Wie viele Lösungen gibt es? (1/2)

Wenn du ein lineares Gleichungssystem löst, können %%3%% Fälle auftreten:

  1. Du stößt bei der Berechnung der Lösung auf eine falsche Aussage (z. B. %%5 = 3%%).
  • Du stellst beim Umformen fest, dass die Gleichungen identisch sind. Es ergibt sich eine Aussage, die wahr ist, egal welche Zahl du einsetzt (z. B. %%x = x%%).
  • Beim Berechnen der Lösung erhältst du für die Gleichungen des Systems eine eindeutige Variablenbelegung (z. B. %%x = 5%% und %%y=7%%). Dies ist der bereits bekannte Normalfall!

Panik! Was tun bei 1. und 2.?

Keine Sorge! Auch lineare Gleichungssysteme können nicht immer perfekt sein. :-)
Es gibt %%3%% Arten von Systemen: Welche mit %%\color{#009999}{keiner}%%, %%\color{#009999}{genau \; einer}%% oder %%\color{#009999}{unendlich \; vielen}%% Lösungen.

Warum kann ein LGS nicht zum Beispiel zwei verschiedene Lösungen haben?

Eine lineare Gleichung lässt sich immer als eine Gerade darstellen. Du kannst keine zwei Geraden konstruieren, die sich mehr als einmal schneiden. Ein Schnittpunkt der beiden Geraden entspricht immer genau einer Lösung des LGS.
Damit hast du gezeigt, dass ein LGS keine zwei Lösungen haben kann.
Wenn es mehrere Lösungen gibt, so sind es gleich unendlich viele.

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