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Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Hier findest du gemischte Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Lerne das Modellieren mit Wachstum und Zerfall!

  1. 1

    Der Baumbestand eines Waldes in km2km^2 kann n√§herungsweise durch die Funktion w(x)=80‚čÖ1,1xw\left(x\right)=80\cdot1{,}1^x beschrieben werden, wobei x‚ąąR+x\in\mathbb{R}^+ f√ľr die Anzahl vergangener Jahre seit der ersten Messung steht.

    1. Begr√ľnde anhand des Funktionsterms, ob der Wald w√§chst oder schrumpft.

    2. Berechne, wie groß der Wald in 10 Jahren ist.

    3. Bestimme, wann der Wald 100 km2100\ km^2 groß ist.

    4. Bestimme, vor wie vielen Jahren der Wald halb so groß war wie jetzt.

    5. Bestimme, wie lange der Wald braucht, um seine Größe zu verdoppeln.

      Vergleiche mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe und formuliere dazu eine Aussage zur benötigten Zeit zum Verdoppeln der Waldgröße.

    6. Häufig interessiert in Sachsituationen die Halbwerts- oder Verdopplungszeit einer Größe, also die Zeit, die benötigt wird, damit sich der Wert halbiert oder verdoppelt. Im Folgenden kannst du als Verdopplungszeit 7 Jahre annehmen.

      Erkläre, warum der Wachstumsprozess des Waldes mit dieser Annahme näherungsweise auch mithilfe des Terms

      w2(x)=80‚čÖ2x7w_2\left(x\right)=80\cdot2^{\frac{x}{7}}

      beschrieben werden kann.

  2. 2

    Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

  3. 3

    Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm  f(x)\mathrm f(\mathrm x) :

    1. Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:

      Jahr

      1984

      1990

      1996

      2002

      Fläche in 1000 ha

      22

      84

      313

      632

      Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart¬† f(x)=84‚ÄČaxf(x)=84\, a^ x beschrieben wird, wie lautet dann die Basis aa und wie ist dieser Wert zu interpretieren?

      √úberpr√ľfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.

      Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

    2. Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch 110\frac{1}{10} davon vorhanden.

      Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

    3. Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,

      nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch 110\frac{1}{10} davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.

      Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme f√ľr¬† f(x)=f(x)= Vorrat nach xx Tagen?

  4. 4

    Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu f(x)=2,5x\mathrm f(\mathrm x)=2{,}5^\mathrm x ,¬† g(x)=2,5x‚ąí1\mathrm g(\mathrm x)=2{,}5^{\mathrm x-1} und h(x)=0,4x\mathrm h(\mathrm x)=0{,}4^\mathrm x .

    Vergleiche die Graphen.

    Löse die Gleichung 2,5x=52{,}5^\mathrm x=5 graphisch.

  5. 5

    Herr Meier hat eine gr√∂√üere Summe Geld gewonnen und legt sie f√ľr 3 Jahre zu einem Zinssatz von 2% j√§hrlich an. Nach 3 Jahren bekommt er von der Bank 53‚ÄČ060,40¬†‚ā¨53\, 060{,}40\ ‚ā¨ ausbezahlt.

    Wie viel Geld hatte er angelegt?

  6. 6

    Frau M√ľller hat 10‚ÄČ000¬†‚ā¨10\, 000\ ‚ā¨ gespart und legt sie f√ľr 5 Jahre zu einem festen Zinssatz an. Nach 5 Jahren bekommt sie 11‚ÄČ314,08¬†‚ā¨11\, 314{,}08\ ‚ā¨ ausbezahlt.

    Zu welchem Zinssatz war das Geld angelegt?

  7. 7

    Tante Luna zeigt ihrem 13-j√§hrigen Neffen Luca ein Sparbuch, auf dem sich 5796,37¬†‚ā¨5796{,}37\ ‚ā¨ befinden. "Als du 8 Jahre alt warst", sagt sie, "hatte ich mir etwas Geld gespart und es zu einem festen Zinssatz angelegt. Wenn du 18 Jahre bist, bekommst du von mir 6719,58¬†‚ā¨6719{,}58 \ ‚ā¨."

