Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

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Ein Kind hat bei seiner Geburt eine Größe von $53 cm$ . Nach $3,64$ Jahren ist das Kind $100 cm$ groß. Als Erwachsener ist seine Größe $170 cm$ .

Bestimme die logistische Wachstumsgleichung mit dem Ansatz:

$L (t) = \frac{S}{1 + (\frac{S}{L_{0}} - 1) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Alle Maße sind in $cm$ gegeben.

Aus der Aufgabenstellung folgt, dass $L_{0} = 53$ ist. Die Schranke $S$ ist hier $170$ .

$\Rightarrow L (t) = \frac{170}{1 + (\frac{170}{53} - 1) \cdot e^{- 170 \cdot k \cdot t}} = \frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 170 \cdot k \cdot t}}$

Der Parameter $k$ kann mit der Aussage, dass $L (3,64) = 100$ ist, berechnet werden.

$L (t)$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 170 \cdot k \cdot t}}$
	↓	Setze $L (3,64) = 100$ ein.
$100$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 170 \cdot k \cdot 3,64}}$
$100$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k})$
$100 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k})$	$=$	$170$	$: 100$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k}$	$=$	$1,7$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 618,8 \cdot k}$	$=$	$0,7$	$: 2,2075$
$e^{- 618,8 \cdot k}$	$=$	$\frac{0,7}{2,2075}$	$\ln$
$- 618,8 \cdot k$	$=$	$\ln (\frac{0,7}{2,2075})$	$: (- 618,8)$
$k$	$=$	$\frac{\ln (\frac{0,7}{2,2075})}{(- 618,8)}$
$k$	$\approx$	$0,001856$

Eingesetzt in: $L (t) = \frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 170 \cdot 0,001856 \cdot t}} = \frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$

Antwort: Die logistische Wachstumsgleichung lautet:

$L (t) = \frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$ , $L (t)$ in $cm$ und $t$ in Jahren.

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Wann hat das Kind eine Größe von $160 cm$ erreicht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Setze $L (t) = 160$ :

$160$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$160 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$	$=$	$170$	$: 160$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{17}{16}$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{17}{16} - 1$	$: 2,2075$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{\frac{1}{16}}{2,2075}$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{25}{883}$	$\ln$
$- 0,31552 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{25}{883})$	$: (- 0,31552)$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{25}{883})}{(- 0,31552)}$
$t$	$\approx$	$11,3$

Antwort: Nach rund $11,3$ Jahren hat das Kind eine Größe von $160 cm$ erreicht.

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In welchem Jahr ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Kindes am größten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Die Stelle des größten Wachstums ist der Wendepunkt der logistischen Wachstumsfunktion. Für ihn gilt: $W P (t_{w} | \frac{S}{2})$

$\frac{S}{2} = \frac{170}{2} = 85$

Setze $L (t) = 85$ :

$85$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$
$85 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$	$=$	$170$	$: 85$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{170}{85}$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$2 - 1$	$: 2,2075$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{1}{2,2075}$	$\ln$
$- 0,31552 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{1}{2,2075})$	$: (- 0,31552)$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{1}{2,2075})}{(- 0,31552)}$
$t$	$\approx$	$2,51$

Antwort: Nach etwa $2,5$ Jahren ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten.

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Das Wachstum gilt als abgeschlossen, wenn die jährliche Größenzunahme unter $1 cm$ liegt. Wann ist das hier der Fall?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Die maximal erreichbare Größe ist $170 cm$ . Die jährliche Größenzunahme soll unter $1 cm$ liegen, dann gilt das Wachstum abgeschlossen. Somit müssen mindestens $169 cm$ erreicht werden. Setze also $L (t) = 169$

$169$	$=$	$\frac{170}{1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}}$	$\cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$
$169 \cdot (1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t})$	$=$	$170$	$169$
$1 + 2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{170}{169}$	$- 1$
$2,2075 \cdot e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{170}{169} - 1$	$: 2,2075$
$e^{- 0,31552 \cdot t}$	$=$	$\frac{\frac{1}{169}}{2,2075}$	$\ln$
$- 0,31552 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{400}{149227})$	$: (- 0,31552)$
$t$	$=$	$\frac{\ln (\frac{400}{149227})}{(- 0,31552)}$
$t$	$\approx$	$18,77$

Antwort: Nach etwa $18,8$ Jahren gilt das Wachstum als abgeschlossen.

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Wie sieht der Graph der Wachstumsfunktion aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Die bisher berechneten Werte sind in der Wertetabelle zusammengefasst.
t (in Jahren)
L(t) in cm
$0$
$53$
$2,51$
$85$
$3,64$
$100$
$11,3$
$160$
$18,8$
$169$
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t (in Jahren)	L(t) in cm
$0$	$53$
$2,51$	$85$
$3,64$	$100$
$11,3$	$160$
$18,8$	$169$

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