Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Hier findest du gemischte Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Lerne das Modellieren mit Wachstum und Zerfall!

1
Der Baumbestand eines Waldes in $k m^{2}$ kann näherungsweise durch die Funktion $w (x) = 80 \cdot {1,1}^{x}$ beschrieben werden, wobei $x \in ℝ^{+}$ für die Anzahl vergangener Jahre seit der ersten Messung steht.
1. Begründe anhand des Funktionsterms, ob der Wald wächst oder schrumpft.
  Der Wald wächst
  Der Wald schrumpft
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  Ist der Wachstumsfaktor einer Exponentialfunktion größer als 1, so liegt exponentielles Wachstum vor. Der Wachstumsfaktor $b$ ist dabei die Basis der Exponentialfunktion der Form $a \cdot b^{x}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Untersuche, ob der Wachstumsfaktor größer oder kleiner als 1 ist.
2. Berechne, wie groß der Wald in 10 Jahren ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen
  $w (10)$ $=$ $80 \cdot {1,1}^{10}$
  $\approx$ $207,50$
  Nach zehn Jahren ist der Wald ca. $207,5 k m^{2}$ groß.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Da $x$ für die Zahl der vergangenen Jahre steht, setzt du 10 in die Funktionsgleichung ein.
3. Bestimme, wann der Wald $100 k m^{2}$ groß ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  $100$ $=$ $80 \cdot {1,1}^{x}$ $: 80$
  $1,25$ $=$ ${1,1}^{x}$
  ↓
  Logarithmieren
  $x$ $=$ $\log_{1,1} 1,25$
  $x$ $\approx$ $2,34$
  Nun musst du entscheiden, wie exakt du das Ergebnis angeben magst. 0,34 Jahre ist etwas mehr als $\frac{1}{3}$ eines Jahres, also 4 Monate ( $0,34 \cdot 12 = 4,08$ ).
  Der Wald hat nach etwas mehr als 2 Jahren und 4 Monaten $100 k m^{2}$ Größe erreicht. Wird nur jährlich gemessen, stellt man die Größe erstmals nach 3 Jahren fest.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Da du die Größe eines Waldes vorgegeben hast, und fragst, wann er diese Größe erreicht, musst du diesmal keinen Wert in die Funktion einsetzen, sondern den Term der Funktion mit $100 k m^{2}$ gleichsetzen.
4. Bestimme, vor wie vielen Jahren der Wald halb so groß war wie jetzt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Da der Wald halb so groß sein soll, wie er jetzt ist und die $80 k m^{2}$ der Größe des Waldes bei Beginn der Messungen entspricht, muss der Funktionsterm mit $40 k m^{2}$ gleichgesetzt werden.
  $40$ $=$ $80 \cdot {1,1}^{x}$ $: 80$
  $\frac{1}{2}$ $=$ ${1,1}^{x}$
  ↓
  Logarithmieren
  $x$ $=$ $\log_{1,1} (\frac{1}{2})$
  $x$ $\approx$ $- 7,27$
  Erneut kannst du die 0,27 Jahre in Monate umrechnen:
  $0,27 \cdot 12 \approx 3$ Monate
  Vor etwas weniger als 7 Jahren und 3 Monate hatte der Wald die Größe von $40 k m^{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Erneut musst du zu einer gegebenen Waldgröße den Wert der Variable x bestimme. Setze den Funktionsterm mit $40 k m^{2}$ gleich.
5. Bestimme, wie lange der Wald braucht, um seine Größe zu verdoppeln.
  Vergleiche mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe und formuliere dazu eine Aussage zur benötigten Zeit zum Verdoppeln der Waldgröße.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Da der Wald zu Beginn der Messungen $80 k m^{2}$ groß ist, ist ein doppelt so großer Wald $160 k m^{2}$ groß.
  $160$ $=$ $80 \cdot {1,1}^{x}$ $: 80$
  $2$ $=$ ${1,1}^{x}$
  $x$ $=$ $\log_{1,1} 2$
  $x$ $=$ $7,27$
  Der Wald braucht ebenfalls 7 Jahre und 3 Monate, um seine Größe erneut zu verdoppeln.
  Zusammenhang zwischen halber Waldgröße und doppelter Waldgröße:
  Der Wald braucht immer gleich lang, um seine Größe zu verdoppeln, nämlich 7,27 Jahre.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Erneut ist eine Waldgröße vorgegeben, die mit dem Funktionsterm gleichgesetzt werden soll.
6. Häufig interessiert in Sachsituationen die Halbwerts- oder Verdopplungszeit einer Größe, also die Zeit, die benötigt wird, damit sich der Wert halbiert oder verdoppelt. Im Folgenden kannst du als Verdopplungszeit 7 Jahre annehmen.
  Erkläre, warum der Wachstumsprozess des Waldes mit dieser Annahme näherungsweise auch mithilfe des Terms
  $w_{2} (x) = 80 \cdot 2^{\frac{x}{7}}$
  beschrieben werden kann.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Halbwerts- und Verdopplungszeit
  Startwert $80 k m^{2}$
  Der Wald hat weiterhin die gleiche Ausgangsgröße von $80 k m^{2}$
  Wachstumsfaktor 2
  Statt dir das Wachstum um 10% in einem Jahr anzuschauen, fragst du jetzt, wann sich die Größe des Waldes verdoppelt hat. Deshalb benutzt du den Wachstumsfaktor 2.
  Natürlich geht das nicht ohne weitere Anpassungen, deshalb wurde auch im Exponenten etwas ergänzt.
  Neuer Exponent $\frac{x}{7}$
  Die 7 Jahre sind die Zeit, die der Wald benötigt, um seine Größe zu verdoppeln.
  Dadurch, dass im Exponent durch 7 dividiert wird, braucht es 7 Jahre, bis der Exponent den Wert 1 annimmt und sich somit der Wald auch wirklich verdoppelt hat:
  $w_{2} (1) = 80 \cdot 2^{\frac{1}{7}}$ ist noch keine Verdopplung der Waldfläche.
  $w_{2} (7) = 80 \cdot 2^{\frac{7}{7}} = 80 \cdot 2^{1} = 160$ ist die erste Verdopplung der Waldfläche.
  $w_{2} (14) = 80 \cdot 2^{\frac{14}{7}} = 80 \cdot 2^{2} = 320$ ist die zweite Verdopplung der Waldfläche und
  $w_{2} (- 7) = 80 \cdot 2^{\frac{- 7}{7}} = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$ ist der Zeitpunkt, an dem der Wald die halbe Größe hatte.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Beachte die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den beiden Funktionstermen:
  Warum ist die 80 gleich?
  Was bedeutet der neue Wachstumsfaktor 2?
  Warum wird im Exponenten die Variable durch 7 geteilt?

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum

Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit $m_{0}$ , im Jahr 1 mit $m_{1}$ , im Jahr 2 mit $m_{2}$ …, im Jahr 10 mit $m_{10}$ .

Jahr	noch vorhandene Masse
0	$m_{0}$
1	$m_{1} = 0,9 \cdot m_{0}$
2	$m_{2} = 0,9 \cdot m_{1} = 0,9 \cdot 0,9 \cdot m_{0} = (0,9)^{2} \cdot m_{0}$
3	$m_{3} = 0,9 \cdot m_{2} = 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot m_{0} = (0,9)^{3} \cdot m_{0}$
$⋮$	$⋮$
9	$m_{9} = 0,9 \cdot m_{8} = 0,9 \cdot ({0,9}^{8} \cdot m_{0}) = {0,9}^{9} m_{0}$
10	$m_{10} = 0,9 \cdot m_{9} = 0,9 \cdot ({0,9}^{9} \cdot m_{0}) = {0,9}^{10} \cdot m_{0}$

$m_{10} = 0,9 \cdot m_{9} = {0,9}^{10} \cdot m_{0}$ $\approx 0,3487 \cdot m_{0}$

Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.

Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm $f (x)$ :

Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:
Jahr
1984
1990
1996
2002
Fläche in 1000 ha
22
84
313
632
Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart $f (x) = 84 a^{x}$ beschrieben wird, wie lautet dann die Basis $a$ und wie ist dieser Wert zu interpretieren?
Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.
Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f (x) = 84 a^{x}$
Im Jahr 1990 ist $x = 0$ und im Jahr 1996 ist $x = 6$ .
$f (6)$ $=$ $84 \cdot a^{6}$
$313$ $=$ $84 \cdot a^{6}$
$\Rightarrow a^{6}$ $=$ $\frac{313}{84}$ $\sqrt[6]{}$
$a$ $=$ $\sqrt[6]{\frac{313}{84}}$
$\approx$ $1,245$
Damit ist $f (x) = 84 \cdot {1,245}^{x}$ .
Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?
Die Fläche nimmt pro Jahr um etwa $24,5 %$ zu.
Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung
Im Jahr 1984 ist $x = - 6 \Rightarrow f (- 6) = 84 \cdot {1,245}^{- 6} \approx 22,6$ .
Dieser Wert passt zu den gegebenen Daten ( $22$ ).
Im Jahr 2002 ist $x = 12 \Rightarrow f (12) = 84 \cdot {1,245}^{12} \approx 1165$ .
Dieser Wert passt nicht zu den gegebenen Daten ( $632$ ).
Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?
Da sich $a^{x}$ für $x \to - \infty$ nur asymptotisch der $0$ nähert, aber immer größer $0$ ist, gab es die Fläche $0$ ha zu keinem Zeitpunkt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Teil 1
Im Jahr 1990 ist $x = 6$ . Setze $(6 | 313)$ in $f (x) = 84 a^{x}$ ein und löse nach $a$ auf.
Die Nachkommastellen von $a$ geben die prozentuale Steigung der Fläche pro Jahr an.
Teil 2
Setze $x = - 6$ (für $1984$ ) bzw. $x = 12$ (für $2002$ ) in die Funktionsgleichung ein und vergleiche mit den gegebenen Werten.
Teil 3
Überlege, wie sich $a^{x}$ verhält, wenn $x$ gegen $- \infty$ geht.

Jahr	1984	1990	1996	2002
Fläche in 1000 ha	22	84	313	632

Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zerfallsprozesse

Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.

Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante $λ$ .

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $λ$ .

$N (183 s)$	$=$	$\frac{1}{10} \cdot N_{0}$
$N_{0} \cdot e^{- λ \cdot 183 s}$	$=$	$\frac{1}{10} N_{0}$	$: N_{0}$
$e^{- λ \cdot 183 s}$	$=$	$\frac{1}{10}$	$\ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$- λ \cdot 183 s$	$=$	$\ln (\frac{1}{10})$
	↓	Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus: $\ln (\frac{1}{10}) = \ln (10^{- 1}) = - \ln (10)$
$- λ \cdot 183 s$	$=$	$- \ln (10)$	$\cdot (- 1)$
$λ \cdot 183 s$	$=$	$\ln (10)$	$: 183$
$λ$	$=$	$\frac{\ln (10)}{183 s}$

Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit $T$ .

Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit $T$ sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.

$N (T)$	$=$	$\frac{N_{0}}{2}$
$N_{0} \cdot e^{- λ T}$	$=$	$\frac{N_{0}}{2}$	$: N_{0}$
$e^{- λ T}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\ln$
	↓	Wende die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion an.
$- λ T$	$=$	$\ln (\frac{1}{2})$
	↓	$\ln (\frac{1}{2}) = \ln (1) - \ln (2) = - \ln (2)$
$- λ T$	$=$	$- \ln (2)$	$: (- λ)$
$T$	$=$	$\frac{\ln (2)}{λ}$
	↓	Setze $λ$ ein.
$T$	$=$	$\ln (2) \cdot (\frac{183 s}{\ln (10)})$
$T$	$\approx$	$55,088 s$

Die Halbwertzeit beträgt rund $55,1 s$ .

Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung $N (t) = b \cdot a^{t}$ lautet.

Ausgangssituation:

Anfangs ( $t = 0$ ) sind $N (0) = 20000$ Kerne vorhanden

$N (0)$	$=$	$b \cdot a^{0}$
$20000$	$=$	$b \cdot a^{0}$
	↓	Da $a^{0} = 1$ , ist nun der Wert des Parameters $b$ bekannt.
$b$	$=$	$20000$

Situation nach 183 Sekunden:

Nach 183 Sekunden existieren noch $\frac{1}{10}$ der anfangs vorhanden Kerne.

Also: $N (183) = \frac{1}{10} \cdot N (0)$

$N (183)$	$=$	$20000 \cdot a^{183}$
$\frac{1}{10} \cdot N (0)$	$=$	$20000 \cdot a^{183}$
	↓	Setze $N (0) = 20000$ ein
$2000$	$=$	$20000 \cdot a^{183}$	$: 20000$
$0,1$	$=$	$a^{183}$	$\sqrt[183]{}$
$a$	$=$	$\sqrt[183]{0,1}$
	$\approx$	$0,9875$

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt.

N (t) = 20000 \cdot {0,9875}^{t}

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also:

N (T) = \frac{1}{2} \cdot N (0)

Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm $N (t)$

$N (T)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot N (0)$
$20000 \cdot {0,9875}^{T}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 20000 \cdot {0,9875}^{0}$
${0,9875}^{T}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot {0,9875}^{0}$
${0,9875}^{T}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\ln ()$
$T \cdot \ln (0,9875)$	$=$	$\ln (\frac{1}{2})$	$: \ln (0,9875)$
$T$	$=$	$\frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (0,9875)}$
$T$	$\approx$	$55,1$

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht geringfügig von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert $0,9875$ für den Parameter $a$ weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses $a = \sqrt[183]{0,1}$ erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von $T = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (\sqrt[183]{0,1})} = 55,088$ Sekunden.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,
nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch $\frac{1}{10}$ davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.
Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?
Es handelt sich um eine lineare Abnahme, weil von einer gleichmäßigen Nachfrage gesprochen wird. Das heißt, die Kunden kaufen jeden Tag die gleiche Menge an Stifte.
Exponentiell wäre der Zusammenhang genau dann, wenn die Nachfrage der Kunden gleichmäßig bspw. um $10 %$ jeden Tag ansteigen würde.
Es sind noch $\frac{1}{10}$ von $20000$ gleich $2000$ Bleistifte vorrätig, d.h. es wurden $18000$ Stifte verkauft.
Pro Tag nahm der Vorrat um $\frac{18000}{183} \approx 98$ Stifte ab.
Die lineare Funktionsgleichung lautet demnach:
$f (x) = 20000 - \frac{18000}{183} \cdot x$
.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Berechne, wie viele Stifte verkauft wurden.
Berechne den Verkauf pro Tag.

4
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu $f (x) = {2,5}^{x}$ , $g (x) = {2,5}^{x - 1}$ und $h (x) = {0,4}^{x}$ .
Vergleiche die Graphen.
Löse die Gleichung ${2,5}^{x} = 5$ graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
Wertetabelle anlegen
$x$
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
$f (x)$
0,064
0,16
0,4
1
2,5
6,25
15,625
39,0625
$g (x)$
0,0256
0,064
0,16
0,4
1
2,5
6,25
15,625
$h (x)$
15,625
6,25
2,5
1
0,4
0,16
0,064
0,0256
Graphen zeichnen

Graphen vergleichen
g ist im Vergleich zu f um 1 nach rechts verschoben
h ist im Vergleich zu f an der y-Achse gespiegelt

Lösung der Gleichung ablesen
$P = (1,76 | 5)$
5
Herr Meier hat eine größere Summe Geld gewonnen und legt sie für 3 Jahre zu einem Zinssatz von 2% jährlich an. Nach 3 Jahren bekommt er von der Bank $53 060,40 €$ ausbezahlt.
Wie viel Geld hatte er angelegt?
Zinswachstum
Die allgemeine Exponentialfunktion ist:
$y = c \cdot a^{x}$
Diese Formel benötigen wir um die Aufgabe zu lösen.
Hier ist:
$c$ der Anfangswert
$a$ der Wachstumsfaktor mit dem Exponenten $x$ , der die Zeit bedeutet.
Nun setzen wir die vorgegebenen Werte in die Formel ein.
$53 060,40 €$ $=$ $c \cdot {1,02}^{3}$
↓
Da wir c suchen, müssen wir die Formel nach c umstellen.
$53 060,40 €$ $=$ $c \cdot {1,02}^{3}$ $: {1,02}^{3}$
$\frac{53060,40}{{1,02}^{3}}$ $=$ $50 000$
↓
Herr Meier hatte 50 000€ angelegt.