    Wie viel Geld hatte Tante Luna angelegt und zu welchem Zinssatz?

  8. 8

    Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4¬†%4\ \% Wachstum gelten als w√ľnschenswert und ma√üvoll: also jedes Jahr 4¬†%4\ \% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent w√§re also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach‚Ķ

    1. … 2 Jahren gewachsen?

    2. … 10 Jahren gewachsen?

    3. … 50 Jahren gewachsen?

  9. 9

    Hans er√∂ffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500¬†‚ā¨500\ ‚ā¨ ein.

    Er erhält jährlich 2,5 %2{,}5\ \% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

    1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

    2. Wie lange m√ľsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500¬†‚ā¨500\ ‚ā¨ verdoppelt hat?

  10. 10

    Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

    1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?

    2. Finde eine Formel f√ľr die Anzahl N=N(t)N= N(t) der Bakterien nach der Zeit tt.

    3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. 2‚čÖ10‚ąí18‚ÄÖ‚Ääm32 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3. Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1¬†m31\ m^3 bzw. 1¬†km31\ km^3 einnimmt?¬† Beurteile dein Ergebnis kritisch.

  11. 11

    Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen daf√ľr, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

    Messungen in einem bestimmten (recht tr√ľben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

    F√ľr diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

    allg. Formel¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† H0‚čÖbx=HH_0\cdot b^x=H

    Abnahmefaktor       b=0,83b=0{,}83

    Anfangswert   H0=1H_0=1         (=100%)\left(=100\%\right)

    Exponent= [x]\left[x\right] in Metern

    [H]\left[H\right] in Prozent

    1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

    2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit H0{\mathrm H}_0 an der Wasseroberfläche.

    3. In welcher Tiefe betr√§gt die Helligkeit weniger als 0,01‚čÖH00{,}01\cdot{\mathrm H}_0 ?

  12. 12

    Beim Reaktorungl√ľck von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400¬†g400\ g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

    Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

    Allg. Formel: M(0)‚čÖbt=M(t)M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)

    Anfangswert a = 400g400g =M(0)=M\left(0\right)

    Zeit [t]\left[t\right] in Tagen

    M(t)‚ÄÖ‚Ääin‚ÄÖ‚ÄägM\left(t\right)\;in\;g

    M(8)=200gM\left(8\right)=200g

    1. Wie kann man die Menge M=M(t)\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right) des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit tt angeben?

    2. Welcher Prozentsatz der urspr√ľnglich vorhandenen Menge M0=400g{\mathrm M}_0=400\mathrm g war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

    3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

  13. 13

    Bierschaumzerfall

    Bei einer schlecht eingeschenkten Ma√ü Bier betr√§gt die Schaumh√∂he anfangs 10¬†cm10\ cm. Um das Bier einigerma√üen trinken zu k√∂nnen, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumh√∂he auf die H√§lfte zur√ľckgegangen.

    1. Stelle die Zerfallsgleichung f√ľr den Bierschaumzerfall auf.

    2. Berechne, wann die Schaumh√∂he auf 1¬†cm1\ cm zur√ľckgegangen ist.

    3. Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm3\ cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

    4. Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

  14. 14

    F√ľr den Wasserverbrauch berechnet der Wasserversorger pro‚ÄÖ‚Ääm3\;\mathrm{m}^3 Wasser 1,75‚ÄÖ‚Ää‚ā¨1{,}75\;‚ā¨ (Verbrauchskosten). Zus√§tzlich muss pro Monat eine Grundgeb√ľhr von 7‚ÄÖ‚Ää‚ā¨7\;‚ā¨ bezahlt werden. Die monatlichen Gesamtkosten setzen sich aus den Verbrauchskosten und der Grundgeb√ľhr zusammen.

