Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

1

Der Baumbestand eines Waldes in $k m^{2}$ kann näherungsweise durch die Funktion $w\left(x\right)=80\cdot1{,}1^x$ beschrieben werden, wobei $x\in\mathbb{R}^+$ für die Anzahl vergangener Jahre seit der ersten Messung steht.

Begründe anhand des Funktionsterms, ob der Wald wächst oder schrumpft.
- Der Wald wächst
- Der Wald schrumpft
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
Ist der Wachstumsfaktor einer Exponentialfunktion größer als 1, so liegt exponentielles Wachstum vor. Der Wachstumsfaktor $b$ ist dabei die Basis der Exponentialfunktion der Form $a\cdot b^x$ .
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Untersuche, ob der Wachstumsfaktor größer oder kleiner als 1 ist.
Berechne, wie groß der Wald in 10 Jahren ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen
$\displaystyle w\left(10\right)$ $=$ $\displaystyle 80\cdot1{,}1^{10}$
$\approx ≈$ $\displaystyle 207{,}50$
Nach zehn Jahren ist der Wald ca. $207{,}5\ km^2$ groß.
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Da $x$ für die Zahl der vergangenen Jahre steht, setzt du 10 in die Funktionsgleichung ein.

Bestimme, wann der Wald $100\ km^2$ groß ist.

Bestimme, vor wie vielen Jahren der Wald halb so groß war wie jetzt.

Bestimme, wie lange der Wald braucht, um seine Größe zu verdoppeln.

Vergleiche mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe und formuliere dazu eine Aussage zur benötigten Zeit zum Verdoppeln der Waldgröße.

Häufig interessiert in Sachsituationen die Halbwerts- oder Verdopplungszeit einer Größe, also die Zeit, die benötigt wird, damit sich der Wert halbiert oder verdoppelt. Im Folgenden kannst du als Verdopplungszeit 7 Jahre annehmen.
Erkläre, warum der Wachstumsprozess des Waldes mit dieser Annahme näherungsweise auch mithilfe des Terms
$w_2\left(x\right)=80\cdot2^{\frac{x}{7}}$
beschrieben werden kann.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Halbwerts- und Verdopplungszeit
Startwert $80 k m^{2}$
Der Wald hat weiterhin die gleiche Ausgangsgröße von $80\ km^2$
Wachstumsfaktor 2
Statt dir das Wachstum um 10% in einem Jahr anzuschauen, fragst du jetzt, wann sich die Größe des Waldes verdoppelt hat. Deshalb benutzt du den Wachstumsfaktor 2.
Natürlich geht das nicht ohne weitere Anpassungen, deshalb wurde auch im Exponenten etwas ergänzt.
Neuer Exponent $\frac{x}{7}$
Die 7 Jahre sind die Zeit, die der Wald benötigt, um seine Größe zu verdoppeln.
Dadurch, dass im Exponent durch 7 dividiert wird, braucht es 7 Jahre, bis der Exponent den Wert 1 annimmt und sich somit der Wald auch wirklich verdoppelt hat:
$w_2\left(1\right)=80\cdot2^{\frac{1}{7}}$ ist noch keine Verdopplung der Waldfläche.
$w_2\left(7\right)=80\cdot2^{\frac{7}{7}}=80\cdot2^1=160$ ist die erste Verdopplung der Waldfläche.
$w_2\left(14\right)=80\cdot2^{\frac{14}{7}}=80\cdot2^2=320$ ist die zweite Verdopplung der Waldfläche und
$w_2\left(-7\right)=80\cdot2^{\frac{-7}{7}}=80\cdot\frac{1}{2}=40$ ist der Zeitpunkt, an dem der Wald die halbe Größe hatte.
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Beachte die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den beiden Funktionstermen:
Warum ist die 80 gleich?
Was bedeutet der neue Wachstumsfaktor 2?
Warum wird im Exponenten die Variable durch 7 geteilt?

2

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum

Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit $m_{0}$ , im Jahr 1 mit $m_{1}$ , im Jahr 2 mit $m_{2}$ …, im Jahr 10 mit $m_{10}$ .

Jahr	noch vorhandene Masse
0	$m_{0}$
1	$m_1=0{,}9 \cdot m_0$
2	$m_2=0{,}9 \cdot m_1=0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot m_0 = (0{,}9)^2\cdot m_0$
3	$m_3=0{,}9 \cdot m_2=0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot m_0 = (0{,}9)^3\cdot m_0$
$\vdots$	$\vdots$
9	$m_9=0{,}9 \cdot m_8=0{,}9\cdot (0{,}9^8 \cdot m_0)=0{,}9^9m_0$
10	$m_{10}=0{,}9 \cdot m_9=0{,}9\cdot (0{,}9^9 \cdot m_0)=0{,}9^{10} \cdot m_0$

$m_{10}=0{,}9 \cdot m_9=0{,}9^{10} \cdot m_0$ $\approx 0{,}3487 \cdot m_0$

Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.

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3

Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm $\mathrm f(\mathrm x)$ :

Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:

Jahr	1984	1990	1996	2002
Fläche in 1000 ha	22	84	313	632

Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart $f(x)=84\, a^ x$ beschrieben wird, wie lautet dann die Basis $a$ und wie ist dieser Wert zu interpretieren?

Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zerfallsprozesse

Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.

Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante $\lambda$ .

\displaystyle N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $\lambda$ .

$\displaystyle N(183\,\mathrm{s})$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10} \cdot N_0$
$\displaystyle N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}N_0$	$\displaystyle :N_0$
$\displaystyle e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$\displaystyle -\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{10}\right)$
	↓	Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus: $\ln \left(\frac{1}{10}\right)=\ln (10^{-1})=-\ln (10)$
$\displaystyle -\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}$	$=$	$\displaystyle -\ln(10)$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle \lambda \cdot 183\,\mathrm{s}$	$=$	$\displaystyle \ln(10)$	$\displaystyle :183$
$\displaystyle \lambda$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln(10)}{183\,\mathrm{s}}$

Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit $T$ .

Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit $T$ sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.