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$f (x)$	0,064	0,16	0,4	1	2,5	6,25	15,625	39,0625
$g (x)$	0,0256	0,064	0,16	0,4	1	2,5	6,25	15,625
$h (x)$	15,625	6,25	2,5	1	0,4	0,16	0,064	0,0256

Frau Müller hat $10 000 €$ gespart und legt sie für 5 Jahre zu einem festen Zinssatz an. Nach 5 Jahren bekommt sie $11 314,08 €$ ausbezahlt.

Zu welchem Zinssatz war das Geld angelegt?

7
Tante Luna zeigt ihrem 13-jährigen Neffen Luca ein Sparbuch, auf dem sich $5796,37 €$ befinden. "Als du 8 Jahre alt warst", sagt sie, "hatte ich mir etwas Geld gespart und es zu einem festen Zinssatz angelegt. Wenn du 18 Jahre bist, bekommst du von mir $6719,58 €$ ."
Wie viel Geld hatte Tante Luna angelegt und zu welchem Zinssatz?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinseszinsrechnung
$f (x) = c \cdot a^{x}$
Diese Formel benötigst du, um die Aufgabe zu lösen.
Hier ist:
$f (x)$ das Ergebnis (in diesem Fall die Geldsumme die man bekommt bzw.bekommen kann, nachdem man das Geld angelegt hat), abhängig von $x$ , also der Zeit in Jahren
$c$ der Anfangswert (in diesem Fall das Geld, welches anfangs angelegt wird)
$a$ der Wachstumsfaktor (in diesem Fall der Zinssatz + 1) mit dem Exponenten $x$ , der die Zeit in Jahren bedeutet
Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich ein Gleichungssystem. Dazu musst du zwei Gleichungen aufstellen.
Zum einen weißt du, dass Luca als er 13 Jahre alt war, also $5$ Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), $5796,37 €$ auf dem Konto hatte. Andererseits weißt du, dass er sobald er 18 Jahre alt ist, also $10$ Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), $6719,58 €$ auf dem Konto haben wird.Wenn du jetzt diese Werte in zwei Gleichungen einsetzt kannst du ein Gleichungssystem aufstellen.
$\begin{array}{l} I . f (5) = c \cdot a^{5} = 5796,37 \\ I I . f (10) = c \cdot a^{10} = 6719,58 \end{array}$
Wende nun eines der Lösungsverfahren für Gleichungssysteme an. Hier eignet sich z.B das Gleichsetzungsverfahren. Hierzu musst du beide Gleichungen umformen und anschließend gleichsetzen.
$\begin{array}{l} I . c \cdot a^{5} = 5796,37 | \div a^{5} \end{array}$
$I^{'} . c = \frac{5796,37}{a^{5}}$
$I I . c \cdot a^{10} = 6719,58 | \div a^{10}$
$I I^{'} . c = \frac{6719,58}{a^{10}}$
$I^{'} . = I I^{'} .$
$\frac{5796,37}{a^{5}} = \frac{6719,58}{a^{10}}$
Um die Variable aus dem Nenner zu bekommen musst du mit $a^{10}$ erweitern.
$\frac{5796,37}{a^{5}} = \frac{6719,58}{a^{10}} | \cdot a^{10}$
$\frac{5796,37 \cdot a^{10}}{a^{5}} = \frac{6719,58 \cdot a^{10}}{a^{10}}$
Kürze die Brüche auf beiden Seiten. Dies ist aufgrund der Potenzgesetze möglich.
$5796,37 \cdot a^{5} = 6719,58$
Forme die Gleichung nach $a^{5}$ um.
$\begin{array}{l} 5796,37 \cdot a^{5} = 6719,58 | \div 5796,37 \end{array}$
$a^{5} = \frac{6719,58}{5796,37}$
$a^{5} \approx 1,159$
Ziehe nun die 5. Wurzel.
$a^{5} \approx 1,159 | \sqrt[5]{}$
$a \approx \sqrt[5]{1,159}$
$a \approx 1,03$
Bestimme jetzt den Zinssatz und verfasse einen Antwortsatz.
$\begin{array}{l} 1,03 \cdot 100 % = 103 % = 100 % + 3 % \end{array}$
Setze das Ergebnis für a in eine der Anfangsgleichungen ein.
$a i n I^{'} .$
$c = \frac{5796,37}{a^{5}}$
$c = \frac{5796,37}{{1,03}^{5}}$
$c = 5000$
Schreibe jetzt noch einen Antwortsatz mit der richtigen Einheit.
$\Rightarrow$ Als Luca 8 Jahre alt war,hatte Tante Luna $5000 €$ auf der Bank angelegt.
8
Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. $4 %$ Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr $4 %$ mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…
1. … 2 Jahren gewachsen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $ 4 %$ -iges Wachstum bedeutet, dass die Wirtschaftskraft das $1,04$ fache vom Vorjahr beträgt.
  Nach 2 Jahren also das $1,04 \cdot 1,04 = 1,0816$ fache vom Ausgangsjahr. Das entspricht einem Zuwachs von $8,16 %$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. … 10 Jahren gewachsen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  ${1,04}^{10} = 1,48024.$ Sie wäre also rund um das $1,5$ -fache gewachsen. Der Zuwachs wäre $48 %$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. … 50 Jahren gewachsen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Lösung: ${1,04}^{50} = 7,10668$
  Nach 50 Jahren müsste sich die Wirtschaftsleistung etwa versiebenfacht haben. Fragt sich nur, wo da die Resourcen herkommen sollen…
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9
Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf $500 €$ ein.
Er erhält jährlich $2,5 %$ Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt
1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:
  $a \cdot b^{t} = y$
  Wachstumsfaktor: $b = 1,025$
  Anfangswert: $a = 500$
  Exponent: $[t]$ in Jahren
  $[y]$ in Euro
  Erhält Hans jährlich $2,5 %$ Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das $1,025$ -fache des vorherigen Betrags von $500$ Euro.
  Gesucht ist jeweils $y$ , wenn die Werte $1, 2, 5$ und $10$ für $t$ eingesetzt werden
  Exponent = $[t]$ in Jahren = $1$
  Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau ${1,025}^{1}$ -fache des vorherigen Betrages gestiegen.
  $500 \cdot {1,025}^{1} = 512,50 Euro$
  Exponent = $[t]$ in Jahren = $2$
  Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das $1,025$ fache aufgeschlagen. Ein Zuwachs von $1,025 \cdot 1,025$ also $5,1 %$ .
  $500 \cdot {1,025}^{2} = 525,31 Euro$
  Exponent = $[t]$ in Jahren = 5
  $500 \cdot {1,025}^{5} = 565,70 Euro$
  Exponent= $[t]$ in Jahren = 10
  $500 \cdot {1,025}^{10} = 640,04 Euro$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von $500 €$ verdoppelt hat?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:
  $a \cdot b^{t} = y$
  Wachstumsfaktor: $b = 1,025$
  Anfangswert: $a = 500$
  Exponent: $[t]$ in Jahren
  $[y]$ in Euro
  Gesucht ist hierbei die Variable $[t]$ in Jahren, also die Anzahl der Jahre die verstreichen müssen, bis Hans 1000 Euro auf seinem Konto hat.
  $500 \cdot {1,025}^{t}$ $=$ $1000$ $: 500$
  ${1,025}^{t}$ $=$ $2$ $\cdot \log ()$
  ↓
  Logarithmiere.
  $\log_{1,025} (2)$ $=$ $t$
  $t$ $\approx$ $28,1 Jahre$
  $\Rightarrow$ Im 29. Jahr besitzt Hans $1000 €$ auf seinem Konto.
  (Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung festgelegt ist, dass Hans erst am Ende des Jahres seine Zinsen gutschreiben lässt. Nach $28,1$ Jahren hat er zwar theoretisch die $1000 €$ erreicht, jedoch werden diese erst am Ende des Jahres, also nach insgesamt $29$ Jahren, auf seinem Konto erscheinen.)
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
10
Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt $t = 0$ sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.
1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  allg. Formel
  $a \cdot b^{t} = y$
  Wachstumsfaktor $b$
  Anfangswert $a = 1$
  Zeit $t$ in Minuten
  Anzahl der Bakterien $y$
  Gesucht ist der Wachstumsfaktor b
  Gegeben:
  Die Bakterien teilen sich alle 10 Minuten, das heißt ihre Anzahl verdoppelt sich alle 10 Minuten:
  $1 \cdot b^{10}$ $=$ $2$ $\sqrt[10]{}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel.
  $\sqrt[10]{2}$ $=$ $b$
  $1,072$ $\approx$ $b$
  Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:
  $\Rightarrow {1,072}^{t} = y$
  Für $t = 60 \min$ (entspricht einer Stunde)
  ${1,072}^{60} \approx 64$
  Für $t = 120 \min$ (entspricht zweiStunde)
  ${1,072}^{120} \approx 4201$
  Für $t = 360 \min$ (entspricht sechs Stunden)
  ${1,072}^{360} \approx 74151975970$
  Für $t = 720 \min$ (entspricht zwölf Stunden)
  ${1,072}^{12 \cdot 60} \approx 5498515541 \cdot 10^{12}$
  Für $t = 1440 \min$ (entspricht 24 Stunden)
  ${1,072}^{24 \cdot 60} \approx 3023367315 \cdot 10^{34}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Finde eine Formel für die Anzahl $N = N (t)$ der Bakterien nach der Zeit $t$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  $1 \cdot {1,072}^{t} = N (t)$
  Siehe 1. Teilaufgabe.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. $2 \cdot 10^{- 18} m^{3}$ . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1 m^{3}$ bzw. $1 k m^{3}$ einnimmt? Beurteile dein Ergebnis kritisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  1. Volumen
  Formel:
  $2 \cdot 10^{- 18} m^{3} \cdot {1,072}^{t} = 1 m^{3}$
  ${1,072}^{t}$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1 m^{3}$ gleichgesetzt.
  ${1,072}^{t} = 5 \cdot 10^{17}$
  Logarithmiere.
  $\log_{1,072} (5 \cdot 10^{17}) \approx 586,16$
  Rechne $586,16$ Minuten in Stunden um.
  ⇒ Es dauert ca. 9,77 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1 m^{3}$ erreicht hat.
  2. Volumen
  $2 \cdot 10^{- 18} m^{3} \cdot {1,072}^{t} = 1000000000 m^{3}$
  ${1,072}^{t}$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1000000000 m^{3}$ gleichgesetzt.
  ${1,072}^{t} = 5 \cdot 10^{26}$
  Logarithmiere.
  $\log_{1,072} (5 \cdot 10^{26}) = 884,22$
  ⇒ Es dauert ca. 14,74 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $ 1000000000 m^{3}$ erreicht hat.
  Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von $1 k m^{3}$ hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf $1 m^{3}$ anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa $13$ Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
11
Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.
Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.
Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen
allg. Formel             $H_{0} \cdot b^{x} = H$
Abnahmefaktor       $b = 0,83$
Anfangswert $H_{0} = 1$         $(= 100 %)$
Exponent= $[x]$ in Metern
$[H]$ in Prozent
1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  $x = 1 m$
  $100 % \cdot 0,83 = 83 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
  $x = 2 m$
  $83 % \cdot 0,83 \cdot 0,83 = 68,89 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
  $x = 5 m$
  $68,89 % \cdot 0,83 \cdot 0,83 \cdot 0,83 = 39,39 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
  $x = 10 m$
  $39,39 % \cdot {0,83}^{5} = 15,52 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit $H_{0}$ an der Wasseroberfläche.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  Formel: $H_{0} \cdot {0,83}^{x} = H$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als $0,01 \cdot H_{0}$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
  $0,01 \cdot H_{0}$ $=$ $H$
  $0,01 \cdot H_{0}$ $=$ $H_{0} \cdot {0,83}^{x}$ $: H_{0}$
  ↓
  Kürze $H_{0}$ heraus.
  $0,01$ $=$ ${0,83}^{x}$ $\log_{0,83} ()$
  ↓
  Logarithmiere.
  $\log_{0,83} (0,01)$ $=$ $x$
  $24,72 m$ $=$ $x$
  $\Rightarrow$ Ab einer Tiefe von ca. $24,72 m$ beträgt die Helligkeit weniger als $0,01 \cdot H_{0}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
12
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa $400 g$ radioaktiven Jod 131 freigesetzt.
Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.
Allg. Formel: $M (0) \cdot b^{t} = M (t)$
Anfangswert a = $400 g$ $= M (0)$
Zeit $[t]$ in Tagen
$M (t) i n g$
$M (8) = 200 g$
