🎓 Ui, schon PrĂŒfungszeit? Hier geht's zur Mathe-PrĂŒfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Exponentielles Wachstum

Bild

Exponentielles Wachstum (bzw. exponentieller Zerfall) beschreibt Änderungsprozesse, bei denen sich ein Wert in gleichen (zeitlichen) AbstĂ€nden immer um denselben Faktor Ă€ndert.

Exponentielles Wachstum kann mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden:

Dabei ist:

  • N(t):N(t): die Anzahl bzw. GrĂ¶ĂŸe von einem Wert NN nach der Zeit tt bzw. nach tt Schritten,

  • N0:    N_0:\;\; die Anzahl bzw. GrĂ¶ĂŸe von einem Wert NN zur Zeit t=0t=0 (oder vor dem ersten Schritt), also der Startwert,

  • a:  a:\quad\; den Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Es gilt a∈R+\{1},  aa\in\mathbb{R}^+\backslash\{1\},\;a ist also eine positive, reelle Zahl und ungleich 11.

Diese Wachstumsfunktion NN gehört zu der Familie der Exponentialfunktionen. Sie besitzt daher alle Eigenschaften, die eine allgemeine Exponentialfunktion hat.

EinfĂŒhrung zum exponentiellen Wachstum

Plötzlich bricht die Zombieapokalypse aus! Es beginnt mit einem einzigen Zombie, der pro Stunde zwei weitere Menschen infiziert. Jeder neue Zombie tut es ihm gleich.

1. Frage: Wie viele Menschen sind nach 5 Stunden bereits zu Zombies geworden?

Zombie 1

Zombie 2

Nach einer Stunde hat der erste Zombie zwei Menschen infiziert.

→\to Nach einer Stunde gibt es drei Zombies.

In der nĂ€chsten Stunde greift jeder der drei Zombies zwei weitere Menschen an. Insgesamt sind das 3⋅2=63\cdot2=6 weitere Menschen.

→\to Nach zwei Stunden gibt es neun Zombies.

Nach drei Stunden wird es folglich 9⋅2=189\cdot2=18 weitere Zombies und insgesamt 2727 Zombies geben.

Man erkennt, dass die Anzahlen (3, 9, 27) Dreierpotenzen sind. Es liegt daher nahe, dass die Funktionsgleichung N(t)=3tN(t)=3^t heißt, wobei NN die Anzahl der Zombies ist und tt in Stunden angegeben wird.

Das Ergebnis lautet also:

Innerhalb von 5 Stunden gibt es N(5)=35=243N(5)=3^5=243 Zombies.

2. Frage: Wie lange dauert es, bis ganz Europa (742,5 Millionen Menschen) zu Zombies wurde?

Um dies beantworten zu können, muss man Exponentialgleichungen mithilfe des Logarithmus lösen können.

Gesucht ist der Zeitpunkt tt, bei dem N(t)=742  500  000N(t)=742\; 500\; 000 gilt. Man setzt also den Funktionsterm gleich dem gegebenen N(t)N(t) und löst nach tt auf:

742  500  000=3t∣ln⁡()ln⁡(742  500  000)=ln⁡(3t)ln⁡(742  500  000)=t⋅ln⁡(3)∣:ln⁡(3)ln⁡(742  500  000)ln⁡(3)=t\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}742\;500\;000&=&3^t&|\ln()\\\ln(742\;500\;000)&=&\ln(3^t)\\\ln(742\;500\;000)&=&t\cdot\ln(3)&|:\ln(3)\\\frac{\ln(742\;500\;000)}{\ln(3)}&=&t\end{array}

Mit den Logarithmusregeln folgt damit:

Auf eine ganze Zahl gerundet, lautet das Ergebnis:

Ganz Europa ist bereits nach 19 Stunden zombifiziert.

Halbwerts- und Verdopplungszeit

Die Begriffe Halbwerts- und Verdopplungszeit tauchen bei sehr vielen VorgĂ€ngen auf. Bei radioaktiven Materialien interessiert man sich ganz hĂ€ufig fĂŒr deren Halbwertszeiten, bei Geldanlagen will man dagegen die Verdopplungszeit wissen.

