Als Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.
Man betrachtet Halbwerts- und Verdoppelungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit eine Konstante.
Im Bild links steht die %%x%%-Achse für die Zeit %%t%% und die %%y%%-Achse für einen Wert %%N(t)%%.
Es sind der Startpunkt (%%t=0, N_0=1%%) und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat (%%t=T_{1/2}%%, %%N(T_{1/2})=0,5%%), markiert.
Halbwertszeit
%%N(t)=N_0\cdot a^t%% ist als Funktionsgleichung gegeben.
Nach der Halbwertszeit %%T_{1/2}%% ist der Anfangswert %%N_0%% auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:
$$T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$
Begründung
Man notiert den Ansatz, dass sich der Anfangswert nach der Zeit %%T_{1/2}%% halbiert hat in Formelschreibweise:
%%N(T_{1/2})=\frac12\cdot N_0%%
Für %%N(T_{1/2})%% setzt man dann den Funktionsterm ein und löst nach %%T_{1/2}%% auf:
%%N_0\cdot a^{T_{1/2}}=\frac12\cdot N_0%%
Man kann nun auf beiden Seiten durch den Anfangswert %%N_0%% teilen.
%%a^{T_{1/2}}=\frac12%%
Man wendet auf beiden Seiten den Logarithmus an. Es ist egal zu welcher Basis der Logarithmus gewählt wird. Man verwendet jedoch meist den natürlichen Logarithmus .
%%\ln\left(a^{T_{1/2}}\right)=\ln\left(\frac12\right)%%
Mit Hilfe der Logarithmusregeln lässt sich %%T_{1/2}%% "nach vorne ziehen".
%%T_{1/2}\cdot\ln(a)=\ln\left(\frac12\right)%%
Nach %%T_{1/2}%% aufgelöst ergibt sich:
$$T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac12\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$
Verdoppelungszeit
Nach der Verdoppelungszeit %%T_2%% ist der Anfangswert %%N_0%% auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:
$$T=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$
Begründung
Die Begründung erfolgt analog zu der der Halbwertszeit mit dem Ansatz %%N(T_2)=2\cdot N_0%%.
Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei %%e%%-Funktion
Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der %%e%%-Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdoppelungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen
%%N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}%% bei exponentiellem Wachstum und
%%N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}%%bei exponentiellem Zerfall.
Dabei gilt sowohl für die Verdoppelungs- als auch für die Halbwertszeit:
$$T=\frac{\ln(2)}{\lambda}$$
Begründung
Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.
