Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis

Zeige:

Für jeden von $A$ und $B$ verschiedenen Punkt $P$ auf dem Fasskreis der Sehne $[A B]$ gilt:

Der Randwinkel $\varphi$ bei $P$ ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel $μ \mu$ .
$\displaystyle \varphi=\frac{1}{2}\mu$
Der Randwinkel $\varphi$ bei $P$ ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel $\tau$ .
$\displaystyle \varphi=\tau$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

Die Dreiecke $A M P$ , $B M P$ und $A M B$ sind gleichschenklig und haben somit gleiche Basiswinkel.
In $\triangle{AMP}$ gilt: $\delta=\delta$ . (Zu benutzender Hilfswinkel.)
In $\triangle{BMP}$ gilt: $\varphi-\delta=\varphi-\delta$ (Restwinkel an der Spitze $P$ ).
In $\triangle{AMB}$ gilt: $90°-\frac{1}{2}\mu= 90°-\frac{1}{2}\mu$ . (Aus der Winkelsumme im $\triangle{AMB}$ .)
Die Ermittlung der Basiswinkel in den drei Dreiecken kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

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Winkelsummensatz für $\triangle{ABC}$ und Auflösung der Gleichung nach $\varphi$ :

$\underbrace{[(90°-\frac{1}{2}\mu)+\delta]}_{\sphericalangle {BAP}}+\underbrace{\varphi}_{\sphericalangle{APB}}+\underbrace{[(90° -\frac{1}{2}\mu)+(\varphi-\delta)]}_{\sphericalangle{PBA}}=180°$

Zusammenfassen der linken Seite.

Der eingeführte Hilfswinkel $\delta$ fällt weg.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}180°-\mu+2\varphi &=180°\;\;|+\mu -180°\\2\varphi&=\mu\;\;|:2\\\varphi&=\frac{1}{2}\mu\end{aligned}$

Berechnung des Sehnen-Tangentenwinkels $\tau$
Da die Tangente in $A$ auf dem Radius senkrecht steht gilt:
$\tau=90°-(90°-\varphi)\;\;\;|\;\;\text{Klammer auflösen}$
$\tau=\varphi$

Ergänzung zum Beweis:
Liegt der Scheitel von $\varphi$ auf dem kürzeren Kreisbogen über der Sehne $[A B]$ , dann verläuft der Beweis - trotz der etwas anderen gegenseitigen Lage der Dreiecke - ganz entsprechend.

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