$\displaystyle N\left(T\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{N_0}{2}$
$\displaystyle N_0\cdot e^{-\lambda T}$	$=$	$\displaystyle \frac{N_0}{2}$	$\displaystyle :N_0$
$\displaystyle e^{-\lambda T}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$\displaystyle -\lambda T$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
	↓	$\ln(\frac{1}{2})=\ln(1)-\ln(2)=-\ln(2)$
$\displaystyle -\lambda T$	$=$	$\displaystyle -\ln(2)$	$\displaystyle :(-\lambda)$
$\displaystyle T$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(2\right)}{\lambda}$
	↓	Setze $\lambda$ ein.
$\displaystyle T$	$=$	$\displaystyle \ln(2) \cdot \left(\frac{183\,\mathrm{s}}{\ln(10)}\right)$
$\displaystyle T$	$\approx ≈$	$\displaystyle 55{,}088\,\mathrm{s}$

Die Halbwertzeit beträgt rund $55{,}1\;\mathrm{ s}$ .

Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung $N(t)=b\cdot a^t$ lautet.

Ausgangssituation:

Anfangs ( $t = 0$ ) sind $N (0) = 20000$ Kerne vorhanden

$\displaystyle N(0)$	$=$	$\displaystyle b\cdot a^0$
$\displaystyle 20000$	$=$	$\displaystyle b\cdot a^0$
	↓	Da $a^{0} = 1$ , ist nun der Wert des Parameters $b$ bekannt.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 20000$

Situation nach 183 Sekunden:

Nach 183 Sekunden existieren noch $\frac{1}{10}$ der anfangs vorhanden Kerne.

Also: $N(183)=\frac{1}{10}\cdot N(0)$

$\displaystyle N(183)$	$=$	$\displaystyle 20000\cdot a^{183}$
$\displaystyle \frac{1}{10}\cdot N(0)$	$=$	$\displaystyle 20000\cdot a^{183}$
	↓	Setze $N (0) = 20000$ ein
$\displaystyle 2000$	$=$	$\displaystyle 20000\cdot a^{183}$	$\displaystyle :20000$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle a^{183}$	$\displaystyle \sqrt[183]{}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[183]{0{,}1}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}9875$

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt.

\displaystyle N(t)=20000\cdot 0{,}9875^t

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also:

\displaystyle N(T)=\frac{1}{2}\cdot N(0)

Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm $N (t)$

$\displaystyle N(T)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot N(0)$
$\displaystyle 20000\cdot 0{,}9875^T$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 20000\cdot 0{,}9875^0$
$\displaystyle 0{,}9875^T$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot0{,}9875^0$
$\displaystyle 0{,}9875^T$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \ln()$
$\displaystyle T\cdot \ln(0{,}9875)$	$=$	$\displaystyle \ln(\frac{1}{2})$	$\displaystyle :\ln(0{,}9875)$
$\displaystyle T$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(0{,}9875)}$
$\displaystyle T$	$\approx ≈$	$\displaystyle 55{,}1$

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht geringfügig von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert $0,9875$ für den Parameter $a$ weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses $a=\sqrt[183]{0{,}1}$ erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von $T=\frac{\ln{(\frac{1}{2})}}{\ln{\left(\sqrt[183]{0{,}1}\right)}}=55{,}088$ Sekunden.

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Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,
nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.
Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Es handelt sich um eine lineare Abnahme, weil von einer gleichmäßigen Nachfrage gesprochen wird. Das heißt, die Kunden kaufen jeden Tag die gleiche Menge an Stifte.
Exponentiell wäre der Zusammenhang genau dann, wenn die Nachfrage der Kunden gleichmäßig bspw. um $10 %$ jeden Tag ansteigen würde.
Es sind noch $\dfrac{1}{10}$ von $20000$ gleich $2000$ Bleistifte vorrätig, d.h. es wurden $18000$ Stifte verkauft.
Pro Tag nahm der Vorrat um $\dfrac{18000}{183}\approx98$ Stifte ab.
Die lineare Funktionsgleichung lautet demnach:
$\displaystyle f(x)=20000-\dfrac{18000}{183}\cdot x$
.
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Berechne, wie viele Stifte verkauft wurden.
Berechne den Verkauf pro Tag.

4

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu $\mathrm f(\mathrm x)=2{,}5^\mathrm x$ , $\mathrm g(\mathrm x)=2{,}5^{\mathrm x-1}$ und $\mathrm h(\mathrm x)=0{,}4^\mathrm x$ .

Vergleiche die Graphen.

Löse die Gleichung $2{,}5^\mathrm x=5$ graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum

Wertetabelle anlegen

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$f (x)$	0,064	0,16	0,4	1	2,5	6,25	15,625	39,0625
$g (x)$	0,0256	0,064	0,16	0,4	1	2,5	6,25	15,625
$h (x)$	15,625	6,25	2,5	1	0,4	0,16	0,064	0,0256

Graphen zeichnen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9488_790G3oL5zk.xml

Graphen vergleichen

g ist im Vergleich zu f um 1 nach rechts verschoben

h ist im Vergleich zu f an der y-Achse gespiegelt

Lösung der Gleichung ablesen

$P=\left(1{,}76\;\left|5\right.\right)$

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5

Herr Meier hat eine größere Summe Geld gewonnen und legt sie für 3 Jahre zu einem Zinssatz von 2% jährlich an. Nach 3 Jahren bekommt er von der Bank $53\, 060{,}40\ €$ ausbezahlt.

Wie viel Geld hatte er angelegt?

6

Frau Müller hat $10\, 000\ €$ gespart und legt sie für 5 Jahre zu einem festen Zinssatz an. Nach 5 Jahren bekommt sie $11\, 314{,}08\ €$ ausbezahlt.

Zu welchem Zinssatz war das Geld angelegt?

7

Tante Luna zeigt ihrem 13-jährigen Neffen Luca ein Sparbuch, auf dem sich $5796{,}37\ €$ befinden. "Als du 8 Jahre alt warst", sagt sie, "hatte ich mir etwas Geld gespart und es zu einem festen Zinssatz angelegt. Wenn du 18 Jahre bist, bekommst du von mir $6719{,}58 \ €$ ."

Wie viel Geld hatte Tante Luna angelegt und zu welchem Zinssatz?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinseszinsrechnung

\displaystyle f(x)=c\cdot a^x

Diese Formel benötigst du, um die Aufgabe zu lösen.

Hier ist:

$f (x)$ das Ergebnis (in diesem Fall die Geldsumme die man bekommt bzw.bekommen kann, nachdem man das Geld angelegt hat), abhängig von $x$ , also der Zeit in Jahren
$c$ der Anfangswert (in diesem Fall das Geld, welches anfangs angelegt wird)
$a$ der Wachstumsfaktor (in diesem Fall der Zinssatz + 1) mit dem Exponenten $x$ , der die Zeit in Jahren bedeutet

Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich ein Gleichungssystem. Dazu musst du zwei Gleichungen aufstellen.