Wie ihre Namen schon verraten, geben sie den Zeitpunkt TT an, zu dem sich ein Startwert (wie die Startmenge eines Stoffes) halbiert bzw. verdoppelt hat.

Bestimmung des Wachstums- bzw. Zerfallsfaktors

Beim exponentiellen Wachstum

Der Wachstumsfaktor ergibt sich aus der Änderungsrate pp (p>0p>0). Im EinfĂŒhrungsbeispiel war p=2p=2, da immer zwei neue Zombies dazukamen.

a=1+pa=1+p      (also ist  a>1a>1)

Damit wird die Formel fĂŒr das exponentielle Wachstum zu:

Beim exponentiellen Zerfall

Der Zerfallsfaktor ergibt sich aus der Änderungsrate pp. Man sagt Zerfallsfaktor und nicht Wachstumsfaktor, wenn 0<p<10<p<1.

a=1−pa=1-p     (also ist a<1a<1)

Damit wird die Formel fĂŒr den exponentiellen Zerfall zu:

Wachstumsgeschwindigkeit

Die Wachstumsgeschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit tt ist definiert als die Ableitung Nâ€Č(t)N'(t) zu dieser Zeit.

Die Ableitung der Wachstumsfunktion N(t)=N0⋅atN\left(t\right)=N_0\cdot a^t ist also:

Hier zeigt sich ein Vorteil der Beschreibung von Wachstumsprozessen mit der ee-Funktion. Denn damit lÀsst sich die Ableitung sehr leicht und schnell berechnen.

Mit der Zeit wird die Wachstumsgeschwindigkeit immer grĂ¶ĂŸer. Dies sieht man einmal am Graphen von monoton steigenden Exponentialfunktionen, der immer steiler wird. Man kann es sich auch mit Punktmengen veranschaulichen. Siehe dazu unten im Beispiel zum Bakterienwachstum.

Umgekehrt ist es bei Zerfallsprozessen. Die Zerfallsgeschwindigkeit ist zunÀchst sehr hoch und wird mit der Zeit schwÀcher.

Wichtige Beispiele

Bakterienwachstum

Ein Bakterium teilt sich nach jeder Stunde in zwei neue Bakterien. Jedes weitere Bakterium teilt sich auch wieder jede Stunde. Wie viele Bakterien sind es nach einem Tag?

N0=1N_0=1

p=1p=1

t1=24t_1=24

Man schreibt zunÀchst die gegebenen Werte auf. Gesucht ist N(t1)=N(24)N(t_1)=N(24).

Dann setzt man in die Funktionsgleichung ein und berechnet den Wert.

N(24)=1⋅(1+1)24=224=16  777  216\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}N(24)&=1\cdot(1+1)^{24}\\&=2^{24}=16\;777\;216\end{array}

Nach einem Tag sind es also 16  777  21616\;777\;216 Bakterien.

Graphische Veranschaulichung

Bakterienwachstum

Im nebenstehenden Bild wird die steigende Wachstumsgeschwindigkeit anhand der zu den Bakterien gehörenden Funktionsgleichung N(t)=2tN(t)=2^t verdeutlicht.

Zinseszinsrechnung

Man legt 500  €500\;€ bei einer jĂ€hrlichen Verzinsung von 3  %3\;\% an. Wie viel Geld hat man nach 55 Jahren?

N0=500  €N_0=500 \;€

p=3  %=0,03p=3\;\%=0{,}03

t1=5  Jahret_1=5 \;\mathrm{Jahre}

Man schreibt zunÀchst die gegebenen Werte auf. Gesucht ist N(t1)=N(5)N(t_1)=N(5).

Dann setzt man in die Funktionsgleichung ein und berechnet den Wert.

N(5)=500⋅(1+0,03)5=579,64\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}N(5)&=500\cdot(1+0{,}03)^5\\&=579{,}64\end{array}

Nach 55 Jahren hat man also 579,64  €579{,}64\;€.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Kurse


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?