Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Als Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.

Man betrachtet Halbwerts- und Verdopplungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit eine Konstante.

Im Bild links steht die $x$ -Achse für die Zeit $t$ und die $y$ -Achse für einen Wert $N (t)$ .

Es sind der Startpunkt ( $t = 0, N_{0} = 1$ ) und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat ( $t = T_{1 / 2}$ , $N (T_{1 / 2}) = 0,5$ ), markiert.

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Halbwertszeit

$N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ ist als Funktionsgleichung gegeben.

Nach der Halbwertszeit $T_{1 / 2}$ ist der Anfangswert $N_{0}$ auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:

T_{1 / 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (a)} = - \frac{\ln (2)}{\ln (a)}

Verdopplungszeit

Nach der Verdopplungszeit $T_{2}$ ist der Anfangswert $N_{0}$ auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:

T = \frac{\ln (2)}{\ln (a)}

Die Begründung erfolgt analog zu der Halbwertszeit mit dem Ansatz $N (T_{2}) = 2 \cdot N_{0}$ .

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei $e$ -Funktion

Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der $e$ -Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdopplungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen

$N (t) = N_{0} \cdot e^{λ \cdot t}$ bei exponentiellem Wachstum und

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ bei exponentiellem Zerfall.

Dabei gilt sowohl für die Verdopplungs- als auch für die Halbwertszeit:

T = \frac{\ln (2)}{λ}

Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.

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