1. Wie kann man die Menge $M = M (t)$ des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit $t$ angeben?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Gesucht ist der Abnahmefaktor b
  $400 g \cdot b^{8}$ $=$ $200 g$ $: 400 g$
  $b^{8}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt[8]{}$
  $b$ $=$ $\sqrt[8]{\frac{1}{2}}$
  $b$ $\approx$ $0,917$
  $\to M (t) = 400 g \cdot {0,917}^{t}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge $M_{0} = 400 g$ war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  $M (1) = 400 g \cdot {0,917}^{1} = 366,8 g$
  Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
  $\frac{366,8}{400} = 0,917 = 91,7 %$
  $M (30) = 400 g \cdot {0,917}^{30} \approx 29,73$
  Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
  $\frac{29,73}{400} \approx 0,074 = 7,4 %$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  $\frac{1}{1000} g$ $=$ $400 g \cdot {0,917}^{t}$ $: 400 g$
  $\frac{1}{400000} g$ $=$ ${0,917}^{t}$ $\log_{0,917}$
  ↓
  Logarithmiere.
  $\log_{0,917} (\frac{1}{400000})$ $=$ $t$
  $148,87$ $=$ $t$
  $\Rightarrow$ Man musste etwa 148,87 Tage warten.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
13
Bierschaumzerfall
Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs $10 c m$ . Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.
1. Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet $f (t) = f_{0} \cdot (1 - p)^{t}$
  Setze die gegebenen Werte ( $t$ in min, $f (t)$ in $c m$ ) ein.
  $0,5 \cdot 10$ $=$ $10 \cdot (1 - p)^{3}$ $: 10$
  $0,5$ $=$ $(1 - p)^{3}$ $\sqrt[3]{}$
  $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ $=$ $1 - p$ $+ p - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
  $p$ $=$ $1 - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
  Mit dem Zerfallsfaktor $p$ und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.
  $f (t) = 10 \cdot {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Berechne, wann die Schaumhöhe auf $1 c m$ zurückgegangen ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Setze $f (t) = 1$ .
  $1$ $=$ $10 {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$ $: 10$
  $0,1$ $=$ ${(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$ $\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}$
  $\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})} 0,1$ $=$ $t$
  $10$ $\approx$ $t$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch $3 c m$ . Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn $f_{0} = 3 \cdot 2 = 6$ .
  Falls du das nicht siehst, kannst du auch die Werte einsetzen.
  $f_{0} {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{3}$ $=$ $3$
  $f_{0} \cdot \frac{1}{2}$ $=$ $3$ $\cdot 2$
  $f_{0}$ $=$ $6$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner $1$ ist.
  Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
14
Für den Wasserverbrauch berechnet der Wasserversorger pro $m^{3}$ Wasser $1,75 €$ (Verbrauchskosten). Zusätzlich muss pro Monat eine Grundgebühr von $7 €$ bezahlt werden. Die monatlichen Gesamtkosten setzen sich aus den Verbrauchskosten und der Grundgebühr zusammen.
1. a) Zeichne den Graphen der Gesamtkostenfunktion:
  Wasserverbrauch $x$ (in $m^{3}$ ) $⟼$ Gesamtkosten $K$ $(in €)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  a) Zum Zeichnen benötigt man $2$ Punkte auf dem Graphen.
  Für $x = 0$ ist nur die Grundgebühr in Höhe von $7 €$ zu bezahlen $\Rightarrow P (0 | 7)$
  Werden $10 m^{3}$ Wasser im Monat verbraucht, sind die Verbrauchskosten $10 \cdot 1,75 € = 17,50 €$ . Zusammen mit der Grundgebühr ergibt sich eine Monatsrechnung von $17,50 € + 7 € = 24,50 € \Rightarrow Q (10 | 24,50)$
  Zeichne die beiden Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. b) Gib die Funktionsgleichung an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Bestandsgleichung $B (t) = k \cdot t + B_{0} $ (und $k > 0$ )
  Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ den Gesamtkosten $K (x)$ , die Änderungsrate ist hier $k = 1,75$ und $B_{0}$ entspricht der Grundgebühr von $7 €$ .
  Gesamtkosten $K (x)$ = Verbrauchskosten $k \cdot x$ + Grundgebühr $7$
  (Verbrauchskosten= Preis pro $m^{3}$ Wasser, multipliziert mit dem Wasserverbrauch $x$ (in $m^{3}$ ) $= 1,75 \cdot x$ )
  Man erhält also die Gleichung: $K (x) = 1,75 \cdot x + 7$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. c) Im Juli wurden $5,6 m^{3}$ Wasser verbraucht. Wie hoch ist die Wasserrechnung im Juli?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Setze $5,6$ in die Gleichung für die Gesamtkosten ein:
  $K (5,6) = 1,75 \cdot 5,6 + 7 = 9,80 + 7 = 16,80$
  Für einen Verbrauch von $5,6 m^{3}$ Wasser im Monat Juli müssen $16,80 €$ bezahlt werden.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
15
Eine Kerze ist anfangs $18 cm$ lang. Beim Abbrennen wird sie stündlich um $1,5 cm$ kürzer.
1. Zeichne den Graphen der Funktion:
  Brenndauer $t$ (in Stunden) $⟼$ Länge der Kerze $L$ (Länge in $cm$ )
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Graph der Funktion:
  Zum Zeichnen benötigt man $2$ Punkte auf dem Graphen.
  Für $t = 0$ ist $L (0) = 18 cm \Rightarrow P (0 | 18)$
  Nach $10$ Stunden ist die Kerze um
  1 $, 5 \cdot 10 = 15 cm$ kürzer geworden.
  Sie hat nun eine Länge von:
  $18 cm - 15 cm = 3 cm \Rightarrow Q (10 | 3)$ .
  Zeichne die beiden Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Notiere die Funktionsgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Es handelt sich hier um lineares, negatives Wachstum. Dazu gehört die Bestandsgleichung $B (t) = k \cdot t + B_{0} $ (und $k < 0$ ).
  Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ der Länge $L (t)$ der Kerze. Die Änderungsrate ist $k = - 1,5$ (Die Kerze wird pro Stunde um $1,5 cm$ kürzer.) und die Anfangslänge ist $L_{0} = 18 cm$ .
  Eingesetzt in die Funktionsgleichung $L (t) = k \cdot t + L_{0} $ folgt:
  $L (t) = - 1,5 \cdot t + 18$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Wie lang ist die Kerze nach 3 Stunden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Setze $t = 3$ in die Funktionsgleichung ein:
  $L (t)$ $=$ $- 1,5 \cdot t + 18$
  ↓
  Setze $t = 3$ ein.
  $=$ $- 1,5 \cdot 3 + 18$
  $=$ $- 4,5 + 18$
  $=$ $13,5$
  Antwort: Nach $3$ Stunden ist die Kerze noch $13,5 cm$ lang.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Wann ist die Kerze abgebrannt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Die Kerze ist abgebrannt, wenn $L (t) = 0$ ist.
  $0$ $=$ $- 1,5 \cdot t + 18$ $+ 1,5 \cdot t$
  $1,5 \cdot t$ $=$ $18$ $: 1,5$
  $t$ $=$ $\frac{18}{1,5}$
  $t$ $=$ $12$
  Antwort: Nach $12$ Stunden ist die Kerze abgebrannt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
16
Die Bevölkerung einer Stadt wächst jährlich um $4 %$ . Im Jahr 2022 hat die Stadt 80000 Einwohner.
1. Wie lautet die Wachstumsfunktion mit dem Ansatz $N (t) = N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  $N (t) = N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$ mit $t$ in Jahren ab dem Jahr 2022
  $N (0) = N_{0} = 80000$
  Nach einem Jahr hat die Einwohnerzahl um $4 %$ zugenommen.
  $k = \ln (a)$ und $a = 1 + \frac{4}{100} = 1,04$ $\Rightarrow k = \ln (1,04) \approx 0,0392$
  Antwort: Die Wachstumsfunktion lautet $N (t) = 80000 \cdot e^{0,0392 \cdot t}$ ( $t$ in Jahren ab 2022).
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Wie viele Einwohner wird die Stadt nach 15 Jahren haben?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Setze $t = 15$ in $N (t) = 80000 \cdot e^{0,0392 \cdot t}$ ein:
  $N (15) = 80000 \cdot e^{0,0392 \cdot 15} \approx 144030$
  Antwort: Nach $t = 15$ Jahren beträgt die Einwohnerzahl etwa $144030$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Berechne die Verdopplungszeit.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Für die Verdopplungszeit gilt die Formel: $T_{2} = \frac{\ln (2)}{k}$
  Setze $k = \ln (a)$ mit $a = 1,04$ ein: $\Rightarrow$ $T_{2} = \frac{\ln (2)}{\ln (1,04)} \approx 17,7$
  Antwort: Nach rund $17,7$ Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Wann (nach Beobachtungsbeginn) beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist die erste Ableitung $N^{'} (t)$ der Wachstumsfunktion.
  $N^{'} (t) = k \cdot N_{0} \cdot e^{k \cdot t} = 0,0392 \cdot 80000 \cdot e^{0,0392 \cdot t} = 3136 \cdot e^{0,0392 \cdot t}$
  Soll die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat betragen, dann gilt für das ganze Jahr: $12 \cdot 400 = 4800$
  $\Rightarrow N^{'} (t) = 3136 \cdot e^{0,0392 \cdot t} = 4800$
  $3136 \cdot e^{0,0392 \cdot t}$ $=$ $4800$ $: 3136$
  ↓
  Löse nach $t$ auf.
  $e^{0,0392 \cdot t}$ $=$ $\frac{4800}{3136}$ $\ln$
  $0,0392 \cdot t$ $=$ $\ln (\frac{4800}{3136})$ $: 0,0392$
  $t$ $=$ $\frac{\ln (\frac{4800}{3136})}{0,0392}$
  $\approx$ $10,86$
  Antwort: Rund $10,9$ Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
17
Ein Sparer hat $20000 €$ gespart. Sein Vermögen verliert durch die Inflation von zur Zeit $7 %$ jährlich an Wert.
1. Stelle die Gleichung für den Wert des Vermögens $K (t)$ des Sparers auf (unter der Voraussetzung, dass sich die Inflationsrate nicht ändert):
  Zeit $t$ (in Jahren) $⟼$ $K (t)$ (in $€$ )
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Es handelt sich hier um exponentielle Abnahme. Dazu gehört die Bestandsgleichung $B (t) = B_{0} \cdot a^{t}$ (und $a < 1$ ).
  Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ dem Kapital $K (t)$ des Sparers.
  Das Anfangskapital ist $K_{0} = 20000$ und die Änderungsrate ist $a = 1 - \frac{7}{100} = 0,93$ (Das Kapital nimmt pro Jahr um den Faktor $a = 0,93$ ab.)
  Eingesetzt in die Funktionsgleichung $K (t) = K_{0} \cdot a^{t}$ folgt: $K (t) = 20000 \cdot {0,93}^{t}$
  Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $K (t) = 20000 \cdot {0,93}^{t}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Wie hoch ist der Wert seines Vermögens nach 5 Jahren?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Setze $t = 5$ in die Funktionsgleichung $K (t) = 20000 \cdot {0,93}^{t}$ ein:
  $K (5) = 20000 \cdot {0,93}^{5} \approx 13914$
  Antwort: Nach $5$ Jahren hat das Vermögen des Sparers nur noch einen Wert von etwa $13914 €$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Wann ist sein Vermögen nur noch die Hälfte wert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
  Die Gleichung für die Halbwertszeit lautet: $T_{1 / 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (a)}$
  Setze $a = 0,93$ ein:
  $T_{1 / 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (0,93)} \approx 9,55$
  Antwort: Nach etwa $9,55$ Jahren hat sich das Vermögen des Sparers halbiert.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
18
Beim Servieren von frisch gebrühtem Espresso hat dieser eine Temperatur von $74^{\circ}$ C.
Nach $6 min$ hat der Espresso nur noch eine Temperatur von $50^{\circ}$ C. Die Zimmertemperatur beträgt $21^{\circ}$ C.
1. Stelle die Gleichung für die beschränkte exponentielle Abnahme der Espressotemperatur auf.
  