Zum einen weißt du, dass Luca als er 13 Jahre alt war, also $5$ Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), $5796,37 €$ auf dem Konto hatte. Andererseits weißt du, dass er sobald er 18 Jahre alt ist, also $10$ Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), $6719,58 €$ auf dem Konto haben wird.Wenn du jetzt diese Werte in zwei Gleichungen einsetzt kannst du ein Gleichungssystem aufstellen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}I.\;f\left(5\right)=c\cdot a^5=5796{,}37\\II.\;f(10)=c\cdot a^{10}=6719{,}58\end{array}

Wende nun eines der Lösungsverfahren für Gleichungssysteme an. Hier eignet sich z.B das Gleichsetzungsverfahren. Hierzu musst du beide Gleichungen umformen und anschließend gleichsetzen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}I.\;c\cdot a^5=5796{,}37\;\vert\div a^5\end{array}

\displaystyle \;I'.\;c=\frac{5796{,}37\;}{a^5}

\displaystyle \;II.\;c\cdot a^{10}=6719{,}58\;\vert\div a^{10}

\displaystyle II'.\;c=\frac{6719{,}58}{a^{10}}

\displaystyle I'.\;=II'.

\displaystyle \frac{5796{,}37\;}{a^5}=\frac{6719{,}58}{a^{10}}\;

Um die Variable aus dem Nenner zu bekommen musst du mit $a^{10}$ erweitern.

\displaystyle \frac{5796{,}37\;}{a^5}=\frac{6719{,}58}{a^{10}}\;\;\vert\cdot a^{10}

\displaystyle \frac{5796{,}37\cdot a^{10}\;}{a^5}=\frac{6719{,}58\cdot a^{10}}{a^{10}}\;\;

Kürze die Brüche auf beiden Seiten. Dies ist aufgrund der Potenzgesetze möglich.

\displaystyle 5796{,}37\cdot a^5\;=6719{,}58

Forme die Gleichung nach $a^{5} a⁵$ um.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}5796{,}37\cdot a^5\;=6719{,}58\;\vert\div5796{,}37\end{array}

\displaystyle a^5\;=\frac{6719{,}58}{5796{,}37}

\displaystyle a^5\approx1{,}159

Ziehe nun die 5. Wurzel.

\displaystyle a^5\approx1{,}159\;\vert\sqrt[5]{}

\displaystyle a\approx\sqrt[5]{1{,}159\;}

\displaystyle a\approx1{,}03

Bestimme jetzt den Zinssatz und verfasse einen Antwortsatz.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1{,}03\cdot100\%=103\%=100\%\;+\;3\%\end{array}

Setze das Ergebnis für a in eine der Anfangsgleichungen ein.

\displaystyle \;a\;in\;I'.

\displaystyle \;c=\frac{5796{,}37\;}{a^5}

\displaystyle \;c=\frac{5796{,}37\;}{1{,}03^5}

\displaystyle c=5000

Schreibe jetzt noch einen Antwortsatz mit der richtigen Einheit.

$\Rightarrow$ Als Luca 8 Jahre alt war,hatte Tante Luna $5000 €$ auf der Bank angelegt.

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8

Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. $4 %$ Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr $4 %$ mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…

… 2 Jahren gewachsen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$ 4 %$ -iges Wachstum bedeutet, dass die Wirtschaftskraft das $1,04$ fache vom Vorjahr beträgt.
Nach 2 Jahren also das $1{,}04\cdot 1{,}04=1{,}0816$ fache vom Ausgangsjahr. Das entspricht einem Zuwachs von $8{,}16\%$
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… 10 Jahren gewachsen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$1{,}04^{10}=1{,}48024.$ Sie wäre also rund um das $1,5$ -fache gewachsen. Der Zuwachs wäre $48 %$ .
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… 50 Jahren gewachsen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Lösung: $1{,}04^{50}=7{,}10668$
Nach 50 Jahren müsste sich die Wirtschaftsleistung etwa versiebenfacht haben. Fragt sich nur, wo da die Resourcen herkommen sollen…
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9

Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf $500\ €$ ein.

Er erhält jährlich $2,5 %$ Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:
$\displaystyle a\cdot b^t=y$
Wachstumsfaktor: $b\ =\ 1{,}025$
Anfangswert: $a = 500\;$
Exponent: $\left[t\right]$ in Jahren
$\left[y\right]$ in Euro
Erhält Hans jährlich $2,5 %$ Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das $1,025$ -fache des vorherigen Betrags von $500$ Euro.
Gesucht ist jeweils $y$ , wenn die Werte $1, 2, 5$ und $10$ für $t$ eingesetzt werden
Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $1$
Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau $1{,}025^1$ -fache des vorherigen Betrages gestiegen.
$500\cdot1{,}025^1=512{,}50 \;\text{Euro}$
Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $2$
Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das $1,025$ fache aufgeschlagen. Ein Zuwachs von $1{,}025\cdot1{,}025\;$ also $5,1 %$ .
$500\cdot1{,}025^2=525{,}31 \;\text{Euro}$
Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = 5
$500\cdot1{,}025^5=565{,}70 \; \text{Euro}$
Exponent= $\left[t\right]$ in Jahren = 10
$500\cdot1{,}025^{10}=640{,}04\; \text{Euro}$
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Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von $500\ €$ verdoppelt hat?

10

Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt $t = 0$ sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?

