Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Als Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.

Man betrachtet Halbwerts- und Verdoppelungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit eine Konstante.

Im Bild links steht die xx-Achse für die Zeit tt und die yy-Achse für einen Wert N(t)N(t).

Es sind der Startpunkt (t=0,N0=1t=0, N_0=1) und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat (t=T1/2t=T_{1/2}, N(T1/2)=0,5N(T_{1/2})=0{,}5), markiert.

Halbwertszeit

N(t)=N0atN(t)=N_0\cdot a^t ist als Funktionsgleichung gegeben.

Nach der Halbwertszeit T1/2T_{1/2} ist der Anfangswert N0N_0 auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:

Begründung

Man notiert den Ansatz, dass sich der Anfangswert nach der Zeit T1/2T_{1/2} halbiert hat in Formelschreibweise:

Für N(T1/2)N(T_{1/2}) setzt man dann den Funktionsterm ein und löst nach T1/2T_{1/2} auf:

Man kann nun auf beiden Seiten durch den Anfangswert N0N_0 teilen.

Man wendet auf beiden Seiten den Logarithmus an. Es ist egal zu welcher Basis der Logarithmus gewählt wird. Man verwendet jedoch meist den natürlichen Logarithmus .

Mit Hilfe der Logarithmusregeln lässt sich T1/2T_{1/2} "nach vorne ziehen".

Nach T1/2T_{1/2} aufgelöst ergibt sich:

Verdoppelungszeit

Nach der Verdoppelungszeit T2T_2 ist der Anfangswert N0N_0 auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:

Begründung

Die Begründung erfolgt analog zu der der Halbwertszeit mit dem Ansatz N(T2)=2N0N(T_2)=2\cdot N_0.

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei ee-Funktion

Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der ee-Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdoppelungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen

N(t)=N0eλtN(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t} bei exponentiellem Wachstum und

N(t)=N0eλtN(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}bei exponentiellem Zerfall.

Dabei gilt sowohl für die Verdoppelungs- als auch für die Halbwertszeit:

Begründung

Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.


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