  Es handelt sich hier um beschränkte, exponentielle Abnahme.
  Dazu gehört die Bestandsgleichung $B (t) = S + (B_{0} - S) \cdot e^{- k t}$ .
  Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ der Temperatur $T (t)$ des Espressos und $t$ ist die Zeit in Minuten.
  Die untere Schranke $S$ ist die Zimmertemperatur von $21^{\circ}$ C. Die Anfangstemperatur ist $T_{0} = 74^{\circ}$ C. Somit ergibt sich folgende Gleichung für die Temperaturabnahme:
  $T (t) = 21 + (74 - 21) \cdot e^{- k t} = 21 + 53 \cdot e^{- k t}$ .
  Die Wachstumskonstante $k$ kann über die Angabe $T (6) = 50$ berechnet werden:
  $T (t)$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- k \cdot t}$
  ↓
  Setze $T (6) = 50$ ein.
  $50$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- k \cdot 6}$ $- 21$
  $29$ $=$ $53 \cdot e^{- k \cdot 6}$ $: 53$
  $\frac{29}{53}$ $=$ $e^{- k \cdot 6}$ $\ln$
  $\ln (\frac{29}{53})$ $=$ $- k \cdot 6$ $: (- 6)$
  $\frac{\ln (\frac{29}{53})}{(- 6)}$ $=$ $k$
  $k$ $\approx$ $0,1$
  Antwort: Die Gleichung für die beschränkte Temperaturabnahme lautet:
  $T (t) = 21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ , $T (t)$ in $^{\circ}$ C und $t$ in Minuten.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Wie lange dauert es, bis die Espressotemperatur $40^{\circ}$ C beträgt?
  
