Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Ein Kind hat bei seiner Geburt eine Größe von $53\;\mathrm{cm}$ . Nach $3{,}64$ Jahren ist das Kind $100\;\mathrm{cm}$ groß. Als Erwachsener ist seine Größe $170 \;\mathrm{cm}$ .

Bestimme die logistische Wachstumsgleichung mit dem Ansatz:

$L(t)=\dfrac{S}{1+\left(\frac{S}{L_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum

Alle Maße sind in $\mathrm{cm}$ gegeben.

Aus der Aufgabenstellung folgt, dass $L_0=53$ ist. Die Schranke $S$ ist hier $170$ .

$\;\Rightarrow\;L(t)=\dfrac{170}{1+\left(\dfrac{170}{53}-1\right)\cdot e^{-170\cdot k\cdot t}}=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot k\cdot t}}$

Der Parameter $k$ kann mit der Aussage, dass $L(3{,}64)=100$ ist, berechnet werden.

$\displaystyle L(t)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot k\cdot t}}$
	↓	Setze $L(3{,}64)=100$ ein.
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot k\cdot 3{,}64}}$
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k})$
$\displaystyle 100\cdot (1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle :100$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k}$	$=$	$\displaystyle 1{,}7$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-618{,}8\cdot k}$	$=$	$\displaystyle 0{,}7$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-618{,}8\cdot k}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}7}{2{,}2075}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -618{,}8\cdot k$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{0{,}7}{2{,}2075}\right)$	$\displaystyle :(-618{,}8)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{0{,}7}{2{,}2075}\right)}{(-618{,}8)}$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 0{,}001856$

Eingesetzt in: $L(t)=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-170\cdot 0{,}001856\cdot t}}=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$

Antwort: Die logistische Wachstumsgleichung lautet:

$L(t)=\dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$ , $L(t)$ in $\mathrm{cm}$ und $t$ in Jahren.

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Wann hat das Kind eine Größe von $160\;\mathrm{cm}$ erreicht?

In welchem Jahr ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Kindes am größten?

Das Wachstum gilt als abgeschlossen, wenn die jährliche Größenzunahme unter $1\;\mathrm{cm}$ liegt. Wann ist das hier der Fall?

Wie sieht der Graph der Wachstumsfunktion aus?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logistisches Wachstum
Die bisher berechneten Werte sind in der Wertetabelle zusammengefasst.
t (in Jahren)
L(t) in cm
$0$
$53$
$2{,}51$
$85$
$3{,}64$
$100$
$11{,}3$
$160$
$18{,}8$
$169$
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$\displaystyle 160$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle 160\cdot (1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle :160$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{17}{16}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{17}{16}-1$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{16}}{2{,}2075}$
$\displaystyle e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{25}{883}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -0{,}31552\cdot t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{25}{883}\right)$	$\displaystyle :(-0{,}31552)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{25}{883}\right)}{(-0{,}31552)}$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 11{,}3$

$\displaystyle 85$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$
$\displaystyle 85\cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle :85$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{85}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle 2-1$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2{,}2075}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -0{,}31552\cdot t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{2{,}2075}\right)$	$\displaystyle :(-0{,}31552)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{2{,}2075}\right)}{(-0{,}31552)}$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 2{,}51$

$\displaystyle 169$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}}$	$\displaystyle \cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$
$\displaystyle 169\cdot(1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t})$	$=$	$\displaystyle 170$	$\displaystyle 169$
$\displaystyle 1+2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{169}$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2{,}2075\cdot e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{170}{169}-1$	$\displaystyle :2{,}2075$
$\displaystyle e^{-0{,}31552\cdot t}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{169}}{2{,}2075}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -0{,}31552\cdot t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{400}{149227}\right)$	$\displaystyle :(-0{,}31552)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{400}{149227}\right)}{(-0{,}31552)}$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 18{,}77$

t (in Jahren)	L(t) in cm
$0$	$53$
$2{,}51$	$85$
$3{,}64$	$100$
$11{,}3$	$160$
$18{,}8$	$169$