Es handelt sich hier um exponentielle Abnahme. Dazu gehört die Bestandsgleichung $\displaystyle B\left(t\right)=B_0\cdot a^t$ (und $a<1$).

Bei dieser Aufgabe entspricht $B(t)$ dem Kapital $K(t)$ des Sparers.

Das Anfangskapital ist $K_0=20000$ und die Änderungsrate ist $a=1- \dfrac{7}{100} =0{,}93$ (Das Kapital nimmt pro Jahr um den Faktor $a=0{,}93$ ab.)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung $\displaystyle K\left(t\right)=K_0\cdot a^t$ folgt: $\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot 0{,}93^t$

Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot 0{,}93^t$

Setze $t=5$ in die Funktionsgleichung $\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot 0{,}93^t$ ein:

$\displaystyle K\left(5\right)=20000\cdot 0{,}93^5\approx13914$

Antwort: Nach $5$ Jahren hat das Vermögen des Sparers nur noch einen Wert von etwa $13914\;€$.

Die Gleichung für die Halbwertszeit lautet: $T_{1/2}=\dfrac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}$

Setze $a=0{,}93$ ein:

$T_{1/2}=\dfrac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0{,}93)}\approx 9{,}55$

Antwort: Nach etwa $9{,}55$ Jahren hat sich das Vermögen des Sparers halbiert.