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Teil A I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f(x)=−14(x3+8x2+16x)f(x)=-\frac14 (x^3+8x^2+16x) mit Df=RD_f=\mathbb{R}. Der Graph wird mit Gf G_f\ bezeichnet.

    1. Ermitteln Sie sÀmtliche Nullstellen der Funktion ff mit jeweiliger Vielfachheit. (4 BE)

    2. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen GfG_f. (8 BE)

    3. Berechnen Sie die maximale positive Steigung des Graphen GfG_f. (5 BE)

    4. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f im Bereich −6≀x≀1-6\le x\le 1 unter Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE=1 cm1\ LE=1\ cm. (4 BE)

  2. 2

    Der Graph GpG_p der quadratischen Funktion pp enthĂ€lt die Punkte A(−6∣6)A(-6|6), B(−2∣−2)B(-2|-2) und C(1∣2,5)C(1| 2{,}5).

    1. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x)p(x). (7 BE)

      [Mögliches Ergebnis: p(x)=12(x2+4x)p(x)=\frac12(x^2+4x)]

    2. Zeichnen Sie den Graphen GpG_p im Bereich −6≀x≀1-6\le x\le 1 in das vorhandene Koordinatensystem ein. (2 BE)

    3. Die Graphen GfG_f und GpG_p schließen insgesamt zwei endliche FlĂ€chenstĂŒcke ein. Markieren Sie im vorhandenen Koordinatensystem das weiter links gelegene und berechnen Sie die Maßzahl seines FlĂ€cheninhalts. Die ganzzahligen Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden. (6 BE)

  3. 3

    Gegeben sind die reellen Funktionen ht=14x(tx−1)(x+4)(x−3)h_t=\frac14x(tx-1)(x+4)(x-3) mit Dht=RD_{h_t}=\mathbb{R} und t∈Rt \in \mathbb{R}.

    1. Bestimmen Sie Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion hth_t in AbhÀngigkeit von t. (7 BE)

    2. BegrĂŒnden Sie, welche der im Folgenden dargestellten Graphen zur Funktionenschar hth_t gehören können und welche nicht. BegrĂŒnden Sie jeweils Ihre Entscheidung mithilfe der ganzzahligen Nullstellen und ggf. des Grenzverhaltens bzw. des Leitkoeffizienten.

      Geben Sie fĂŒr den Fall, dass der Graph zur Funktionenschar hth_t gehört, den zutreffenden Wert von t an. (6 BE)

      Graphen ganzrationaler Funktionen
  4. 4
    Skizze Planschbecken

    4.0 Ein Planschbecken soll entsprechend folgender Skizze hergestellt werden, wobei der Boden und die Wand luftgefĂŒllte Hohlkammern mit einer Dicke von 10 cm sind. Die Summe aus Radius R und Höhe h soll konstant 90 cm betragen.

    4.1 Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf, welche die Maßzahl des Volumens des mit Luft gefĂŒllten Teils des Planschbeckens in AbhĂ€ngigkeit von R beschreibt. (6 BE)

    [Mögliches Ergebnis: V(R)=π(−10R2+1700R−8000)V(R)=\pi(-10R^2+1700R-8000)]

    4.2 Mit der Vorgabe 10<R≀5510<R\le55 soll die Funktion V:R↩V(R)V:R\mapsto V(R) den absolut grĂ¶ĂŸten Wert annehmen. Berechnen Sie fĂŒr diesen Fall die maximale FĂŒllhöhe des Planschbeckens. (5 BE)


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