Wachstums- und Zerfallprozesse mit e-Funktion

Exponentielles Wachstum wird in der Praxis häufig mit der $e$ -Funktion modelliert, da man damit leichter rechnen kann (v.a. Ableitung und Integral).

Aus der Beziehung $a^{x} = e^{\ln (a) \cdot x}$ und der Funktionsgleichung $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ folgt für die Darstellung exponentiellen Wachstums zur Basis $e$ :

N (t) = N_{0} \cdot e^{λ \cdot t}

Darstellung

N (t) = N_{0} \cdot e^{λ \cdot t}

Dabei sind:

$N (t)$ : die Anzahl oder Größe eines Wertes nach der Zeit $t$ ,
$N_{0}$ : die Anzahl oder Größe des Wertes nach der Zeit $0$ , also der Startwert,
$λ = \ln (a)$ : die Wachstums- oder Zerfallskonstante,
$e$ : die Eulersche Zahl.

Für $λ$ gilt:

Wachstumsprozesse: $a > 1$ $\Rightarrow$ $λ > 0$
Zerfallsprozesse: $a < 1 \Rightarrow λ < 0$

Konvention

Oft wird die Wachstums- und die Zerfallskonstante $λ$ immer positiv gewählt. Also hat man auch bei Zerfallsprozessen eine positive Zerfallskonstante; die Formel muss dann natürlich um ein Minuszeichen ergänzt werden: $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ .

Diese Konvention hat vor allem Vorteile bei der Berechnung der Halbwerts- und Verdopplungszeit.

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