    1. a) Zeichne den Graphen der Gesamtkostenfunktion:

      Wasserverbrauch xx (in m3\mathrm{m}^3) ‚üľ\longmapsto Gesamtkosten KK (in‚ÄÖ‚Ää‚ā¨¬†)\left(\text{in} \;‚ā¨\ \right)

    2. b) Gib die Funktionsgleichung an.

    3. c) Im Juli wurden 5,6‚ÄÖ‚Ääm35{,}6 \;\mathrm{m}^3 Wasser verbraucht. Wie hoch ist die Wasserrechnung im Juli?

  15. 15

    Eine Kerze ist anfangs 18‚ÄÖ‚Ääcm18\;\mathrm{cm} lang. Beim Abbrennen wird sie st√ľndlich um 1,5‚ÄÖ‚Ääcm1{,}5\;\mathrm{cm} k√ľrzer.

    1. Zeichne den Graphen der Funktion:

      Brenndauer tt (in Stunden) ‚üľ\longmapsto L√§nge der Kerze LL (L√§nge in‚ÄÖ‚Ääcm\;\mathrm{cm})

    2. Notiere die Funktionsgleichung.

    3. Wie lang ist die Kerze nach 3 Stunden?

    4. Wann ist die Kerze abgebrannt?

  16. 16

    Die Bevölkerung einer Stadt wächst jährlich um 4  %4\;\%. Im Jahr 2022 hat die Stadt 80000 Einwohner.

    1. Wie lautet die Wachstumsfunktion mit dem Ansatz N(t)=N0‚čÖek‚čÖtN(t)=N_0\cdot e^{k\cdot t}?

    2. Wie viele Einwohner wird die Stadt nach 15 Jahren haben?

    3. Berechne die Verdopplungszeit.

    4. Wann (nach Beobachtungsbeginn) beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat?

  17. 17

    Ein Sparer hat 20000‚ÄÖ‚Ää‚ā¨20000\;‚ā¨ gespart. Sein Verm√∂gen verliert durch die Inflation von zur Zeit 7‚ÄÖ‚Ää%7\;\% j√§hrlich an Wert.

    1. Stelle die Gleichung f√ľr den Wert des Verm√∂gens K(t)K(t) des Sparers auf (unter der Voraussetzung, dass sich die Inflationsrate nicht √§ndert):

      Zeit tt (in Jahren) ‚üľ\longmapsto K(t)K(t) (in‚ÄÖ‚Ää‚ā¨¬†\;\mathrm{‚ā¨\ })

    2. Wie hoch ist der Wert seines Vermögens nach 5 Jahren?

    3. Wann ist sein Vermögen nur noch die Hälfte wert?

  18. 18

    Beim Servieren von frisch gebr√ľhtem Espresso hat dieser eine Temperatur von 74‚ąė74^{\circ}C.

    Nach 6‚ÄÖ‚Äämin6\;\text{min} hat der Espresso nur noch eine Temperatur von 50‚ąė50^\circC. Die Zimmertemperatur betr√§gt 21‚ąė 21^\circC.

    1. Stelle die Gleichung f√ľr die beschr√§nkte exponentielle Abnahme der Espressotemperatur auf.

    2. Wie lange dauert es, bis die Espressotemperatur 40‚ąė40^\circC betr√§gt?

  19. 19

    Aus der Tiefk√ľhltruhe wird ein gefrorenes Lebensmittel mit einer Temperatur von ‚ąí11,6‚ąėC-11{,}6^\circ \mathrm{C} in die K√ľche zum Auftauen gebracht. Die Temperatur in der K√ľche betr√§gt 21‚ąėC21 {}^\circ \mathrm{C}. Nach 15‚ÄÖ‚Äämin15\; \mathrm{min} hat sich das Tiefk√ľhlgut auf ‚ąí7,8‚ąėC-7{,}8^\circ \mathrm{C} erw√§rmt.