  Setze $T (t) = 40$ :
  $T (t)$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$
  ↓
  Setze $T (t) = 40$ .
  $40$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ $- 21$
  $19$ $=$ $53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ $: 53$
  $\frac{19}{53}$ $=$ $e^{- 0,1 \cdot t}$ $\ln$
  $\ln (\frac{19}{53})$ $=$ $- 0,1 \cdot t$ $: (- 0,1)$
  $\frac{\ln (\frac{19}{53})}{(- 0,1)}$ $=$ $t$
  $t$ $\approx$ $10,3$
  Antwort: Nach etwa $10,3$ Minuten beträgt die Espressotemperatur $40^{\circ}$ C.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Aus der Tiefkühltruhe wird ein gefrorenes Lebensmittel mit einer Temperatur von $- {11,6}^{\circ} C$ in die Küche zum Auftauen gebracht. Die Temperatur in der Küche beträgt $21^{\circ} C$ . Nach $15 \min$ hat sich das Tiefkühlgut auf $- {7,8}^{\circ} C$ erwärmt.

Bestimme die Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme.

Benutze dabei die allgemeine Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme: $B (t) = S + (B_{0} - S) \cdot e^{- k \cdot t}$

Dabei ist:

$B (t)$ : ist der Bestand zur Zeit $t$ ,
$S$ : ist die Sättigungsgrenze (Schranke)
$k$ : ist die Wachstumskonstante,
$B_{0}$ : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.

Wie lange dauert es, bis sich das Tiefkühlgut auf $20^{\circ} C$ erwärmt hat?

Zeichne den Graphen der Funktionsgleichung für $0 \leq t \leq 200$ .
Zeichne ebenfalls die Asymptote ein.

Erstelle eine Tabelle mit einigen Funktionswerten:
t (in Minuten)
T(t) in $^{\circ} C$
0
-11,6
15
-7,8
40
-2,4
80
4,2
120
8,9
160
12,3
200
14,8
Trage die berechneten Funktionswerte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Die Asymptote hat hier die Gleichung $y = 21$ (Schranke $S$ ).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

20
In der Abbildung ist eine logistische Wachstumsfunktion dargestellt. Entnimm der Abbildung die Funktionsgleichung und bestimme für die logistische Funktion die charakteristischen Parameter $S$ , $B_{0}$ und $k$ .
1. Schranke $S$
  
  Für die logistische Wachstumsfunktion gilt die Funktionsgleichung:
  $B (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$
  Hier ist die Funktion $B (t) = \frac{250}{1 + 4 \cdot e^{- 0,625 \cdot t}}$ gegeben.
  Die Schranke $S$ ist im Zähler des Bruches zu finden, also ist $S = 250$ .
  Antwort: Die Schranke $S$ für diese logistische Funktion ist $250$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Anfangswert $B_{0}$
  
  $B_{0} = B (0)$
  Setze $t = 0$ in die gegebene logistische Funktion ein.
  $B (0)$ $=$ $\frac{250}{1 + 4 \cdot e^{- 0,625 \cdot 0}}$
  $=$ $\frac{250}{1 + 4 \cdot 1}$
  $=$ $\frac{250}{5}$
  $=$ $50$
  Antwort: Der Anfangswert des Bestandes ist $B_{0} = 50$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Wachstumskonstante $k$
  
  Die Wachstumskonstante $k$ steht im Exponenten der $e$ -Funktion.
  $B (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$ und $B (t) = \frac{250}{1 + 4 \cdot e^{- 0,625 \cdot t}}$
  Betrachte die Exponenten der $e$ -Funktionen: $- S \cdot k \cdot t$ und $- 0,625 \cdot t$
  Durch Vergleich findet man: $S \cdot k = 0,625$
  Da $S = 250$ ist, folgt: $250 \cdot k = 0,625 \Rightarrow k = \frac{0,625}{250} = 0,0025$
  Antwort: Die Wachstumskonstante ist $k = 0,0025$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

t (in Minuten)	T(t) in $^{\circ} C$
0	-11,6
15	-7,8
40	-2,4
80	4,2
120	8,9
160	12,3
200	14,8

Ein Kind hat bei seiner Geburt eine Größe von $53 cm$ . Nach $3,64$ Jahren ist das Kind $100 cm$ groß. Als Erwachsener ist seine Größe $170 cm$ .

Bestimme die logistische Wachstumsgleichung mit dem Ansatz:

$L (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{L_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$

Wann hat das Kind eine Größe von $160 cm$ erreicht?

In welchem Jahr ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Kindes am größten?

Das Wachstum gilt als abgeschlossen, wenn die jährliche Größenzunahme unter $1 cm$ liegt. Wann ist das hier der Fall?

Wie sieht der Graph der Wachstumsfunktion aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Die bisher berechneten Werte sind in der Wertetabelle zusammengefasst.
t (in Jahren)
L(t) in cm
$0$
$53$
$2,51$
$85$
$3,64$
$100$
$11,3$
$160$
$18,8$
$169$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

t (in Jahren)	L(t) in cm
$0$	$53$
$2,51$	$85$
$3,64$	$100$
$11,3$	$160$
$18,8$	$169$

Ein Wachstumsprozess für beschränktes exponentielles Wachstum einer Population wird durch eine Funktion $B$ beschrieben. $B (t) = 100 - 90 \cdot e^{- t}$ bezeichnet die Anzahl der Individuen der Population zum Zeitpunkt $t$ ( $t$ in Jahren).

