Lineares Wachstum

Lineares Wachstum bzw. linearer Zerfall liegt dann vor, wenn die Änderung eines Wertes $N$ , bei gleicher zeitlicher Änderung, konstant ist.

Anders gesagt: Die Ausgangsmenge verändert sich in gleichen Zeitabständen um die immer gleiche Menge. Die lineare Wachstumsfunktion ist eine Geradengleichung:

$\begin{array}{l} N (t) = a \cdot t + N_{0} \end{array}$

Dabei ist:

$N (t)$ : die Anzahl bzw. Größe von $N$ nach der Zeit $t$ ,
$a$ : die Änderungsrate,
$N_{0}$ : die Anzahl bzw. Größe von $N$ nach der Zeit $0$ , also der Startwert.

Eigenschaften

Die Wachstumsgeschwindigkeit bzw. Änderungsrate $a$ ist bei linearem Wachstum bzw. Zerfall konstant: $a \in ℝ$ .
Sie entspricht der Steigung des Graphen der linearen Wachstumsfunktion.
Monotonie: Ist $a > 0$ , spricht man von linearem Wachstum. Die Funktion ist dann streng monoton steigend.
Ist $a < 0$ , beschreibt die Funktion linearen Zerfall. Die Funktion ist dann streng monoton fallend.

Der Graph einer linearen Wachstumsfunktion

Wie bei linearen Funktionen wird die Änderungsrate $a$ mit Hilfe eines Steigungsdreiecks berechnet.

$Δ N (t)$ bezeichnet die Differenz der Werte von $N$ zu zwei Zeitpunkten.

Im Graphen links:

Δ N (t) = N (5) - N (0)

$Δ t$ steht für die Zeitspanne, in der man $N$ beobachtet. Hier:

Δ t = 5 - 0 = 5

Beispiel

Ein Baum wird in den Garten gepflanzt. Zu diesem Zeitpunkt ragt er um $1 m$ aus dem Boden heraus. Nach wie vielen Jahren ist der Baum $5 m$ hoch, wenn er durchschnittlich im Jahr um $10 cm$ wächst?

Lösung:

Als Erstes schreibt man sich die gegebenen und gesuchten Werte aus der Angabe heraus.

Gesucht ist der Zeitpunkt $t$ , zu dem der Baum die Größe $5 m$ erreicht hat.

Gegeben ist die Größe des Baumes zu Beginn (= Startwert $N_{0}$ ), seine Wachstumsgeschwindigkeit (= Änderungsrate $a$ ) und seine nach $t$ Jahren erreichte Größe (= $N (t)$ )

(Bemerkung: $t$ wird in Jahren angegeben, $N$ gibt die Größe des Baumes in Meter an.

Der Baum wächst $10 cm$ pro Jahr, daher ist die Einheit von $a : \frac{cm}{Jahr}$ .)

$N_{0} = 1 m$

$a = 10 \frac{cm}{Jahr} = 0,1 \frac{m}{Jahr}$

$N (t) = 5 m$

Nun setzt man die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung $N (t) = a \cdot t + N_{0}$ ein und löst die Gleichung nach dem gesuchten $t$ auf.

\begin{array}{rcll} 5 m & = & 0,1 \frac{m}{Jahr} \cdot t + 1 m & | - 1 m \\ 4 m & = & 0,1 \frac{m}{Jahr} \cdot t & | : 0,1 \frac{m}{Jahr} \\ \frac{4 m}{0,1 \frac{m}{Jahr}} & = & t \\ 40 J a h r (e) & = & t \end{array}

Antwort: Nach $40$ Jahren ist der Baum $5 m$ hoch.

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