Finde eine Formel für die Anzahl $N = N (t)$ der Bakterien nach der Zeit $t$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
$1\cdot 1{,}072^t=N\left(t\right)$
Siehe 1. Teilaufgabe.
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Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. $2 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3$ . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1\ m^3$ bzw. $1\ km^3$ einnimmt? Beurteile dein Ergebnis kritisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
1. Volumen
Formel:
$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1\,m^3$
$1{,}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1 m^{3}$ gleichgesetzt.
$1{,}072^t=5\cdot 10^{17}$
Logarithmiere.
$\log _{1{,}072}\left(5\cdot 10^{17}\right)\approx 586{,}16$
Rechne $586,16$ Minuten in Stunden um.
⇒ Es dauert ca. 9,77 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1 m^{3}$ erreicht hat.
2. Volumen
$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^3$
$1{,}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1000000000\,m^3$ gleichgesetzt.
$1{,}072^t=5\cdot 10^{26}$
Logarithmiere.
$\log _{1{,}072}\left(5\cdot 10^{26}\right)=884{,}22$
⇒ Es dauert ca. 14,74 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1000000000\,m^3$ erreicht hat.
Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von $1 \, km^3$ hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf $1 \, m^3$ anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa $13$ Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.
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11

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

allg. Formel $H_0\cdot b^x=H$

Abnahmefaktor $b = 0,83$

Anfangswert $H_{0} = 1$ $\left(=100\%\right)$

Exponent= $\left[x\right]$ in Metern

$\left[H\right]$ in Prozent

Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
$x=1\ \text{m}$
$100\%\cdot0{,}83=83\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x=2\ \text{m}$
$83\%\cdot0{,}83\cdot0{,}83=68{,}89\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x=5\ \text{m}$
$68{,}89\%\cdot0{,}83\cdot0{,}83\cdot0{,}83=39{,}39\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x=10\ \text{m}$
$39{,}39\%\cdot0{,}83^5=15{,}52\%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
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Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit ${\mathrm H}_0$ an der Wasseroberfläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
Formel: $H_0\cdot0{,}83^x=H$
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In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als $0{,}01\cdot{\mathrm H}_0$ ?

12

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa $400\ g$ radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

Allg. Formel: $M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)$

Anfangswert a = $400 g$ $=M\left(0\right)$

Zeit $\left[t\right]$ in Tagen

$M\left(t\right)\;in\;g$

$M\left(8\right)=200g$

Wie kann man die Menge $\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right)$ des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit $t$ angeben?

Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge ${\mathrm M}_0=400\mathrm g$ war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
$M\left(1\right)=400g\cdot 0{,}917^1 = 366{,}8g$
Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
$\frac{366{,}8}{400}=0{,}917=91{,}7\%$
$M\left(30\right)=400g\cdot0{,}917^{30} \approx29{,}73$
Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
$\frac{29{,}73}{400}\approx0{,}074=7{,}4\%$
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Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

13

Bierschaumzerfall

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs $10\ cm$ . Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

Berechne, wann die Schaumhöhe auf $1\ cm$ zurückgegangen ist.

Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch $3\ cm$ . Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner $1$ ist.
Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.
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14

Für den Wasserverbrauch berechnet der Wasserversorger pro $\;\mathrm{m}^3$ Wasser $1{,}75\;€$ (Verbrauchskosten). Zusätzlich muss pro Monat eine Grundgebühr von $7 €$ bezahlt werden. Die monatlichen Gesamtkosten setzen sich aus den Verbrauchskosten und der Grundgebühr zusammen.

a) Zeichne den Graphen der Gesamtkostenfunktion:
Wasserverbrauch $x$ (in $\mathrm{m}^3$ ) $\longmapsto$ Gesamtkosten $K$ $\left(\text{in} \;€\ \right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
a) Zum Zeichnen benötigt man $2$ Punkte auf dem Graphen.
Für $x = 0$ ist nur die Grundgebühr in Höhe von $7 €$ zu bezahlen $\Rightarrow\;P(0|7)$
Werden $10\;\mathrm{m}^3$ Wasser im Monat verbraucht, sind die Verbrauchskosten $10\cdot 1{,}75\;€=17{,}50\;€$ . Zusammen mit der Grundgebühr ergibt sich eine Monatsrechnung von $17{,}50\;€+7\;€=24{,}50\;€\;\Rightarrow\;Q(10|24{,}50)$
Zeichne die beiden Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
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b) Gib die Funktionsgleichung an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Bestandsgleichung $B(t)=k\cdot t+B_0$ (und $k > 0$ )
Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ den Gesamtkosten $K (x)$ , die Änderungsrate ist hier $k = 1,75$ und $B_{0}$ entspricht der Grundgebühr von $7 €$ .
Gesamtkosten $K (x)$ = Verbrauchskosten $k\cdot x$ + Grundgebühr $7$
(Verbrauchskosten= Preis pro $\mathrm{m}^3$ Wasser, multipliziert mit dem Wasserverbrauch $x$ (in $\mathrm{m}^3$ ) $=1{,}75\cdot x$ )
Man erhält also die Gleichung: $K(x)=1{,}75\cdot x+7$
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c) Im Juli wurden $5{,}6 \;\mathrm{m}^3$ Wasser verbraucht. Wie hoch ist die Wasserrechnung im Juli?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Setze $5,6$ in die Gleichung für die Gesamtkosten ein:
$K(5{,}6)=1{,}75\cdot 5{,}6+7=9{,}80+7=16{,}80$
Für einen Verbrauch von $5{,}6\;\mathrm{m}^3$ Wasser im Monat Juli müssen $16{,}80\; €$ bezahlt werden.
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15

Eine Kerze ist anfangs $18\;\mathrm{cm}$ lang. Beim Abbrennen wird sie stündlich um $1{,}5\;\mathrm{cm}$ kürzer.

Zeichne den Graphen der Funktion:
Brenndauer $t$ (in Stunden) $\longmapsto$ Länge der Kerze $L$ (Länge in $\;\mathrm{cm}$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Graph der Funktion:
Zum Zeichnen benötigt man $2$ Punkte auf dem Graphen.
Für $t = 0$ ist $L(0)=18\;\mathrm{cm}\;\Rightarrow\;P(0|18)$
Nach $10$ Stunden ist die Kerze um
1 $,5\cdot 10=15\;\mathrm{cm}$ kürzer geworden.
Sie hat nun eine Länge von:
$18\;\mathrm{cm}-15\;\mathrm{cm}=3\;\mathrm{cm}\;\Rightarrow\;Q(10|3)$ .
Zeichne die beiden Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
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Notiere die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Es handelt sich hier um lineares, negatives Wachstum. Dazu gehört die Bestandsgleichung $B(t)=k\cdot t+B_0$ (und $k < 0$ ).
Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ der Länge $L (t)$ der Kerze. Die Änderungsrate ist $k = - 1,5$ (Die Kerze wird pro Stunde um $1{,}5\;\mathrm{cm}$ kürzer.) und die Anfangslänge ist $L_0=18\;\mathrm{cm}$ .
Eingesetzt in die Funktionsgleichung $L(t)=k\cdot t+L_0$ folgt:
$\displaystyle L(t)=-1{,}5\cdot t+18$
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Wie lang ist die Kerze nach 3 Stunden?

Wann ist die Kerze abgebrannt?