Zeichne mithilfe einer Wertetabelle die Wachstumsfunktion für $0 \leq t \leq 10$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
Wertetabelle
Funktion: $B (t) = 100 - 90 \cdot e^{- t}$
$t$ (in Jahren)
$B (t)$
$0$
$10$
$1$
$66,9$
$2$
$87,8$
$4$
$98,35$
$10$
$99,996$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Bestimme den Anfangswert des Bestandes und gib den Bestand nach $3$ Jahren an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Anfangswert des Bestandes
Der Anfangswert des Bestandes ist der Bestand zur Zeit $t = 0$ .
Der Funktionswert für $t = 0$ wurde schon in Aufgabe $a$ ) berechnet: $B (0) = 10$ .
Bestand nach 3 Jahren
Setze $t = 3$ die Wachstumsfunktion ein:
$B (t)$ $=$ $100 - 90 \cdot e^{- t}$
↓
Setze $t = 3$ ein.
$B (3)$ $=$ $100 - 90 \cdot e^{- 3}$
$\approx$ $100 - 4,48$
↓
Vereinfache.
$\approx$ $95,52$
Nach $3$ Jahren ist der Bestand auf rund $96$ Individuen angewachsen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Bestimme die Schranke $S$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
Die allgemeine Wachstumsfunktion für beschränktes exponentielles Wachstum lautet: $B (t) = S - (S - B_{0}) \cdot e^{- k \cdot t}$
Gegeben ist die Wachstumsfunktion $B (t) = 100 - 90 \cdot e^{- t}$ . Die Schranke $S$ kann direkt abgelesen werden: $S = 100$
Alternativ kann der Grenzwert von $B (t)$ für $t \to + \infty$ berechnet werden:
$\lim_{x \to + \infty} B (t) = \lim_{x \to + \infty} 100 - \underset{\to 0}{\underset{⏟}{90 \cdot e^{- t}}} = 100$
Der Bestand nähert sich für $t \to + \infty$ der Grenze $S = 100$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$t$ (in Jahren)	$B (t)$
$0$	$10$
$1$	$66,9$
$2$	$87,8$
$4$	$98,35$
$10$	$99,996$

Nach welcher Zeit ist der aktuelle Bestand auf $80 %$ von $S$ angewachsen?

In einem Dorf mit $800$ Einwohnern breitet sich eine Grippewelle aus. Die Grippewelle soll auf das Dorf beschränkt bleiben. Anfangs waren nur $20$ Personen infiziert. Nach einer Woche waren schon $140$ Personen an Grippe erkrankt.

Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten?

Wie sieht der zugehörige Graph aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:
t (in Wochen)
B(t): Anzahl Infizierte
(gerundete Werte)
$0$
$20$
$1$
$140$
$2$
$509$
$3$
$748$
$4$
$793$
$5$
$799$
Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der an Grippe Erkrankten"
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

t (in Wochen)	B(t): Anzahl Infizierte (gerundete Werte)
$0$	$20$
$1$	$140$
$2$	$509$
$3$	$748$
$4$	$793$
$5$	$799$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$T (t)$	$=$	$21 - 32,6 \cdot e^{- k \cdot t}$
	↓	Setze $T (15) = - 7,8$ .
$- 7,8$	$=$	$21 - 32,6 \cdot e^{- k \cdot 15}$	$- 21$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$- 28,8$	$=$	$- 32,6 \cdot e^{- k \cdot 15}$	$: (- 32,6)$
$\frac{- 28,8}{- 32,6}$	$=$	$e^{- k \cdot 15}$	$\ln$
$\ln (\frac{28,8}{32,6})$	$=$	$- k \cdot 15$	$: (- 15)$
$\frac{\ln (\frac{28,8}{32,6})}{- 15}$	$=$	$k$
$k$	$\approx$	$0,00826$

$L (t)$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 170 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $L (3,64) = 100$ ein.
$100$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 170 \cdot k \cdot 3,64}}$
$100$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k})$
$100 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k})$	$=$	$170$	$: 100$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k}$	$=$	$1,7$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k}$	$=$	$0,7$	$: 2,2075$
$e^{- 618,8 \cdot k}$	$=$	$\frac{0,7}{2,2075}$	$\ln$
$- 618,8 \cdot k$	$=$	$\ln (\frac{0,7}{2,2075})$	$: (- 618,8)$
$k$	$=$	$\frac{\ln (\frac{0,7}{2,2075})}{(- 618,8)}$
$k$	$\approx$	$0,001856$

$160$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$160 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$	$=$	$170$	$: 160$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{17}{16}$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{17}{16} - 1$	$: 2,2075$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{\frac{1}{16}}{2,2075}$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{25}{883}$	$\ln$
$- 0,31552 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{25}{883})$	$: (- 0,31552)$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{25}{883})}{(- 0,31552)}$
$t$	$\approx$	$11,3$

$85$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$
$85 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$	$=$	$170$	$: 85$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{170}{85}$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$2 - 1$	$: 2,2075$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{1}{2,2075}$	$\ln$
$- 0,31552 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{1}{2,2075})$	$: (- 0,31552)$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{1}{2,2075})}{(- 0,31552)}$
$t$	$\approx$	$2,51$

$169$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$
$169 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$	$=$	$170$	$169$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{170}{169}$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{170}{169} - 1$	$: 2,2075$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{\frac{1}{169}}{2,2075}$	$\ln$
$- 0,31552 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{400}{149227})$	$: (- 0,31552)$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{400}{149227})}{(- 0,31552)}$
$t$	$\approx$	$18,77$

$100$	$=$	$80 \cdot {1,1}^{x}$	$: 80$
$1,25$	$=$	${1,1}^{x}$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\log_{1,1} 1,25$
$x$	$\approx$	$2,34$

$40$	$=$	$80 \cdot {1,1}^{x}$	$: 80$
$\frac{1}{2}$	$=$	${1,1}^{x}$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\log_{1,1} (\frac{1}{2})$
$x$	$\approx$	$- 7,27$

$f (6)$	$=$	$84 \cdot a^{6}$
$313$	$=$	$84 \cdot a^{6}$
$\Rightarrow a^{6}$	$=$	$\frac{313}{84}$	$\sqrt[6]{}$
$a$	$=$	$\sqrt[6]{\frac{313}{84}}$
	$\approx$	$1,245$

$53 060,40 €$	$=$	$c \cdot {1,02}^{3}$
	↓	Da wir c suchen, müssen wir die Formel nach c umstellen.
$53 060,40 €$	$=$	$c \cdot {1,02}^{3}$	$: {1,02}^{3}$
$\frac{53060,40}{{1,02}^{3}}$	$=$	$50 000$
	↓	Herr Meier hatte 50 000€ angelegt.

$11 314,08$	$=$	$10 000 \cdot a^{5}$	$: 10 000$
	↓	Da a gesucht ist, musst du die Formel nach a umstellen.
$\frac{11 314,08}{10 000}$	$=$	$a^{5}$
	↓	Nun musst du die 5. Wurzel ziehen.
$\sqrt[5]{\frac{11314,08}{10000}}$	$=$	$\sqrt[5]{a^{5}}$
$\sqrt[5]{\frac{11314,08}{10000}}$	$=$	$a$
$\sqrt[5]{1,131408}$	$=$	$a$
$1,025$	$\approx$	$a$
	↓	etzt musst du noch den Zinssatz bestimmen.

