Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum (bzw. exponentieller Zerfall) beschreibt Änderungsprozesse, bei denen sich ein Wert in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor ändert.

Exponentielles Wachstum kann mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden:

Dabei ist:

  • N(t):N(t): die Anzahl bzw. Größe von einem Wert NN nach der Zeit tt bzw. nach tt Schritten,

  • N0:    N_0:\;\; die Anzahl bzw. Größe von einem Wert NN zur Zeit t=0t=0 (oder vor dem ersten Schritt), also der Startwert,

  • a:  a:\quad\; den Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Es gilt aR+\{1},  aa\in\mathbb{R}^+\backslash\{1\},\;a ist also eine positive, reelle Zahl und ungleich 11.

Diese Wachstumsfunktion NN gehört zu der Familie der Exponentialfunktionen. Sie besitzt daher alle Eigenschaften, die eine allgemeine Exponentialfunktion hat.

Einführung zum exponentiellen Wachstum

Plötzlich bricht die Zombieapokalypse aus! Es beginnt mit einem einzigen Zombie, der pro Stunde zwei weitere Menschen infiziert. Jeder neue Zombie tut es ihm gleich.

1. Frage: Wie viele Menschen sind nach 5 Stunden bereits zu Zombies geworden?

Nach einer Stunde hat der erste Zombie zwei Menschen infiziert.

\to Nach einer Stunde gibt es drei Zombies.

In der nächsten Stunde greift jeder der drei Zombies zwei weitere Menschen an. Insgesamt sind das 32=63\cdot2=6 weitere Menschen.

\to Nach zwei Stunden gibt es neun Zombies.

Nach drei Stunden wird es folglich 92=189\cdot2=18 weitere Zombies und insgesamt 2727 Zombies geben.

Man erkennt, dass die Anzahlen (3, 9, 27) Dreierpotenzen sind. Es liegt daher nahe, dass die Funktionsgleichung N(t)=3tN(t)=3^t heißt, wobei NN die Anzahl der Zombies ist und tt in Stunden angegeben wird.

Das Ergebnis lautet also:

Innerhalb von 5 Stunden gibt es N(5)=35=243N(5)=3^5=243 Zombies.

2. Frage: Wie lange dauert es, bis ganz Europa (742,5 Millionen Menschen) zu Zombies wurde?

Um dies beantworten zu können, muss man Exponentialgleichungen mit Hilfe des Logarithmus lösen können.

Gesucht ist der Zeitpunkt tt, bei dem N(t)=742  500  000N(t)=742\; 500\; 000 gilt. Man setzt also den Funktionsterm gleich dem gegebenen N(t)N(t) und löst nach tt auf:

742  500  000=3tln()ln(742  500  000)=ln(3t)ln(742  500  000)=tln(3):ln(3)ln(742  500  000)ln(3)=t\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}742\;500\;000&=&3^t&|\ln()\\\ln(742\;500\;000)&=&\ln(3^t)\\\ln(742\;500\;000)&=&t\cdot\ln(3)&|:\ln(3)\\\frac{\ln(742\;500\;000)}{\ln(3)}&=&t\end{array}

\,

Mit den Logarithmusregeln folgt damit:

Auf eine ganze Zahl gerundet, lautet das Ergebnis:

Ganz Europa ist bereits nach 19 Stunden zombifiziert.

Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Die Begriffe Halbwerts- und Verdoppelungszeit tauchen bei sehr vielen Vorgängen auf. Bei radioaktiven Materialien interessiert man sich ganz häufig für deren Halbwertszeiten, bei Geldanlagen will man dagegen die Verdoppelungszeit wissen.

Wie ihre Namen schon verraten, geben sie den Zeitpunkt TT an, zu dem sich ein Startwert (wie die Startmenge eines Stoffes) halbiert bzw. verdoppelt hat.

Bestimmung des Wachstums- bzw. Zerfallsfaktors

Beim exponentiellen Wachstum

Der Wachstumsfaktor ergibt sich aus der Änderungsrate pp (p>0p>0). Im Einführungsbeispiel war p=2p=2, da immer zwei neue Zombies dazukamen.

a=1+pa=1+p      (also ist  a>1a>1)

Damit wird die Formel für das exponentielle Wachstum zu:

Beim exponentiellen Zerfall

Der Zerfallsfaktor ergibt sich aus der Änderungsrate pp. Man sagt Zerfallsfaktor und nicht Wachstumsfaktor, wenn 0<p<10<p<1.

a=1pa=1-p     (also ist a<1a<1)

Damit wird die Formel für den exponentiellen Zerfall zu:

Wachstumsgeschwindigkeit

Die Wachstumsgeschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit tt ist definiert als die Ableitung N(t)N'(t) zu dieser Zeit.

Die Ableitung der Wachstumsfunktion N(t)=N0atN\left(t\right)=N_0\cdot a^t ist also:

Hier zeigt sich ein Vorteil der Beschreibung von Wachstumsprozessen mit der ee-Funktion. Denn damit lässt sich die Ableitung sehr leicht und schnell berechnen.

Mit der Zeit wird die Wachstumsgeschwindigkeit immer größer. Dies sieht man einmal am Graphen von monoton steigenden Exponentialfunktionen, der immer steiler wird. Man kann es sich auch mit Punktmengen veranschaulichen. Siehe dazu unten im Beispiel zum Bakterienwachstum.

Umgekehrt ist es bei Zerfallsprozessen. Die Zerfallsgeschwindigkeit ist zunächst sehr hoch und wird mit der Zeit schwächer.

Wichtige Beispiele

Bakterienwachstum

Ein Bakterium teilt sich nach jeder Stunde in zwei neue Bakterien. Jedes weitere Bakterium teilt sich auch wieder jede Stunde. Wieviele Bakterien sind es nach einem Tag?

N0=1N_0=1

p=1p=1

t1=24t_1=24

Man schreibt zunächst die gegebenen Werte auf. Gesucht ist N(t1)=N(24)N(t_1)=N(24).

Dann setzt man in die Funktionsgleichung ein und berechnet den Wert.

N(24)=1(1+1)24=224=16  777  216\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}N(24)&=1\cdot(1+1)^{24}\\&=2^{24}=16\;777\;216\end{array}

Nach einem Tag sind es also 16  777  21616\;777\;216 Bakterien.

Graphische Veranschaulichung

Im nebenstehenden Bild wird die steigende Wachstumsgeschwindigkeit anhand der zu den Bakterien gehörenden Funktionsgleichung N(t)=2tN(t)=2^t verdeutlicht.

Zinseszinsrechnung

Man legt 500€ bei einer jährlichen Verzinsung von 3% an. Wieviel Geld hat man nach 5 Jahren?

N0=500  N_0=500 \;€

p=3%=0,03p=3\%= 0{,}03

t1=5  Jahret_1=5 \;\mathrm{Jahre}

Man schreibt zunächst die gegebenen Werte auf. Gesucht ist N(t1)=N(5)N(t_1)=N(5).

Dann setzt man in die Funktionsgleichung ein und berechnet den Wert.

N(5)=500(1+0,03)5=579,64\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}N(5)&=500\cdot(1+0{,}03)^5\\&=579{,}64\end{array}

Nach 5 Jahren hat man also 579,64579{,}64€.

Übungsaufgaben

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