16

Die Bevölkerung einer Stadt wächst jährlich um $4 %$ . Im Jahr 2022 hat die Stadt 80000 Einwohner.

Wie lautet die Wachstumsfunktion mit dem Ansatz $N(t)=N_0\cdot e^{k\cdot t}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
$N(t)=N_0\cdot e^{k\cdot t}$ mit $t$ in Jahren ab dem Jahr 2022
$N (0) = N_{0} = 80000$
Nach einem Jahr hat die Einwohnerzahl um $4 %$ zugenommen.
$k=\ln(a)$ und $a=1+\dfrac{4}{100}=1{,}04$ $\;\Rightarrow\;k=\ln(1{,}04)\approx0{,}0392$
Antwort: Die Wachstumsfunktion lautet $N(t)=80000\cdot e^{0{,}0392\cdot t}$ ( $t$ in Jahren ab 2022).
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Wie viele Einwohner wird die Stadt nach 15 Jahren haben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Setze $t = 15$ in $N(t)=80000\cdot e^{0{,}0392\cdot t}$ ein:
$N(15)=80000\cdot e^{0{,}0392\cdot15}\approx144030$
Antwort: Nach $t = 15$ Jahren beträgt die Einwohnerzahl etwa $144030$ .
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Berechne die Verdopplungszeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Für die Verdopplungszeit gilt die Formel: $T_{2}=\dfrac{\ln(2)}{k}$
Setze $k=\ln(a)$ mit $a = 1,04$ ein: $\;\Rightarrow\;$ $T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)}\approx17{,}7$
Antwort: Nach rund $17,7$ Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.
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Wann (nach Beobachtungsbeginn) beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat?

17

Ein Sparer hat $20000\;€$ gespart. Sein Vermögen verliert durch die Inflation von zur Zeit $7 %$ jährlich an Wert.

Stelle die Gleichung für den Wert des Vermögens $K (t)$ des Sparers auf (unter der Voraussetzung, dass sich die Inflationsrate nicht ändert):
Zeit $t$ (in Jahren) $\longmapsto$ $K (t)$ (in $\;\mathrm{€\ }$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Es handelt sich hier um exponentielle Abnahme. Dazu gehört die Bestandsgleichung $\displaystyle B\left(t\right)=B_0\cdot a^t$ (und $a < 1$ ).
Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ dem Kapital $K (t)$ des Sparers.
Das Anfangskapital ist $K_{0} = 20000$ und die Änderungsrate ist $a=1- \dfrac{7}{100} =0{,}93$ (Das Kapital nimmt pro Jahr um den Faktor $a = 0,93$ ab.)
Eingesetzt in die Funktionsgleichung $\displaystyle K\left(t\right)=K_0\cdot a^t$ folgt: $\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot 0{,}93^t$
Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot 0{,}93^t$
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Wie hoch ist der Wert seines Vermögens nach 5 Jahren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Setze $t = 5$ in die Funktionsgleichung $\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot 0{,}93^t$ ein:
$\displaystyle K\left(5\right)=20000\cdot 0{,}93^5\approx13914$
Antwort: Nach $5$ Jahren hat das Vermögen des Sparers nur noch einen Wert von etwa $13914\;€$ .
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Wann ist sein Vermögen nur noch die Hälfte wert?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Die Gleichung für die Halbwertszeit lautet: $T_{1/2}=\dfrac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}$
Setze $a = 0,93$ ein:
$T_{1/2}=\dfrac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0{,}93)}\approx 9{,}55$
Antwort: Nach etwa $9,55$ Jahren hat sich das Vermögen des Sparers halbiert.
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18

Beim Servieren von frisch gebrühtem Espresso hat dieser eine Temperatur von $74^{\circ}$ C.

Nach $6\;\text{min}$ hat der Espresso nur noch eine Temperatur von $50^\circ$ C. Die Zimmertemperatur beträgt $21^\circ$ C.

Stelle die Gleichung für die beschränkte exponentielle Abnahme der Espressotemperatur auf.

Wie lange dauert es, bis die Espressotemperatur $40^\circ$ C beträgt?

19

Aus der Tiefkühltruhe wird ein gefrorenes Lebensmittel mit einer Temperatur von $-11{,}6^\circ \mathrm{C}$ in die Küche zum Auftauen gebracht. Die Temperatur in der Küche beträgt $21 {}^\circ \mathrm{C}$ . Nach $15\; \mathrm{min}$ hat sich das Tiefkühlgut auf $-7{,}8^\circ \mathrm{C}$ erwärmt.

Bestimme die Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme.

Benutze dabei die allgemeine Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme: $B(t)=S+(B_0-S)\cdot e^{-k\cdot t}$

Dabei ist:

$B (t)$ : ist der Bestand zur Zeit $t$ ,
$S$ : ist die Sättigungsgrenze (Schranke)
$k$ : ist die Wachstumskonstante,
$B_{0}$ : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.

Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ der Temperatur $T (t)$ in ${}^\circ \mathrm{C}$ des Tiefkühlgutes und $t$ ist die Zeit in Minuten.

Die obere Schranke $S$ ist die Zimmertemperatur von $21^\circ \mathrm{C}$ . Der Anfangswert $B_{0}$ ist hier die Anfangstemperatur $T_0=-11{,}6{}^\circ \mathrm{C}$ . Somit ergibt sich folgende Gleichung für die beschränkte Temperaturzunahme:

$\displaystyle T(t)=21+(-11{,}6-21)\cdot e^{-k\cdot t}=21-32{,}6\cdot e^{-k\cdot t}$ .

Die Wachstumskonstante $k$ kann über die Angabe $T(15)=-7{,}8{}^\circ \mathrm{C}$ berechnet werden.

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-k\cdot t}$
	↓	Setze $T (15) = - 7,8$ .
$\displaystyle -7{,}8$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-k\cdot 15}$	$\displaystyle -21$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle -28{,}8$	$=$	$\displaystyle -32{,}6\cdot e^{-k\cdot 15}$	$\displaystyle :(-32{,}6)$
$\displaystyle \dfrac{-28{,}8}{-32{,}6}$	$=$	$\displaystyle e^{-k\cdot 15}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{28{,}8}{32{,}6}\right)$	$=$	$\displaystyle -k\cdot 15$	$\displaystyle :(-15)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{28{,}8}{32{,}6}\right)}{-15}$	$=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle k$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}00826$

Antwort: Die Gleichung für die Temperaturzunahme lautet:

$\displaystyle T(t)=21-32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$ , $T (t)$ in ${}^\circ \mathrm{C}$ und $t$ in Minuten.