$500 \cdot {1,025}^{t}$	$=$	$1000$	$: 500$
${1,025}^{t}$	$=$	$2$	$\cdot \log ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{1,025} (2)$	$=$	$t$
$t$	$\approx$	$28,1 Jahre$

$1 \cdot b^{10}$	$=$	$2$	$\sqrt[10]{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\sqrt[10]{2}$	$=$	$b$
$1,072$	$\approx$	$b$

$0,01 \cdot H_{0}$	$=$	$H$
$0,01 \cdot H_{0}$	$=$	$H_{0} \cdot {0,83}^{x}$	$: H_{0}$
	↓	Kürze $H_{0}$ heraus.
$0,01$	$=$	${0,83}^{x}$	$\log_{0,83} ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{0,83} (0,01)$	$=$	$x$
$24,72 m$	$=$	$x$

$400 g \cdot b^{8}$	$=$	$200 g$	$: 400 g$
$b^{8}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt[8]{}$
$b$	$=$	$\sqrt[8]{\frac{1}{2}}$
$b$	$\approx$	$0,917$

$\frac{1}{1000} g$	$=$	$400 g \cdot {0,917}^{t}$	$: 400 g$
$\frac{1}{400000} g$	$=$	${0,917}^{t}$	$\log_{0,917}$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{0,917} (\frac{1}{400000})$	$=$	$t$
$148,87$	$=$	$t$

$0,5 \cdot 10$	$=$	$10 \cdot (1 - p)^{3}$	$: 10$
$0,5$	$=$	$(1 - p)^{3}$	$\sqrt[3]{}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$	$=$	$1 - p$	$+ p - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$p$	$=$	$1 - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

$1$	$=$	$10 {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$	$: 10$
$0,1$	$=$	${(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$	$\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}$
$\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})} 0,1$	$=$	$t$
$10$	$\approx$	$t$

$f_{0} {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{3}$	$=$	$3$
$f_{0} \cdot \frac{1}{2}$	$=$	$3$	$\cdot 2$
$f_{0}$	$=$	$6$

$L (t)$	$=$	$- 1,5 \cdot t + 18$
	↓	Setze $t = 3$ ein.
	$=$	$- 1,5 \cdot 3 + 18$
	$=$	$- 4,5 + 18$
	$=$	$13,5$

$0$	$=$	$- 1,5 \cdot t + 18$	$+ 1,5 \cdot t$
$1,5 \cdot t$	$=$	$18$	$: 1,5$
$t$	$=$	$\frac{18}{1,5}$
$t$	$=$	$12$

$3136 \cdot e^{0,0392 \cdot t}$	$=$	$4800$	$: 3136$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$e^{0,0392 \cdot t}$	$=$	$\frac{4800}{3136}$	$\ln$
$0,0392 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{4800}{3136})$	$: 0,0392$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{4800}{3136})}{0,0392}$
	$\approx$	$10,86$

$T (t)$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- k \cdot t}$
	↓	Setze $T (6) = 50$ ein.
$50$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- k \cdot 6}$	$- 21$
$29$	$=$	$53 \cdot e^{- k \cdot 6}$	$: 53$
$\frac{29}{53}$	$=$	$e^{- k \cdot 6}$	$\ln$
$\ln (\frac{29}{53})$	$=$	$- k \cdot 6$	$: (- 6)$
$\frac{\ln (\frac{29}{53})}{(- 6)}$	$=$	$k$
$k$	$\approx$	$0,1$

$T (t)$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$
	↓	Setze $T (t) = 40$ .
$40$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$	$- 21$
$19$	$=$	$53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$	$: 53$
$\frac{19}{53}$	$=$	$e^{- 0,1 \cdot t}$	$\ln$
$\ln (\frac{19}{53})$	$=$	$- 0,1 \cdot t$	$: (- 0,1)$
$\frac{\ln (\frac{19}{53})}{(- 0,1)}$	$=$	$t$
$t$	$\approx$	$10,3$

$T (t)$	$=$	$21 - 32,6 \cdot e^{- 0,00826 \cdot t}$
	↓	Setze $T (t) = 20$ .
$20$	$=$	$21 - 32,6 \cdot e^{- 0,00826 \cdot t}$	$- 21$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$- 1$	$=$	$- 32,6 \cdot e^{- 0,00826 \cdot t}$	$: (- 32,6)$
$\frac{- 1}{- 32,6}$	$=$	$e^{- 0,00826 \cdot t}$	$\ln$
$\ln (\frac{1}{32,6})$	$=$	$- 0,00826 \cdot t$	$: (- 0,00826)$
$\frac{\ln (\frac{1}{32,6})}{- 0,00826}$	$=$	$t$
$t$	$\approx$	$421,8$

$B (0)$	$=$	$\frac{250}{1 + 4 \cdot e^{- 0,625 \cdot 0}}$
	$=$	$\frac{250}{1 + 4 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{250}{5}$
	$=$	$50$

$B (t)$	$=$	$100 - 90 \cdot e^{- t}$
	↓	Setze $t = 3$ ein.
$B (3)$	$=$	$100 - 90 \cdot e^{- 3}$
	$\approx$	$100 - 4,48$
	↓	Vereinfache.
	$\approx$	$95,52$

Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Startwert 80km2

Wachstumsfaktor 2

Neuer Exponent x7

Hast du eine Frage oder Feedback?

Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion f(x)=84ax

Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?

Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Ausgangssituation:

Situation nach 183 Sekunden:

Resultierender Funktionsterm

Bestimmung der Halbwertszeit

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lineare oder exponentielle Abnahme für f(x)= Vorrat nach x Tagen?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wertetabelle anlegen

Graphen zeichnen

Graphen vergleichen

Lösung der Gleichung ablesen

Zinswachstum

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Exponent = [t] in Jahren = 1

Exponent = [t] in Jahren = 2

Exponent = [t] in Jahren = 5

Exponent= [t] in Jahren = 10

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Volumen

2. Volumen

2⋅10−18m3⋅1,072t=1000000000m3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gesucht ist der Abnahmefaktor b

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Startwert $80 k m^{2}$

Neuer Exponent $\frac{x}{7}$

Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f (x) = 84 a^{x}$

Lineare oder exponentielle Abnahme für $f (x) =$ Vorrat nach $x$ Tagen?

Exponent = $[t]$ in Jahren = $1$

Exponent = $[t]$ in Jahren = $2$

Exponent = $[t]$ in Jahren = 5

Exponent= $[t]$ in Jahren = 10

$2 \cdot 10^{- 18} m^{3} \cdot {1,072}^{t} = 1000000000 m^{3}$

$B (t)$	$=$	$100 - 90 \cdot e^{- t}$
	↓	Setze $B (t) = 80$ .
$80$	$=$	$100 - 90 \cdot e^{- t}$	$- 100$
	↓	Löse nach t auf.
$- 20$	$=$	$- 90 \cdot e^{- t}$	$: (- 90)$
$\frac{- 20}{- 90}$	$=$	$e^{- t}$
	↓	Kürze die linke Seite.
$\frac{2}{9}$	$=$	$e^{- t}$	$\ln$
	↓	Beseitige die $e$ -Funktion.
$\ln (\frac{2}{9})$	$=$	$- t$	$\cdot (- 1)$
$t$	$=$	$- \ln (\frac{2}{9})$
	$\approx$	$1,5$

$B (t)$	$=$	$\frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $B_{0} = 20$ und $S = 800$ ein.
	$=$	$\frac{800}{1 + (\frac{800}{20} - 1) \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{800}{1 + (40 - 1) \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{800}{1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$

$B (t)$	$=$	$\frac{800}{1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $t = 1$ und $B (1) = 140$ ein.
$140$	$=$	$\frac{800}{1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot 1}}$	$\cdot (1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot 1})$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$140 \cdot (1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot 1})$	$=$	$800$	$: 140$
$1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{800}{140}$
	↓	Kürze.
$1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{7}$	$- 1$
$39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{7} - 1$
$39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{7} - \frac{7}{7}$
	↓	Fasse zusammen.
$39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{33}{7}$	$: 39$
$e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{33}{7 \cdot 39}$
	↓	Kürze und fasse zusammen.
$e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{11}{91}$	$\ln$
	↓	Löse die e-Funktion auf.
$- 800 \cdot k$	$=$	$\ln (\frac{11}{91})$	$: (- 800)$
$k$	$=$	$\frac{\ln (\frac{11}{91})}{(- 800)}$
$k$	$\approx$	$0,00264$