Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Als Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.

Man betrachtet Halbwerts- und Verdopplungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit eine Konstante.

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Im Bild links steht die $x$ -Achse für die Zeit $t$ und die $y$ -Achse für einen Wert $N(t)$ .

Es sind der Startpunkt ( $t=0, N_0=1$ ) und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat ( $t=T_{1/2}$ , $N(T_{1/2})=0{,}5$ ), markiert.

Halbwertszeit

$N(t)=N_0\cdot a^t$ ist als Funktionsgleichung gegeben.

Nach der Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist der Anfangswert $N_0$ auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Verdopplungszeit

Nach der Verdopplungszeit $T_2$ ist der Anfangswert $N_0$ auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Die Begründung erfolgt analog zu der Halbwertszeit mit dem Ansatz $N(T_2)=2\cdot N_0$ .

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei $e$ -Funktion

Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der $e$ -Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdopplungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen

$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$ bei exponentiellem Wachstum und

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ bei exponentiellem Zerfall.

Dabei gilt sowohl für die Verdopplungs- als auch für die Halbwertszeit:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.

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