Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Ist der Wachstumsfaktor einer Exponentialfunktion größer als 1, so liegt exponentielles Wachstum vor. Der Wachstumsfaktor $bb$ ist dabei die Basis der Exponentialfunktion der Form $a\cdot b^{x}a\backslash cdot\; b^x$.

Nach zehn Jahren ist der Wald ca. $207,5k{m}^{2}207\{,\}5\backslash \; km^2$ groß.

Nun musst du entscheiden, wie exakt du das Ergebnis angeben magst. 0,34 Jahre ist etwas mehr als $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ eines Jahres, also 4 Monate ($0,34\cdot 12=4,080\{,\}34\backslash cdot12=4\{,\}08$).

Der Wald hat nach etwas mehr als 2 Jahren und 4 Monaten $100k{m}^{2}100\backslash \; km^\{2\backslash \; \}$Größe erreicht. Wird nur jährlich gemessen, stellt man die Größe erstmals nach 3 Jahren fest.

Da der Wald halb so groß sein soll, wie er jetzt ist und die $80k{m}^{2}80\backslash \; km^\{2\backslash \; \}$der Größe des Waldes bei Beginn der Messungen entspricht, muss der Funktionsterm mit $40k{m}^{2}40\backslash \; km^2$ gleichgesetzt werden.

Erneut kannst du die 0,27 Jahre in Monate umrechnen:

$0,27\cdot 12\approx 30\{,\}27\backslash cdot12\backslash approx3$ Monate

Vor etwas weniger als 7 Jahren und 3 Monate hatte der Wald die Größe von $40k{m}^{2}40km^2$

Da der Wald zu Beginn der Messungen $80k{m}^{2}80\backslash \; km^2$ groß ist, ist ein doppelt so großer Wald $160k{m}^{2}160\backslash \; km^2$ groß.

Der Wald braucht ebenfalls 7 Jahre und 3 Monate, um seine Größe erneut zu verdoppeln.

Zusammenhang zwischen halber Waldgröße und doppelter Waldgröße:

Der Wald braucht immer gleich lang, um seine Größe zu verdoppeln, nämlich 7,27 Jahre.

Startwert $80k{m}^{2}80km^2$

Der Wald hat weiterhin die gleiche Ausgangsgröße von $80k{m}^{2}80\backslash \; km^2$

Wachstumsfaktor 2

Statt dir das Wachstum um 10% in einem Jahr anzuschauen, fragst du jetzt, wann sich die Größe des Waldes verdoppelt hat. Deshalb benutzt du den Wachstumsfaktor 2.

Natürlich geht das nicht ohne weitere Anpassungen, deshalb wurde auch im Exponenten etwas ergänzt.

Neuer Exponent $\frac{x}{7}\backslash frac\{x\}\{7\}$

Die 7 Jahre sind die Zeit, die der Wald benötigt, um seine Größe zu verdoppeln.

Dadurch, dass im Exponent durch 7 dividiert wird, braucht es 7 Jahre, bis der Exponent den Wert 1 annimmt und sich somit der Wald auch wirklich verdoppelt hat:

$w_2\left(1\right)=80\cdot 2^{\frac{1}{7}}w\_2\backslash left(1\backslash right)=80\backslash cdot2^\{\backslash frac\{1\}\{7\}\}$ ist noch keine Verdopplung der Waldfläche.

$w_2\left(7\right)=80\cdot 2^{\frac{7}{7}}=80\cdot 2^1=160w\_2\backslash left(7\backslash right)=80\backslash cdot2^\{\backslash frac\{7\}\{7\}\}=80\backslash cdot2^1=160$ ist die erste Verdopplung der Waldfläche.

$w_2\left(14\right)=80\cdot 2^{\frac{14}{7}}=80\cdot 2^2=320w\_2\backslash left(14\backslash right)=80\backslash cdot2^\{\backslash frac\{14\}\{7\}\}=80\backslash cdot2^2=320$ ist die zweite Verdopplung der Waldfläche und

$w_2(-7)=80\cdot 2^{\frac{-7}{7}}=80\cdot \frac{1}{2}=40w\_2\backslash left(-7\backslash right)=80\backslash cdot2^\{\backslash frac\{-7\}\{7\}\}=80\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}=40$ ist der Zeitpunkt, an dem der Wald die halbe Größe hatte.

Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion $f(x)=84a^{x}f(x)=84\backslash ,\; a^\; x$

Im Jahr 1990 ist $x=0x=0$ und im Jahr 1996 ist $x=6x=6$.

Damit ist $f(x)=84\cdot 1,245^{x}f(x)=84\backslash cdot\; 1\{,\}245^\; x$.

Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?

Die Fläche nimmt pro Jahr um etwa $24,5\mathrm{\%}24\{,\}5\backslash ;\backslash \%$ zu.

Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung

Im Jahr 1984 ist $x=-6\Rightarrow f(-6)=84\cdot 1,245^{-6}\approx 22,6x=-6\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(-6)=84\backslash cdot\; 1\{,\}245^\{-6\}\backslash approx22\{,\}6$.

Dieser Wert passt zu den gegebenen Daten ($2222$).

Im Jahr 2002 ist $x=12\Rightarrow f(12)=84\cdot 1,245^{12}\approx 1165x=12\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(12)=84\backslash cdot\; 1\{,\}245^\{12\}\backslash approx1165$.

Dieser Wert passt nicht zu den gegebenen Daten ($632632$).

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

Da sich $a^{x}a^x$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ nur asymptotisch der $00$ nähert, aber immer größer $00$ ist, gab es die Fläche $00$ ha zu keinem Zeitpunkt.

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $\lambda \backslash lambda$.

Die Halbwertzeit beträgt rund $55,1\mathrm{s}55\{,\}1\backslash ;\backslash mathrm\{\; s\}$.

Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung $N(t)=b\cdot a^{t}N(t)=b\backslash cdot\; a^t$ lautet.

Ausgangssituation:

Anfangs ($t=0t=0$) sind $N(0)=20000N(0)=20000$ Kerne vorhanden

Situation nach 183 Sekunden:

Nach 183 Sekunden existieren noch $\frac{1}{10}\backslash frac\{1\}\{10\}$ der anfangs vorhanden Kerne.

Also: $N(183)=\frac{1}{10}\cdot N(0)N(183)=\backslash frac\{1\}\{10\}\backslash cdot\; N(0)$

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt.

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also:

Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht geringfügig von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert $0,98750\{,\}9875$ für den Parameter $aa$ weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses $a=\sqrt[183]{0,1}a=\backslash sqrt[183]\{0\{,\}1\}$ erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von $T=\frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln \left(\sqrt[183]{0,1}\right)}=55,088T=\backslash frac\{\backslash ln\{(\backslash frac\{1\}\{2\})\}\}\{\backslash ln\{\backslash left(\backslash sqrt[183]\{0\{,\}1\}\backslash right)\}\}=55\{,\}088$ Sekunden.

Lineare oder exponentielle Abnahme für  $f(x)=f(x)=$ Vorrat nach $xx$ Tagen?

Es handelt sich um eine lineare Abnahme, weil von einer gleichmäßigen Nachfrage gesprochen wird. Das heißt, die Kunden kaufen jeden Tag die gleiche Menge an Stifte.

Exponentiell wäre der Zusammenhang genau dann, wenn die Nachfrage der Kunden gleichmäßig bspw. um $10\mathrm{\%}10~\backslash \%$ jeden Tag ansteigen würde.

Es sind noch ${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$ von $2000020000$ gleich $20002000$ Bleistifte vorrätig, d.h. es wurden $1800018000$ Stifte verkauft.

Pro Tag nahm der Vorrat um ${\displaystyle \frac{18000}{183}}\approx 98\backslash dfrac\{18000\}\{183\}\backslash approx98$ Stifte ab.

Die lineare Funktionsgleichung lautet demnach:

.

$\text{}4\mathrm{\%}4\backslash \%$-iges Wachstum bedeutet, dass die Wirtschaftskraft das $1,041\{,\}04$ fache vom Vorjahr beträgt.

Nach 2 Jahren also das $1,04\cdot 1,04=1,08161\{,\}04\backslash cdot\; 1\{,\}04=1\{,\}0816$ fache vom Ausgangsjahr. Das entspricht einem Zuwachs von $8,16\mathrm{\%}8\{,\}16\backslash \%$

$1,04^{10}=1,48024.1\{,\}04^\{10\}=1\{,\}48024.$ Sie wäre also rund um das $1,51\{,\}5$-fache gewachsen. Der Zuwachs wäre $48\mathrm{\%}48\backslash \%$.

Lösung: $1,04^{50}=7,106681\{,\}04^\{50\}=7\{,\}10668$

Nach 50 Jahren müsste sich die Wirtschaftsleistung etwa versiebenfacht haben. Fragt sich nur, wo da die Resourcen herkommen sollen…

Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:

Wachstumsfaktor: $b=1,025b\backslash \; =\backslash \; 1\{,\}025$

Anfangswert: $a=500a\; =\; 500\backslash ;$

Exponent: $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren

$\left[y\right]\backslash left[y\backslash right]$ in Euro

Erhält Hans jährlich $2,5\mathrm{\%}2\{,\}5\backslash \%$ Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das $1,0251\{,\}025$-fache des vorherigen Betrags von $500500$ Euro.