    1. Bestimme die Funktionsgleichung f√ľr die beschr√§nkte, exponentielle Zunahme.

      Benutze dabei die allgemeine Funktionsgleichung f√ľr die beschr√§nkte, exponentielle Zunahme: B(t)=S+(B0‚ąíS)‚čÖe‚ąík‚čÖtB(t)=S+(B_0-S)\cdot e^{-k\cdot t}

      Dabei ist:

      • B(t)B(t): ist der Bestand zur Zeit¬†tt,

      • SS: ist die¬†S√§ttigungsgrenze (Schranke)

      • kk:¬†ist¬†die¬†Wachstumskonstante,¬†

      • B0B_0‚Äč‚Äč: ist der Anfangsbestand zur Zeit¬†, also der Startwert.

    2. Wie lange dauert es, bis sich das Tiefk√ľhlgut auf 20‚ąėC20{}^\circ \mathrm{C} erw√§rmt hat?

    3. Zeichne den Graphen der Funktionsgleichung f√ľr 0‚ȧt‚ȧ2000\le t\le200.

      Zeichne ebenfalls die Asymptote ein.

  20. 20

    In der Abbildung ist eine logistische Wachstumsfunktion dargestellt. Entnimm der Abbildung die Funktionsgleichung und bestimme f√ľr die logistische Funktion die charakteristischen Parameter SS, B0B_0 und k k.

    logistische Wachstumsfunktion
    1. Schranke SS


    2. Anfangswert B0B_0


    3. Wachstumskonstante kk


  21. 21

    Ein Kind hat bei seiner Geburt eine Größe von 53  cm53\;\mathrm{cm}. Nach 3,643{,}64 Jahren ist das Kind 100  cm100\;\mathrm{cm} groß. Als Erwachsener ist seine Größe 170  cm170 \;\mathrm{cm}.

    1. Bestimme die logistische Wachstumsgleichung mit dem Ansatz:

      L(t)=S1+(SL0‚ąí1)‚čÖe‚ąíS‚čÖk‚čÖtL(t)=\dfrac{S}{1+\left(\frac{S}{L_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}

    2. Wann hat das Kind eine Größe von 160  cm160\;\mathrm{cm} erreicht?

    3. In welchem Jahr ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Kindes am größten?

    4. Das Wachstum gilt als abgeschlossen, wenn die jährliche Größenzunahme unter 1  cm1\;\mathrm{cm} liegt. Wann ist das hier der Fall?

    5. Wie sieht der Graph der Wachstumsfunktion aus?

  22. 22

    Ein Wachstumsprozess f√ľr beschr√§nktes exponentielles Wachstum einer Population wird durch eine Funktion BB beschrieben. B(t)=100‚ąí90‚čÖe‚ąítB(t)=100-90\cdot e^{-t} bezeichnet die Anzahl der Individuen der Population zum Zeitpunkt tt (tt in Jahren).

    1. Zeichne mithilfe einer Wertetabelle die Wachstumsfunktion f√ľr 0‚ȧt‚ȧ100\leq t\leq 10.

    2. Bestimme den Anfangswert des Bestandes und gib den Bestand nach 33 Jahren an.

    3. Bestimme die Schranke SS.

    4. Nach welcher Zeit ist der aktuelle Bestand auf 80‚ÄÖ‚Ää%80\;\% von SS angewachsen?

  23. 23

    In einem Dorf mit 800 800 Einwohnern breitet sich eine Grippewelle aus. Die Grippewelle soll auf das Dorf beschränkt bleiben. Anfangs waren nur 2020 Personen infiziert. Nach einer Woche waren schon 140140 Personen an Grippe erkrankt.

    1. Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion f√ľr die Zahl der an Grippe Erkrankten?

    2. Wie sieht der zugehörige Graph aus?


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