Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis

Zeige:

Für jeden von $A$ und $B$ verschiedenen Punkt $P$ auf dem Fasskreis der Sehne $[A B]$ gilt:

Der Randwinkel $\varphi$ bei $P$ ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel $μ \mu$ .
$\displaystyle \varphi=\frac{1}{2}\mu$
Der Randwinkel $\varphi$ bei $P$ ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel $\tau$ .
$\displaystyle \varphi=\tau$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fasskreisbogen

Die Dreiecke $A M P$ , $B M P$ und $A M B$ sind gleichschenklig und haben somit gleiche Basiswinkel.
In $\triangle{AMP}$ gilt: $\delta=\delta$ . (Zu benutzender Hilfswinkel.)
In $\triangle{BMP}$ gilt: $\varphi-\delta=\varphi-\delta$ (Restwinkel an der Spitze $P$ ).
In $\triangle{AMB}$ gilt: $90°-\frac{1}{2}\mu= 90°-\frac{1}{2}\mu$ . (Aus der Winkelsumme im $\triangle{AMB}$ .)
Die Ermittlung der Basiswinkel in den drei Dreiecken kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von GeoGebra geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer Datenschutzerklärung.

[https://www.geogebra.org/material/iframe/id/h2ZRbauh]

Winkelsummensatz für $\triangle{ABC}$ und Auflösung der Gleichung nach $\varphi$ :

$\underbrace{[(90°-\frac{1}{2}\mu)+\delta]}_{\sphericalangle {BAP}}+\underbrace{\varphi}_{\sphericalangle{APB}}+\underbrace{[(90° -\frac{1}{2}\mu)+(\varphi-\delta)]}_{\sphericalangle{PBA}}=180°$

Zusammenfassen der linken Seite.

Der eingeführte Hilfswinkel $\delta$ fällt weg.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}180°-\mu+2\varphi &=180°\;\;|+\mu -180°\\2\varphi&=\mu\;\;|:2\\\varphi&=\frac{1}{2}\mu\end{aligned}$

Berechnung des Sehnen-Tangentenwinkels $\tau$
Da die Tangente in $A$ auf dem Radius senkrecht steht gilt:
$\tau=90°-(90°-\varphi)\;\;\;|\;\;\text{Klammer auflösen}$
$\tau=\varphi$

Ergänzung zum Beweis:
Liegt der Scheitel von $\varphi$ auf dem kürzeren Kreisbogen über der Sehne $[A B]$ , dann verläuft der Beweis - trotz der etwas anderen gegenseitigen Lage der Dreiecke - ganz entsprechend.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?