Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Als Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.

Man betrachtet Halbwerts- und Verdoppelungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit eine Konstante.

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Im Bild links steht die $x$ -Achse für die Zeit $t$ und die $y$ -Achse für einen Wert $N(t)$ .

Es sind der Startpunkt ( $t=0, N_0=1$ ) und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat ( $t=T_{1/2}$ , $N(T_{1/2})=0{,}5$ ), markiert.

Halbwertszeit

$N(t)=N_0\cdot a^t$ ist als Funktionsgleichung gegeben.

Nach der Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist der Anfangswert $N_0$ auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Begründung

Man notiert den Ansatz, dass sich der Anfangswert nach der Zeit $T_{1/2}$ halbiert hat in Formelschreibweise:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Für $N(T_{1/2})$ setzt man dann den Funktionsterm ein und löst nach $T_{1/2}$ auf:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Man kann nun auf beiden Seiten durch den Anfangswert $N_0$ teilen.

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Man wendet auf beiden Seiten den Logarithmus an. Es ist egal zu welcher Basis der Logarithmus gewählt wird. Man verwendet jedoch meist den natürlichen Logarithmus .

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Mit Hilfe der Logarithmusregeln lässt sich $T_{1/2}$ "nach vorne ziehen".

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Nach $T_{1/2}$ aufgelöst ergibt sich:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Verdoppelungszeit

Nach der Verdoppelungszeit $T_2$ ist der Anfangswert $N_0$ auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Begründung

Die Begründung erfolgt analog zu der der Halbwertszeit mit dem Ansatz $N(T_2)=2\cdot N_0$ .

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei $e$ -Funktion

Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der $e$ -Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdoppelungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen

$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$ bei exponentiellem Wachstum und

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ bei exponentiellem Zerfall.

Dabei gilt sowohl für die Verdoppelungs- als auch für die Halbwertszeit:

\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}

Begründung

Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.

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CC BY-SA 4.0. → Was bedeutet das?

Halbwerts- und Verdoppelungszeit

Halbwertszeit

Begründung

Verdoppelungszeit

Begründung

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei eee-Funktion

Begründung

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei $e$ -Funktion