Es handelt sich hier um exponentielle Abnahme. Dazu gehört die Bestandsgleichung ${\displaystyle B\left(t\right)=B_0\cdot a^t}\backslash displaystyle\; B\backslash left(t\backslash right)=B\_0\backslash cdot\; a^t$ (und ).

Bei dieser Aufgabe entspricht $B(t)B(t)$ dem Kapital $K(t)K(t)$ des Sparers.

Das Anfangskapital ist $K_0=20000K\_0=20000$ und die Änderungsrate ist $a=1-{\displaystyle \frac{7}{100}}=\mathrm{0,93}a=1-\; \backslash dfrac\{7\}\{100\}\; =0\{,\}93$ (Das Kapital nimmt pro Jahr um den Faktor $a=\mathrm{0,93}a=0\{,\}93$ ab.)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung ${\displaystyle K\left(t\right)=K_0\cdot a^t}\backslash displaystyle\; K\backslash left(t\backslash right)=K\_0\backslash cdot\; a^t$ folgt: ${\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^t}\backslash displaystyle\; K\backslash left(t\backslash right)=20000\backslash cdot\; 0\{,\}93^t$

Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: ${\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^t}\backslash displaystyle\; K\backslash left(t\backslash right)=20000\backslash cdot\; 0\{,\}93^t$

Setze $t=5t=5$ in die Funktionsgleichung ${\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^t}\backslash displaystyle\; K\backslash left(t\backslash right)=20000\backslash cdot\; 0\{,\}93^t$ ein:

${\displaystyle K\left(5\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^5\approx 13914}\backslash displaystyle\; K\backslash left(5\backslash right)=20000\backslash cdot\; 0\{,\}93^5\backslash approx13914$

Antwort: Nach $55$ Jahren hat das Vermögen des Sparers nur noch einen Wert von etwa $13914\text{€}13914\backslash ;€$.

Die Gleichung für die Halbwertszeit lautet: $T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{\ln (a)}}T\_\{1/2\}=\backslash dfrac\{\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\{\backslash ln(a)\}$

Setze $a=\mathrm{0,93}a=0\{,\}93$ ein:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{\ln (\mathrm{0,93})}}\approx \mathrm{9,55}T\_\{1/2\}=\backslash dfrac\{\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\{\backslash ln(0\{,\}93)\}\backslash approx\; 9\{,\}55$

Antwort: Nach etwa $\mathrm{9,55}9\{,\}55$ Jahren hat sich das Vermögen des Sparers halbiert.