Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

In einem Dorf mit $800$ Einwohnern breitet sich eine Grippewelle aus. Die Grippewelle soll auf das Dorf beschränkt bleiben. Anfangs waren nur $20$ Personen infiziert. Nach einer Woche waren schon $140$ Personen an Grippe erkrankt.

Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Gegeben sind $B_0=20$ (Anfangswert der an Grippe Erkrankten) und die Schranke $S=800$ . Diese Werte werden in die Gleichung für die logistische Funktion eingesetzt:

$\displaystyle B\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$
	↓	Setze $B_0=20$ und $S=800$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+\left(\dfrac{800}{20}-1\right)\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+\left(40-1\right)\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$

Bisher gilt: $B\left(t\right)=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$

Die unbekannte Wachstumskonstante $k$ kann über die Aussage, dass nach $1$ Woche $140$ Personen an Grippe erkrankt sind, berechnet werden.

Setze $B\left(1\right)=140$ :

$\displaystyle B\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot t}}$
	↓	Setze $t=1$ und $B(1)=140$ ein.
$\displaystyle 140$	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot1}}$	$\displaystyle \cdot(1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot 1})$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle 140\cdot(1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot 1})$	$=$	$\displaystyle 800$	$\displaystyle :140$
$\displaystyle 1+39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{800}{140}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 1+39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{7}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{7}-1$
$\displaystyle 39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{7}-\dfrac{7}{7}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 39\cdot e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{33}{7}$	$\displaystyle :39$
$\displaystyle e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{33}{7\cdot39}$
	↓	Kürze und fasse zusammen.
$\displaystyle e^{-800\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{11}{91}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Löse die e-Funktion auf.
$\displaystyle -800\cdot k$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{11}{91}\right)$	$\displaystyle :(-800)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{11}{91}\right)}{(-800)}$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 0{,}00264$

Somit folgt: $B(t)=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-800\cdot0{,}00264\cdot t}}=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-2{,}113\cdot t}}$

Antwort: Die Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten lautet:

\displaystyle B(t)=\dfrac{800}{1+39\cdot e^{-2{,}113\cdot t}}

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Wie sieht der zugehörige Graph aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:
t (in Wochen)
B(t): Anzahl Infizierte
(gerundete Werte)
$0$
$20$
$1$
$140$
$2$
$509$
$3$
$748$
$4$
$793$
$5$
$799$
Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der an Grippe Erkrankten"
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t (in Wochen)	B(t): Anzahl Infizierte (gerundete Werte)
$0$	$20$
$1$	$140$
$2$	$509$
$3$	$748$
$4$	$793$
$5$	$799$