Gesucht ist jeweils $yy$, wenn die Werte $1,2,51,\; 2,\; 5$ und $1010$ für $tt$ eingesetzt werden

Exponent = $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren = $11$

Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau $1,025^{1}1\{,\}025^1$ -fache des vorherigen Betrages gestiegen.

$500\cdot 1,025^1=512,50\text{Euro}500\backslash cdot1\{,\}025^1=512\{,\}50\; \backslash ;\backslash text\{Euro\}$

Exponent = $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren = $22$

Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das $1,0251\{,\}025$ fache aufgeschlagen. Ein Zuwachs von  $1,025\cdot 1,0251\{,\}025\backslash cdot1\{,\}025\backslash ;$ also  $5,1\mathrm{\%}5\{,\}1\backslash \%$ .

$500\cdot 1,025^2=525,31\text{Euro}500\backslash cdot1\{,\}025^2=525\{,\}31\; \backslash ;\backslash text\{Euro\}$

Exponent = $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren = 5

$500\cdot 1,025^5=565,70\text{Euro}500\backslash cdot1\{,\}025^5=565\{,\}70\; \backslash ;\; \backslash text\{Euro\}$

Exponent= $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren = 10

$500\cdot 1,025^{10}=640,04\text{Euro}500\backslash cdot1\{,\}025^\{10\}=640\{,\}04\backslash ;\; \backslash text\{Euro\}$

Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:

Wachstumsfaktor: $b=1,025b\backslash \; =\backslash \; 1\{,\}025$

Anfangswert: $a=500a\; =\; 500\backslash ;$

Exponent: $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren

$\left[y\right]\backslash left[y\backslash right]$ in Euro

Gesucht ist hierbei die Variable $\left[t\right]\backslash left[t\backslash right]$ in Jahren, also die Anzahl der Jahre die verstreichen müssen, bis Hans 1000 Euro auf seinem Konto hat.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Im 29. Jahr besitzt Hans $1000\text{ €}1000\backslash \; €$ auf seinem Konto.

(Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung festgelegt ist, dass Hans erst am Ende des Jahres seine Zinsen gutschreiben lässt. Nach $28,128\{,\}1$ Jahren hat er zwar theoretisch die $1000\text{ €}1000\backslash \; €$ erreicht, jedoch werden diese erst am Ende des Jahres, also nach insgesamt $2929$ Jahren, auf seinem Konto erscheinen.)

allg. Formel

$a\cdot b^t=ya\backslash cdot\; b^t=y$

Wachstumsfaktor $bb$

Anfangswert $a=1a=1$

Zeit $tt$ in Minuten

Anzahl der Bakterien $yy$

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Gegeben:

Die Bakterien teilen sich alle 10 Minuten, das heißt ihre Anzahl verdoppelt sich alle 10 Minuten:

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

$\Rightarrow 1,072^t=y\backslash Rightarrow\; 1\{,\}072^t=y$

Für $t=60\min t=60\backslash \; \backslash min$ (entspricht einer Stunde)

$1,072^{60}\approx 641\{,\}072^\{60\}\backslash approx\; 64$

Für $t=120\min t=120\backslash \; \backslash min$ (entspricht zweiStunde)

$1,072^{120}\approx 42011\{,\}072^\{120\}\backslash approx\; 4201$

Für $t=360\min t=360\backslash \; \backslash min$ (entspricht sechs Stunden)

$1,072^{360}\approx 741519759701\{,\}072^\{360\}\backslash approx\; 74151975970$

Für $t=720\min t=720\backslash \; \backslash min$ (entspricht zwölf Stunden)

$1,072^{12\cdot 60}\approx 5498515541\cdot 10^{12}1\{,\}072^\{12\backslash cdot\; 60\}\backslash approx\; 5498515541\backslash cdot\; 10^\{12\}$

Für $t=1440\min t=1440\backslash \; \backslash min$ (entspricht 24 Stunden)

$1,072^{24\cdot 60}\approx 3023367315\cdot 10^{34}1\{,\}072^\{24\backslash cdot\; 60\}\backslash approx\; 3023367315\backslash cdot\; 10^\{34\}$

$1\cdot 1,072^t=N\left(t\right)1\backslash cdot\; 1\{,\}072^t=N\backslash left(t\backslash right)$

Siehe 1. Teilaufgabe.

1. Volumen

Formel:

$2\cdot 10^{-18}{m}^3\cdot 1,072^t=1m^{3}2\backslash cdot10^\{-18\}\backslash ,m^3\backslash cdot1\{,\}072^t=1\backslash ,m^3$

$1,072^{t}1\{,\}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1m^{3}1m^3$ gleichgesetzt.

$1,072^t=5\cdot 10^{17}1\{,\}072^t=5\backslash cdot\; 10^\{17\}$

Logarithmiere.

