Aufgaben zum graphischen Lösen von Gleichungssystemen

Beim graphischen Lösen von Gleichungssystemen wird das Problem durch das Ablesen von Schnittpunkten in einer Zeichnung gelöst.

1
Bestimmung von Schnittpunkten
Gegeben ist eine Gerade g und eine Gerade h.
1. Bestimme die Geradengleichungen von g und h.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Der Parameter $m$ ist die Steigung der Geraden. Der Parameter $t$ ist der y-Achsenabschnitt.
  Gerade g:
  $y = m_gx + t_g$
  Die Gerade g hat die Steigung $-\frac{3}{2}$ , das heißt $m_g = -\frac{3}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + t_g$
  Sie schneidet die y-Achse bei $\frac{9}{2}$ , das heißt $t_g = \frac{9}{2}$ .
  $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
  Gerade h:
  $y = m_hx + t_h$
  Die Gerade h hat die Steigung $2$ , das heißt $m_h = 2$
  $y = 2x + t_h$
  Die Gerade schneidet die y-Achse bei $1$ , das heißt $t_h = 1$ .
  $y = 2x + 1$
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2. Lies den Schnittpunkt ab.
  Gib den Punkt in das Eingabefeld ein. Beispiel: "(-2;1)" oder "(-2|1)"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt
  Schnittpunkte ablesen
  Wir lesen aus der Zeichnung den Schnittpunkt $\text{SP} (1|3)$ ab.
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2
Bestimmung von Schnittpunkten
Im Koordinatensystem sind drei Geraden eingezeichnet. Lies die Schnittpunkte aus der Abbildung ab und gib sie nacheinander in das Eingabefeld ein.
Punkte können in dieser Form eingegeben werden: "(-2|0,5)"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Schnittpunkte ablesen
Im Bild rechts kann man die Koordinaten der drei Punkte ungefähr bestimmen. Diese lauten:
$S_1(−2∣4)$
$S_2(2∣3)$
$S_3(-1{,}5|-2)$
3
Entscheide, ob die folgenden linearen Gleichungssysteme lösbar sind oder nicht. Fertige dafür eine Skizze der entsprechenden linearen Funktionen an.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& x &+& y &=& 5\\ (\text{II})& -2x &+& 3y &=& 6\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x + y &=& 5&|-x\\ y&=&-x+5\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -2x + 3y &=& 6&|+2x\\3y&=&2x+6&|:3\\y&=&\frac 23x+2\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& 8x &+& 2y &=& 16\\ (\text{II})& 16x &+& 4y &=& 32\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}8x + 2y &=& 16 &|-8x\\ 2y&=&-8x+16&|:2\\y&=&-4x+8\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}16x + 4y &=& 32&|-16x\\4y&=&-16x+32&|:4\\y&=&-4x+8\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
  Die Gleichungen $(\text{I})$ und $(\text{II})$ beschreiben die gleiche lineare Funktion. Daher ist für jedes $x\in\mathbb{R}$ $(x|y)=(x|-4x+8)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& 5x &-& 2y &=& 2\\ (\text{II})& 15x &-& 6y &=& -24\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}5x - 2y &=& 2&|+2y-2\\5x-2&=&2y\\2y&=&5x-2&|:2\\y&=&\frac 52x-1\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15x - 6y &=& -24&|+6y+24\\15x+24&=&6y\\6y&=&15x+24&|:6\\y&=&\frac{15}{6}x+4\\y&=&\frac52x+4\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.
  Die entsprechenden Geraden, die sich aus dem linearen Gleichungssystem ergeben, sind zueinander parallel und schneiden sich nicht.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& 5x &+& 3y &=& 6\\ (\text{II})& -y &+& 7 &=& 0\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 5x+ 3y &=& 6&|-5x\\3y&=&-5x+6&|:3\\y&=&-\frac 53 x+2\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}-y + 7 &=& 0&|+y\\y&=&7\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& -3x &+& 4y &=& 10\\ (\text{II})& -x &+& 5y &=& 17{,}5\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -3x + 4y &=& 10&|+3x\\4y&=&3x+10&|:4\\y&=&\frac34x+2{,}5\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -x + 5y &=& 17{,}5&|+x\\5y&=&x+17{,}5&|:5\\y&=&\frac15x+3{,}5\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
6. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& x &+& 3y &=& 9\\ (\text{II})& -3x &+& 4y &=& 6\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x + 3y &=& 9&|-x\\3y&=&-x+9&|:3\\y&=&-\frac13x+3\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -3x +4y &=& 6&|+3x\\4y&=&3x+6&|:4\\y&=&\frac 34x+1{,}5\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.

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