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Wie lange dauert es, bis sich das Tiefkühlgut auf $20{}^\circ \mathrm{C}$ erwärmt hat?

Zeichne den Graphen der Funktionsgleichung für $0\le t\le200$ .
Zeichne ebenfalls die Asymptote ein.

Erstelle eine Tabelle mit einigen Funktionswerten:
t (in Minuten)
T(t) in ${}^\circ \mathrm{C}$
0
-11,6
15
-7,8
40
-2,4
80
4,2
120
8,9
160
12,3
200
14,8
Trage die berechneten Funktionswerte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Die Asymptote hat hier die Gleichung $y = 21$ (Schranke $S$ ).
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t (in Minuten)	T(t) in ${}^\circ \mathrm{C}$
0	-11,6
15	-7,8
40	-2,4
80	4,2
120	8,9
160	12,3
200	14,8

20

In der Abbildung ist eine logistische Wachstumsfunktion dargestellt. Entnimm der Abbildung die Funktionsgleichung und bestimme für die logistische Funktion die charakteristischen Parameter $S$ , $B_{0}$ und $k$ .

Schranke $S$

Für die logistische Wachstumsfunktion gilt die Funktionsgleichung:
$B(t)=\dfrac{S}{1+\left(\frac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$
Hier ist die Funktion $B(t)=\dfrac{250}{1+4\cdot e^{-0{,}625\cdot t}}$ gegeben.
Die Schranke $S$ ist im Zähler des Bruches zu finden, also ist $S = 250$ .
Antwort: Die Schranke $S$ für diese logistische Funktion ist $250$ .
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Anfangswert $B_{0}$

Wachstumskonstante $k$

Die Wachstumskonstante $k$ steht im Exponenten der $e$ -Funktion.
$B(t)=\dfrac{S}{1+\left(\frac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$ und $B(t)=\dfrac{250}{1+4\cdot e^{-0{,}625\cdot t}}$
Betrachte die Exponenten der $e$ -Funktionen: $-S\cdot k\cdot t$ und $-0{,}625\cdot t$
Durch Vergleich findet man: $S\cdot k=0{,}625$
Da $S = 250$ ist, folgt: $250\cdot k=0{,}625\;\Rightarrow\;k=\dfrac{0{,}625}{250}=0{,}0025$
Antwort: Die Wachstumskonstante ist $k = 0,0025$ .
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21

Ein Kind hat bei seiner Geburt eine Größe von $53\;\mathrm{cm}$ . Nach $3,64$ Jahren ist das Kind $100\;\mathrm{cm}$ groß. Als Erwachsener ist seine Größe $170 \;\mathrm{cm}$ .

Bestimme die logistische Wachstumsgleichung mit dem Ansatz:

$L(t)=\dfrac{S}{1+\left(\frac{S}{L_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Alle Maße sind in $\mathrm{cm}$ gegeben.

Aus der Aufgabenstellung folgt, dass $L_{0} = 53$ ist. Die Schranke $S$ ist hier $170$ .

$\;\Rightarrow\;L(t)=\dfrac{170}{1+\left(\dfrac{170}{53}-1\right)\cdot e^{-170\cdot k\cdot t}}=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot k\cdot t}}$

Der Parameter $k$ kann mit der Aussage, dass $L (3,64) = 100$ ist, berechnet werden.

$\displaystyle L(t)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot k\cdot t}}$
	↓	Setze $L (3,64) = 100$ ein.
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot k\cdot 3{,}64}}$
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k})$
$\displaystyle 100\cdot (1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle :100$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k}$	$=$	$\displaystyle 1{,}7$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k}$	$=$	$\displaystyle 0{,}7$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-618{,}8\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}7}{2{,}2075}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -618{,}8\cdot k$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{0{,}7}{2{,}2075}\right)$	$\displaystyle :(-618{,}8)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{0{,}7}{2{,}2075}\right)}{(-618{,}8)}$
$\displaystyle k$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}001856$

Eingesetzt in: $L(t)=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot 0{,}001856\cdot t}}=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$

Antwort: Die logistische Wachstumsgleichung lautet:

$L(t)=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$ , $L (t)$ in $\mathrm{cm}$ und $t$ in Jahren.

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Wann hat das Kind eine Größe von $160\;\mathrm{cm}$ erreicht?

In welchem Jahr ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Kindes am größten?

Das Wachstum gilt als abgeschlossen, wenn die jährliche Größenzunahme unter $1\;\mathrm{cm}$ liegt. Wann ist das hier der Fall?

Wie sieht der Graph der Wachstumsfunktion aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Die bisher berechneten Werte sind in der Wertetabelle zusammengefasst.
t (in Jahren)
L(t) in cm
$0$
$53$
$2,51$
$85$
$3,64$
$100$
$11,3$
$160$
$18,8$
$169$
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t (in Jahren)	L(t) in cm
$0$	$53$
$2,51$	$85$
$3,64$	$100$
$11,3$	$160$
$18,8$	$169$

22

Ein Wachstumsprozess für beschränktes exponentielles Wachstum einer Population wird durch eine Funktion $B$ beschrieben. $B(t)=100-90\cdot e^{-t}$ bezeichnet die Anzahl der Individuen der Population zum Zeitpunkt $t$ ( $t$ in Jahren).

Zeichne mithilfe einer Wertetabelle die Wachstumsfunktion für $0\leq t\leq 10$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
Wertetabelle
Funktion: $B(t)=100-90\cdot e^{-t}$
$t$ (in Jahren)
$B (t)$
$0$
$10$
$1$
$66,9$
$2$
$87,8$
$4$
$98,35$
$10$
$99,996$
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$t$ (in Jahren)	$B (t)$
$0$	$10$
$1$	$66,9$
$2$	$87,8$
$4$	$98,35$
$10$	$99,996$

Bestimme den Anfangswert des Bestandes und gib den Bestand nach $3$ Jahren an.

