Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

In einem Dorf mit $800$ Einwohnern breitet sich eine Grippewelle aus. Die Grippewelle soll auf das Dorf beschränkt bleiben. Anfangs waren nur $20$ Personen infiziert. Nach einer Woche waren schon $140$ Personen an Grippe erkrankt.

Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten?

Wie sieht der zugehörige Graph aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:
t (in Wochen)
B(t): Anzahl Infizierte
(gerundete Werte)
$0$
$20$
$1$
$140$
$2$
$509$
$3$
$748$
$4$
$793$
$5$
$799$
Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der an Grippe Erkrankten"
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t (in Wochen)	B(t): Anzahl Infizierte (gerundete Werte)
$0$	$20$
$1$	$140$
$2$	$509$
$3$	$748$
$4$	$793$
$5$	$799$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$B (t)$	$=$	$\frac{S}{1 + (\frac{S}{B_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $B_{0} = 20$ und $S = 800$ ein.
	$=$	$\frac{800}{1 + (\frac{800}{20} - 1) \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{800}{1 + (40 - 1) \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{800}{1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$

$B (t)$	$=$	$\frac{800}{1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $t = 1$ und $B (1) = 140$ ein.
$140$	$=$	$\frac{800}{1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot 1}}$	$\cdot (1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot 1})$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$140 \cdot (1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k \cdot 1})$	$=$	$800$	$: 140$
$1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{800}{140}$
	↓	Kürze.
$1 + 39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{7}$	$- 1$
$39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{7} - 1$
$39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{40}{7} - \frac{7}{7}$
	↓	Fasse zusammen.
$39 \cdot e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{33}{7}$	$: 39$
$e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{33}{7 \cdot 39}$
	↓	Kürze und fasse zusammen.
$e^{- 800 \cdot k}$	$=$	$\frac{11}{91}$	$\ln$
	↓	Löse die e-Funktion auf.
$- 800 \cdot k$	$=$	$\ln (\frac{11}{91})$	$: (- 800)$
$k$	$=$	$\frac{\ln (\frac{11}{91})}{(- 800)}$
$k$	$\approx$	$0,00264$

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