Es handelt sich hier um exponentielle Abnahme. Dazu gehört die Bestandsgleichung $${\displaystyle B\left(t\right)=B_0\cdot a^t}$$ (und $a<1$).

Bei dieser Aufgabe entspricht $B(t)$ dem Kapital $K(t)$ des Sparers.

Das Anfangskapital ist $K_0=20000$ und die Änderungsrate ist $a=1-{\displaystyle \frac{7}{100}}=\mathrm{0,93}$ (Das Kapital nimmt pro Jahr um den Faktor $a=\mathrm{0,93}$ ab.)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung $${\displaystyle K\left(t\right)=K_0\cdot a^t}$$ folgt: $${\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^t}$$

Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $${\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^t}$$

Setze $t=5$ in die Funktionsgleichung $${\displaystyle K\left(t\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^t}$$ ein:

$${\displaystyle K\left(5\right)=20000\cdot {\mathrm{0,93}}^5\approx 13914}$$

Antwort: Nach $5$ Jahren hat das Vermögen des Sparers nur noch einen Wert von etwa $13914€$.

Die Gleichung für die Halbwertszeit lautet: $T_{1/2}={\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{\ln (a)}}$

Setze $a=\mathrm{0,93}$ ein:

$T_{1/2}={\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{\ln (\mathrm{0,93})}}\approx \mathrm{9,55}$

Antwort: Nach etwa $\mathrm{9,55}$ Jahren hat sich das Vermögen des Sparers halbiert.