Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit m0m_0m0 , im Jahr 1 mit m1m_1m1 , im Jahr 2 mit m2m_2m2 …, im Jahr 10 mit m10m_{10}m10 .
Jahr
noch vorhandene Masse
0
m0m_0m0
1
m1=0,9⋅m0m_1=0{,}9 \cdot m_0m1=0,9⋅m0
2
m2=0,9⋅m1=0,9⋅0,9⋅m0=(0,9)2⋅m0m_2=0{,}9 \cdot m_1=0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot m_0 = (0{,}9)^2\cdot m_0m2=0,9⋅m1=0,9⋅0,9⋅m0=(0,9)2⋅m0
3
m3=0,9⋅m2=0,9⋅0,9⋅0,9⋅m0=(0,9)3⋅m0m_3=0{,}9 \cdot m_2=0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot m_0 = (0{,}9)^3\cdot m_0m3=0,9⋅m2=0,9⋅0,9⋅0,9⋅m0=(0,9)3⋅m0
⋮\vdots⋮
9
m9=0,9⋅m8=0,9⋅(0,98⋅m0)=0,99m0m_9=0{,}9 \cdot m_8=0{,}9\cdot (0{,}9^8 \cdot m_0)=0{,}9^9m_0m9=0,9⋅m8=0,9⋅(0,98⋅m0)=0,99m0
10
m10=0,9⋅m9=0,9⋅(0,99⋅m0)=0,910⋅m0m_{10}=0{,}9 \cdot m_9=0{,}9\cdot (0{,}9^9 \cdot m_0)=0{,}9^{10} \cdot m_0m10=0,9⋅m9=0,9⋅(0,99⋅m0)=0,910⋅m0
m10=0,9⋅m9=0,910⋅m0m_{10}=0{,}9 \cdot m_9=0{,}9^{10} \cdot m_0m10=0,9⋅m9=0,910⋅m0 ≈0,3487⋅m0\approx 0{,}3487 \cdot m_0≈0,3487⋅m0
Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.
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