Bestimme die Schranke $S$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Die allgemeine Wachstumsfunktion für beschränktes exponentielles Wachstum lautet: $B(t)= S-(S-B_0)\cdot e^{-k\cdot t}$
Gegeben ist die Wachstumsfunktion $B(t)=100-90\cdot e^{-t}$ . Die Schranke $S$ kann direkt abgelesen werden: $S = 100$
Alternativ kann der Grenzwert von $B (t)$ für $t\rightarrow +\infty$ berechnet werden:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}B(t)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}100-\underbrace{90\cdot e^{-t}}_{\rightarrow 0}=100$
Der Bestand nähert sich für $t\rightarrow +\infty$ der Grenze $S = 100$ .
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Nach welcher Zeit ist der aktuelle Bestand auf $80 %$ von $S$ angewachsen?

23

In einem Dorf mit $800$ Einwohnern breitet sich eine Grippewelle aus. Die Grippewelle soll auf das Dorf beschränkt bleiben. Anfangs waren nur $20$ Personen infiziert. Nach einer Woche waren schon $140$ Personen an Grippe erkrankt.

Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Gegeben sind $B_{0} = 20$ (Anfangswert der an Grippe Erkrankten) und die Schranke $S = 800$ . Diese Werte werden in die Gleichung für die logistische Funktion eingesetzt:

$\displaystyle B\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$
	↓	Setze $B_{0} = 20$ und $S = 800$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+\left(\dfrac{800}{20}-1\right)\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+\left(40-1\right)\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$

Bisher gilt: $B\left(t\right)=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$

Die unbekannte Wachstumskonstante $k$ kann über die Aussage, dass nach $1$ Woche $140$ Personen an Grippe erkrankt sind, berechnet werden.

Setze $B\left(1\right)=140$ :

$\displaystyle B\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$
	↓	Setze $t = 1$ und $B (1) = 140$ ein.
$\displaystyle 140$	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot1}}$	$\displaystyle \cdot(1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot 1})$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle 140\cdot(1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot 1})$	$=$	$\displaystyle 800$	$\displaystyle :140$
$\displaystyle 1+39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{140}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 1+39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{7}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{7}-1$
$\displaystyle 39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{7}-\dfrac{7}{7}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{33}{7}$	$\displaystyle :39$
$\displaystyle e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{33}{7\cdot39}$
	↓	Kürze und fasse zusammen.
$\displaystyle e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{11}{91}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Löse die e-Funktion auf.
$\displaystyle -800\cdot k$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{11}{91}\right)$	$\displaystyle :(-800)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{11}{91}\right)}{(-800)}$
$\displaystyle k$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}00264$

Somit folgt: $B(t)=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot0{,}00264\cdot t}}=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-2{,}113\cdot t}}$

Antwort: Die Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten lautet:

\displaystyle B(t)=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-2{,}113\cdot t}}

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Wie sieht der zugehörige Graph aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:
t (in Wochen)
B(t): Anzahl Infizierte
(gerundete Werte)
$0$
$20$
$1$
$140$
$2$
$509$
$3$
$748$
$4$
$793$
$5$
$799$
Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der an Grippe Erkrankten"
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$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^x$	$\displaystyle :80$
$\displaystyle 1{,}25$	$=$	$\displaystyle 1{,}1^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}1}1{,}25$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}34$

$\displaystyle 40$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^x$	$\displaystyle :80$
$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 1{,}1^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle -7{,}27$

$\displaystyle 160$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^x$	$\displaystyle :80$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1{,}1^x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}1}2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7{,}27$

$\displaystyle f(6)$	$=$	$\displaystyle 84\cdot a^6$
$\displaystyle 313$	$=$	$\displaystyle 84\cdot a^6$
$\displaystyle \Rightarrow\;a^6$	$=$	$\displaystyle \dfrac{313}{84}$	$\displaystyle \sqrt[6]{~}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[6]{\dfrac{313}{84}}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}245$

$\displaystyle 53\ 060{,}40€$	$=$	$\displaystyle c\cdot1{,}02^3$
	↓	Da wir c suchen, müssen wir die Formel nach c umstellen.
$\displaystyle 53\ 060{,}40€$	$=$	$\displaystyle c\cdot1{,}02^3$	$\displaystyle :1{,}02^3$
$\displaystyle \dfrac{53060{,}40}{1{,}02^3}$	$=$	$\displaystyle 50\ 000$
	↓	Herr Meier hatte 50 000€ angelegt.

$\displaystyle w\left(10\right)$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^{10}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 207{,}50$

$\displaystyle 11\ 314{,}08$	$=$	$\displaystyle 10\ 000\cdot a^5$	$\displaystyle :\ 10\ 000$
	↓	Da a gesucht ist, musst du die Formel nach a umstellen.
$\displaystyle \dfrac{11\ 314{,}08}{10\ 000}$	$=$	$\displaystyle a^5$
	↓	Nun musst du die 5. Wurzel ziehen.
$\displaystyle \sqrt[5]{\dfrac{11314{,}08}{10 000}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[5]{a^5}$
$\displaystyle \sqrt[5]{\dfrac{11314{,}08}{10 000}}$	$=$	$\displaystyle a$
$\displaystyle \sqrt[5]{1{,}131408}$	$=$	$\displaystyle a$
$\displaystyle 1{,}025$	$\approx ≈$	$\displaystyle a$
	↓	etzt musst du noch den Zinssatz bestimmen.

$\displaystyle 500\cdot1{,}025^t$	$=$	$\displaystyle 1000$	$\displaystyle :\ 500$
$\displaystyle 1{,}025^t$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot\log\left(\right)$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_{1{,}025}\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 28{,}1\;\text{Jahre}$

$\displaystyle 1\cdot b^{10}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \sqrt[10]{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[10]{2}$	$=$	$\displaystyle b$
$\displaystyle 1{,}072$	$\approx ≈$	$\displaystyle b$

$\displaystyle 0{,}01 \cdot H_0$	$=$	$\displaystyle H$
$\displaystyle 0{,}01 \cdot H_0$	$=$	$\displaystyle H_0 \cdot 0{,}83^x$	$\displaystyle \colon H_0$
	↓	Kürze $H_{0}$ heraus.
$\displaystyle 0{,}01$	$=$	$\displaystyle 0{,}83^x$	$\displaystyle \log_{0{,}83}()$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_{0{,}83}\left(0{,}01\right)$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 24{,}72\ \text{m}$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 400g\ \cdot b^8$	$=$	$\displaystyle 200g$	$\displaystyle \colon 400g$
$\displaystyle b^8$	$=$	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \sqrt[8]{}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt[8]{\frac12}$
$\displaystyle b$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}917$

