5Differenzenquotient

Was Patrick gerade mit Stangen an verschiedenen Positionen gemessen hat, kann man bei jeder stetigen Funktion im Koordinatensystem mithilfe von Sekanten und deren Steigung ebenfalls durchführen, um eine mittlere Steigung zwischen zwei Punkten zu erhalten.

Schau dir zum Beispiel die Funktion $f(x)=x^2+x-2$ an.

Du willst die mittlere Steigung zwischen dem x-Wert 1 und dem x-Wert 2 bestimmen. Dazu legst du eine Gerade $g$ an die Funktion $f$ , die durch die Punkte $A(1|f(1))$ und $B(2|f(2))$ und berechnest ihre Steigung.

Die Steigung einer Gerade, von der zwei Punkte bekannt sind, kann man mit folgender Formel berechnen: $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Hier: $m=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{2^2+2-2-(1^2+1-2)}{2-1}=\frac{4-0}{2-1}=\frac 4 1 = 4$

Diese Berechnung nennt man auch Differenzenquotient. Allgemein gilt für den Differenzenquotienten bei einer Funktion $f$ und zwei beliebigen x-Werten $a$ und $b$ : $m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

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