) 160200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & & 200\ \end{array}
So, damit könntest du die Werte auf den Rändern jetzt schon vollständig ausrechnen.
Um die Vierfeldertafel ganz vervollständigen zu können, brauchst du aber noch irgendeinen Wert in einem der vier inneren Felder.
 DD N???60NP(AB)P(AB) 160200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & ??? &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & & 200\ \end{array}
Du hast noch die Angabe, dass 12,5% der Pralinen mit weißer Schokolade einen Nussanteil haben.
Das kannst du aber nur auswerten, wenn du weißt, wie viele Pralinen mit weißer Schokolade es insgesamt sind, "Weiße Schokolade" bedeutet "Nicht dunkle Schokolade" - das heißt, du brauchst die Anzahl von D\overline{\mathrm D}.
 DD N60NP(AB)P(AB) 160D=?200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & &60 \\ \hline \mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & |\overline{\mathrm D}|=?& 200\ \end{array}
D=200160=40|\overline{\mathrm D}|=200-160 = 40
D|\overline{\mathrm D}| findest du leicht mit Hilfe der bisherigen Einträge in die Vierfeldertafel heraus:
Die Zahlen, die auf den Rändern noch fehlen, erhältst du nämlich ganz einfach, indem du jeweils zur 200 ergänzt.
(Den Wert D=40|\overline{\mathrm D}|= 40 trägst du natürlich gleich in das entsprechende Feld auf dem Rand der Vierfeldertafel ein.)
 DD N???60NP(AB)P(AB) 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & ??? &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\ \hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
Es sind also 40 Pralinen mit weißer Schokolade, und von diesen haben 12,5% einen Nussanteil.
Berechne 12,5% von 40.
12,5%12,5\% von 40 (Pralinen):
12,510040=12,540100=5\dfrac{12,5}{100} \cdot 40=\dfrac{12,5\cdot 40}{100}=5
5 der Pralinen sind somit weiß und haben einen Nussanteil.
Trage die Zahl "5" in das Feld für DN|\overline{\mathrm{D}}\cap \mathrm{N}| ein.
 DD N560NP(AB)P(AB) 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & 40 & 200\ \end{array}

Fehlende Werte in der Vierfeldertafel ausrechnen

 DD N560N??? 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & & & ??? \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
Berechne nun die noch fehlenden Werte,
Zum Beispiel als erstes die Zahl für N|\overline{\mathrm N}| , die auf dem Rand noch fehlt. Sie erhältst du, indem du wieder zur 200 ergänzt:
N=20060=140|\overline{\mathrm N}|=200-60=140
 DD N???560N140 16040200\begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} &??? & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\\ \end{array}
Danach kannst du zum Beispiel ND|\mathrm{N\cap D}| errechnen:
ND=605=55|\mathrm{N\cap D}|=60-5 = 55
 DD N55560N???140 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} &55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & ??? & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
… und danach zum Beispiel ND|\mathrm{\overline{N}\cap D}|:
ND=16055=105|\mathrm{\overline{N}\cap D}|= 160-55 =105
 DD N55560N105140 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & 55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & 105 & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}
… und zuletzt ND|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|:
Entweder du rechnest
  • ND=140105=35|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|=140-105=35
oder du rechnest
  • ND=405=35|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|=40-5=35
(bzw. du rechnest am besten beides und überprüftst das eine mit dem anderen.)
Das trägst du ein, und dann ist die Vierfeldertafel fertig.

Fertige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten:

 DD N55560N10535140 16040200 \begin{array}{c|c|c|c}\ & \qquad \mathrm{D} \qquad& \qquad \mathrm{\overline D}\qquad & \ \\\hline\mathrm{N} & 55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & 105 & 35 & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}

Teilaufgabe 2 : Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten

in Arbeit