$\displaystyle \frac{1}{1000}g$	$=$	$\displaystyle 400 g \cdot 0{,}917^t$	$\displaystyle \colon 400 g$
$\displaystyle \frac{1}{400000} g$	$=$	$\displaystyle 0{,}917^t$	$\displaystyle \log_{0{,}917}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log _{0{,}917}\left(\frac{1}{400000}\right)$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle 148{,}87$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle 0{,}5\cdot10$	$=$	$\displaystyle 10\cdot(1-p)^3$	$\displaystyle \colon 10$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle (1-p)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle 1-p$	$\displaystyle +p-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t$	$\displaystyle \colon 10$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t$	$\displaystyle \log_{\left(\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}\right)}$
$\displaystyle \log_{\left(\sqrt[3]{\tfrac12}\right)}{0{,}1}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle 10$	$\approx ≈$	$\displaystyle t$

$\displaystyle f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle f_0\cdot \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle f_0$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle L(t)$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot t+18$
	↓	Setze $t = 3$ ein.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot 3+18$
	$=$	$\displaystyle -4{,}5+18$
	$=$	$\displaystyle 13{,}5$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot t+18$	$\displaystyle +1{,}5\cdot t$
$\displaystyle 1{,}5\cdot t$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{18}{1{,}5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 12$

$\displaystyle 3136\cdot e^{0{,}0392\cdot t}$	$=$	$\displaystyle 4800$	$\displaystyle :3136$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle e^{0{,}0392\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4800}{3136}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle 0{,}0392\cdot t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{4800}{3136}\right)$	$\displaystyle :0{,}0392$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{4800}{3136}\right)}{0{,}0392}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 10{,}86$

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-k\cdot t}$
	↓	Setze $T (6) = 50$ ein.
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-k\cdot 6}$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle 29$	$=$	$\displaystyle 53\cdot e^{-k\cdot 6}$	$\displaystyle :53$
$\displaystyle \dfrac{29}{53}$	$=$	$\displaystyle e^{-k\cdot 6}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{29}{53}\right)$	$=$	$\displaystyle -k\cdot 6$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\frac{29}{53}\right)}{(-6)}$	$=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle k$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}1$

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$
	↓	Setze $T (t) = 40$ .
$\displaystyle 40$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle 19$	$=$	$\displaystyle 53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$	$\displaystyle :53$
$\displaystyle \dfrac{19}{53}$	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}1\cdot t}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{19}{53}\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}1\cdot t$	$\displaystyle :(-0{,}1)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{19}{53}\right)}{(-0{,}1)}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 10{,}3$

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$
	↓	Setze $T (t) = 20$ .
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle 21-32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$	$\displaystyle -21$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle -32{,}6\cdot e^{-0{,}00826\cdot t}$	$\displaystyle :(-32{,}6)$
$\displaystyle \dfrac{-1}{-32{,}6}$	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}00826\cdot t}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{32{,}6}\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}00826\cdot t$	$\displaystyle :(-0{,}00826)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{32{,}6}\right)}{-0{,}00826}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 421{,}8$

$\displaystyle B(0)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{250}{1+4\cdot e^{-0{,}625\cdot 0}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{250}{1+4\cdot 1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{250}{5}$
	$=$	$\displaystyle 50$

$\displaystyle 85$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$
$\displaystyle 85\cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle :85$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{85}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle 2-1$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2{,}2075}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -0{,}31552\cdot t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{2{,}2075}\right)$	$\displaystyle :(-0{,}31552)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{2{,}2075}\right)}{(-0{,}31552)}$
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}51$

$\displaystyle 169$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$
$\displaystyle 169\cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle 169$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{169}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{169}-1$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{169}}{2{,}2075}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -0{,}31552\cdot t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{400}{149227}\right)$	$\displaystyle :(-0{,}31552)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{400}{149227}\right)}{(-0{,}31552)}$
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 18{,}77$

$\displaystyle B(t)$	$=$	$\displaystyle 100-90\cdot e^{-t}$
	↓	Setze $t = 3$ ein.
$\displaystyle B(3)$	$=$	$\displaystyle 100-90\cdot e^{-3}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 100-4{,}48$
	↓	Vereinfache.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 95{,}52$

Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

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Startwert 80km280km^280km2

Wachstumsfaktor 2

Neuer Exponent x7\frac{x}{7}7x​

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Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion f(x)=84 axf(x)=84\, a^ xf(x)=84ax

Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?

Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

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Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Ausgangssituation:

Situation nach 183 Sekunden:

Resultierender Funktionsterm

Bestimmung der Halbwertszeit

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

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Lineare oder exponentielle Abnahme für f(x)=f(x)=f(x)= Vorrat nach xxx Tagen?

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Wertetabelle anlegen

Graphen zeichnen

Graphen vergleichen

Lösung der Gleichung ablesen

Zinswachstum

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Exponent = [t]\left[t\right][t] in Jahren = 111

Exponent = [t]\left[t\right][t] in Jahren = 222

Exponent = [t]\left[t\right][t] in Jahren = 5

Exponent= [t]\left[t\right][t] in Jahren = 10

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Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

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1. Volumen

2. Volumen

2⋅10−18 m3⋅1,072t=1000000000 m32\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^32⋅10−18m3⋅1,072t=1000000000m3

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Gesucht ist der Abnahmefaktor b

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Startwert $80 k m^{2}$

Neuer Exponent $\frac{x}{7}$

Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f(x)=84\, a^ x$

Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $1$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $2$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = 5

Exponent= $\left[t\right]$ in Jahren = 10

$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^3$

$\displaystyle B(t)$	$=$	$\displaystyle 100-90\cdot e^{-t}$
	↓	Setze $B (t) = 80$ .
$\displaystyle 80$	$=$	$\displaystyle 100-90\cdot e^{-t}$	$\displaystyle -100$
	↓	Löse nach t auf.
$\displaystyle -20$	$=$	$\displaystyle -90\cdot e^{-t}$	$\displaystyle :(-90)$
$\displaystyle \dfrac{-20}{-90}$	$=$	$\displaystyle e^{-t}$
	↓	Kürze die linke Seite.
$\displaystyle \dfrac{2}{9}$	$=$	$\displaystyle e^{-t}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Beseitige die $e$ -Funktion.
$\displaystyle \ln\left(\frac{2}{9}\right)$	$=$	$\displaystyle -t$	$\displaystyle \cdot (-1)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\ln\left(\frac{2}{9}\right)$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}5$