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Teil A I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    1.0 Gegeben ist die ganzrationale Funktion g dritten Grades mit Dg=RD_g=\mathbb{R}, deren Graph GgG_g in nebenstehender Abbildung dargestellt ist. Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: GgG_g hat bei der Nullstelle x=6x=6 eine Tangente GtG_t mit t:y=16x96t:y=16x-96 mit xRx\in\mathbb{R} und besitzt den Wendepunkt W(518)W(5 |-18).

    Bild

    1.1 Skizzieren Sie den Graphen GgG_g der 1. Ableitungsfunktion von g in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion gg' an.

    1.2.0 Zur Bestimmung des Funktionsterms g(x) ist folgendes Gleichungssystem gegeben:

     

    (I)(I) 216a+36b+6c+d=0216a+36b+6c+d=0

     

    (II)(II) 125a+25b+5c+d=18125a+25b+5c+d=-18

     

    III)III) 108a+12b+c=16108a+12b+c=16

     

    (IV)(IV) 30a+2b=030a+2b=0

    1.2.1 Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.

    1.2.2 Bestimmen Sie g(x) mithilfe der Gleichungen aus 1.2.0.

  2. 2

    2.0 Gegeben ist nun die Funktion f:=x110g(x)=110(x3+15x256x+12)f:=x\mapsto\frac1{10}\cdot g(x)=\frac1{10}(-x^3+15x^2-56x+12)mit Df=RD_f=\mathbb{R}, wobei g die Funktion aus Teilaufgabe 1.2.21.2.2 ist. Der Graph wird mit GfG_f bezeichnet.

    2.1 Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen GfG_f mit den Koordinatenachsen.

    2.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von GfG_f. Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.

    2.3 Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von GfG_f.

    2.4 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen GfG_f im Bereich 1x10-1\leqslant x\leqslant10 in ein kartesisches Koordinatensystem.

     

    Maßstab: 11 LE =1cm= 1cm.

    2.5 Es gilt 26f(x)dx=0\int_{-2}^6f(x)dx=0. Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf GfG_f.

    2.6 Die Parabel GpG_p mit p(x)=0,1x2+0,4x+1,2p(x)=-0{,}1x^2+0{,}4x+1{,}2 und Dp=RD_p=\mathbb{R} schließt mit GfG_f im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein. Zeichnen Sie GpG_p für 1x10-1\leqslant x\leqslant10 in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.

  3. 3

    3.0 Einer Halbkugel mit Radius R=10cmR=10cm soll ein Zylinder mit Radius rr und Höhe hh einbeschrieben werden (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

    Halbkugel

    3.1 Ermitteln Sie die Maßzahl V(h)V(h) des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe hh und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion V:hV(h)V:h\mapsto V(h) an, wenn die Höhe hh mindestens 6cm6 cm betragen soll.

     

    [Mögliches Teilergebnis: V(h)=hπ(100h2)V(h)=h\mathrm\pi(100-\mathrm h^2)]

    3.2 Berechnen Sie hh so, dass V(h)V(h) den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen VmaxV_{max} des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.


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