${\log }_{1,072}(5\cdot 10^{17})\approx 586,16\backslash log\; \_\{1\{,\}072\}\backslash left(5\backslash cdot\; 10^\{17\}\backslash right)\backslash approx\; 586\{,\}16$

Rechne $586,16586\{,\}16$ Minuten in Stunden um.

⇒ Es dauert ca. 9,77 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1m^{3}1m^3$ erreicht hat.

2. Volumen

$2\cdot 10^{-18}{m}^3\cdot 1,072^t=1000000000m^{3}2\backslash cdot10^\{-18\}\backslash ,m^3\backslash cdot1\{,\}072^t=1000000000\backslash ,m^3$

$1,072^{t}1\{,\}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1000000000m^{3}1000000000\backslash ,m^3$ gleichgesetzt.

$1,072^t=5\cdot 10^{26}1\{,\}072^t=5\backslash cdot\; 10^\{26\}$

Logarithmiere.

${\log }_{1,072}(5\cdot 10^{26})=884,22\backslash log\; \_\{1\{,\}072\}\backslash left(5\backslash cdot\; 10^\{26\}\backslash right)=884\{,\}22$

⇒ Es dauert ca. 14,74 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $\text{}1000000000m^31000000000\backslash ,m^3$ erreicht hat.

Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von $1k{m}^{3}1\; \backslash ,\; km^3$ hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf $1m^{3}1\; \backslash ,\; m^3$ anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa $1313$ Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.

$x=1\text{ m}x=1\backslash \; \backslash text\{m\}$

$100\mathrm{\%}\cdot 0,83=83\mathrm{\%}100\backslash \%\backslash cdot0\{,\}83=83\backslash \%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

$x=2\text{ m}x=2\backslash \; \backslash text\{m\}$

$83\mathrm{\%}\cdot 0,83\cdot 0,83=68,89\mathrm{\%}83\backslash \%\backslash cdot0\{,\}83\backslash cdot0\{,\}83=68\{,\}89\backslash \%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

$x=5\text{ m}x=5\backslash \; \backslash text\{m\}$

$68,89\mathrm{\%}\cdot 0,83\cdot 0,83\cdot 0,83=39,39\mathrm{\%}68\{,\}89\backslash \%\backslash cdot0\{,\}83\backslash cdot0\{,\}83\backslash cdot0\{,\}83=39\{,\}39\backslash \%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

$x=10\text{ m}x=10\backslash \; \backslash text\{m\}$

$39,39\mathrm{\%}\cdot 0,83^5=15,52\mathrm{\%}39\{,\}39\backslash \%\backslash cdot0\{,\}83^5=15\{,\}52\backslash \%$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.

Formel:  $H_0\cdot 0,83^x=HH\_0\backslash cdot0\{,\}83^x=H$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Ab einer Tiefe von ca. $24,72\text{ m}24\{,\}72\backslash \; \backslash text\{m\}$ beträgt die Helligkeit weniger als $0,01\cdot {\mathrm{H}}_{0}0\{,\}01\backslash cdot\{\backslash mathrm\; H\}\_0$ .

Gesucht ist der Abnahmefaktor b

$\to M\left(t\right)=400g\cdot 0,917^t\backslash rightarrow\; M\backslash left(t\backslash right)=400g\backslash cdot\; 0\{,\}917^t$

$M\left(1\right)=400g\cdot 0,917^1=366,8gM\backslash left(1\backslash right)=400g\backslash cdot\; 0\{,\}917^1\; =\; 366\{,\}8g$

Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:

$\frac{366,8}{400}=0,917=91,7\mathrm{\%}\backslash frac\{366\{,\}8\}\{400\}=0\{,\}917=91\{,\}7\backslash \%$

$M\left(30\right)=400g\cdot 0,917^{30}\text{}\approx 29,73M\backslash left(30\backslash right)=400g\backslash cdot0\{,\}917^\{30\}\; \backslash approx29\{,\}73$

Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:

$\frac{29,73}{400}\approx 0,074=7,4\mathrm{\%}\backslash frac\{29\{,\}73\}\{400\}\backslash approx0\{,\}074=7\{,\}4\backslash \%$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Man musste etwa 148,87 Tage warten.

Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet $f(t)=f_0\cdot (1-p{)}^{t}f(t)=f\_0\cdot (1-p)^t$

Setze die gegebenen Werte ($tt$ in min, $f(t)f(t)$ in $cmcm$) ein.

Mit dem Zerfallsfaktor $pp$ und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.

${\displaystyle f(t)=10\cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)}^t}\backslash displaystyle\; f(t)=10\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash right)^t$

Setze $f(t)=1f(t)\; =1$ .

Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn $f_0=3\cdot 2=6f\_0\; =3\backslash cdot\; 2\; =6$.