Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

1

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

2

(Bierschaumzerfall)

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

a) Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

b) Berechne, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist.

c) Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

d) Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

3

Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm  f(x)\mathrm f(\mathrm x) :

a

Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:

Jahr

1984

1990

1996

2002

Fläche in 1000 ha

22

84

313

632

Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart  f(x)=84axf(x)=84\, a^ x beschrieben wird, wie lautet dann die Basis aa und wie ist dieser Wert zu interpretieren?

Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.

Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?

b

Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch 110\frac{1}{10} davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
c

Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,

nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch 110\frac{1}{10} davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.

Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme für  f(x)=f(x)= Vorrat nach xx Tagen?

4

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine so genannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

  1. Wie kann man die Menge M=M(t)\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right) des radioaktiven Jod 131 als Funktion der Zeit t angeben?

  2. Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge M0=400g{\mathrm M}_0=400\mathrm g war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

  3. Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

raschweb.de (Aufgabenstellung)
5

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwassseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

  1. Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

  2. Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit H0{\mathrm H}_0 an der Wasseroberfläche.

  3. In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als 0,01H00{,}01\cdot{\mathrm H}_0 ?

raschweb.de (Aufgabenstellung)
6

Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

  1. Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunde bzw. 24 Stunden vorhanden?

  2. Finde eine Formel für die Anzahl N= N(t) der Bakterien nach der Zeit t.

  3. Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. 21018  m32 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3 . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1 m³ bzw. 1 km³ einnimmt?  Beurteile dein Ergebnis kritisch.

raschweb.de (Aufgabenstellung)
7

Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500€ ein.

Er erhält jährlich 2,5% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

Er erhält jährlich 2,5% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt.

  1. Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

  2. Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500€ verdoppelt hat?

raschweb.de (Aufgabenstellung)
8

Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4% Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr 4% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…

  1. … 2 Jahren gewachsen?

  2. … 10 Jahren gewachsen?

  3. … 50 Jahren gewachsen?

9

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu f(x)=2,5x\mathrm f(\mathrm x)=2{,}5^\mathrm xg(x)=2,5x1\mathrm g(\mathrm x)=2{,}5^{\mathrm x-1} und h(x)=0,4x\mathrm h(\mathrm x)=0{,}4^\mathrm x .

Vergleiche die Graphen.

Löse die Gleichung 2,5x=52{,}5^\mathrm x=5 graphisch.

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
10

Herr Meier hat eine größere Summe Geld gewonnen und legt sie für 3 Jahre zu einem Zinssatz von 2% jährlich an.

Nach 3 Jahren bekommt er von der Bank 53060,40 €53\, 060{,}40\ € ausbezahlt.

Wie viel Geld hatte er angelegt?

11

Frau Müller hat 10000 €10\, 000\ € gespart und legt sie für 5 Jahre zu einem festen Zinssatz an. Nach 5 Jahren bekommt sie 11314,08 €11\, 314{,}08\ € ausbezahlt.

Zu welchem Zinssatz war das Geld angelegt?

12

Tante Luna zeigt ihrem 13-jährigen Neffen Luca ein Sparbuch, auf dem sich 5796,37 €5796{,}37\ € befinden. "Als du 8 Jahre alt warst", sagt sie, "hatte ich mir etwas Geld gespart und es zu einem festen Zinssatz angelegt. Wenn du 18 Jahre bist, bekommst du von mir 6719,58 €6719{,}58 \ €."

Wie viel Geld hatte Tante Luna angelegt und zu welchem Zinssatz?

13

Derzeit gibt es kein politisches System auf der Erde, das nicht auf Wirtschaftswachstum setzt. 4% Wachstum gelten als wünschenswert und maßvoll: also jedes Jahr 4% mehr im Vergleich zum Vorjahr. Um wie viel Prozent wäre also bei diesem Wachstum die Wirtschaft nach…

a

… 2 Jahren gewachsen?

b

… 10 Jahren gewachsen?

c

… 50 Jahren gewachsen?

14

Hans eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt darauf 500€ ein.

Er erhält jährlich 2,5% Zinsen, die er am Ende des Jahres jeweils auf das Konto gutschreiben lässt

a

Wie lautet der Kontostand nach 1, 2, 5 bzw. 10 Jahren?

b

Wie lange müsste Hans warten, damit sich sein Anfangskapital von 500€ verdoppelt hat?

15

Bakterien vermehren sich durch Teilung, wobei sich eine Bakterienzelle durchschnittlich alle 10 Minuten teilt. Zum Zeitpunkt t=0 sei genau eine Bakterienzelle vorhanden.

a

Wie viele Bakterien sind dann nach 1 Stunde, 2 Stunden, 6 Stunden, 12 Stunden bzw. 24 Stunden vorhanden?

b

Finde eine Formel für die Anzahl N= N(t) der Bakterien nach der Zeit t.

c

Eine Bakterienzelle hat ein Volumen von ca. 21018  m32 \cdot 10^{-18}\;\mathrm m^3 . Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur ein Volumen von 1 m³ bzw. 1 km³ einnimmt? 

Beurteile dein Ergebnis kritisch.

16

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

allg. Formel             H0bx=HH_0\cdot b^x=H

Abnahmefaktor       b=0,83b=0{,}83

Anfangswert   H0=1H_0=1         (=100%)\left(=100\%\right)

Exponent= [x]\left[x\right] in Metern

[H]\left[H\right] in Prozent

a

Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

b

Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit H0{\mathrm H}_0 an der Wasseroberfläche.

c

In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als 0,01H00{,}01\cdot{\mathrm H}_0 ?

17

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa 400g radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine so genannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

Allg. Formel: M(0)bt=M(t)M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)

Anfangswert a = 400g400g =M(0)=M\left(0\right)

Zeit [t]\left[t\right] in Tagen

a

Wie kann man die Menge M=M(t)\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right) des radioaktiven Jod 131 als Funktion der Zeit t angeben?

b

Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge M0=400g{\mathrm M}_0=400\mathrm g war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

c

Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

18

Bierschaumzerfall

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

a

Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

b

Berechne, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist.

c

Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch 3 cm. Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

d

Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.


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