Lineares Wachstum

Lineares Wachstum bzw. linearer Zerfall liegt dann vor, wenn die Änderung eines Wertes $N$ , bei gleicher zeitlicher Änderung, konstant ist.

Anders gesagt: Die Ausgangsmenge verändert sich in gleichen Zeitabständen um die immer gleiche Menge. Die lineare Wachstumsfunktion ist eine Geradengleichung:

$N(t)=a\cdot t+N_0\\$

Dabei ist:

$N\left(t\right)\;$ : die Anzahl bzw. Größe von $N$ nach der Zeit $t$ ,
$a$ : die Änderungsrate,
$N_{0}$ : die Anzahl bzw. Größe von $N$ nach der Zeit $0$ , also der Startwert.

Eigenschaften

Die Wachstumsgeschwindigkeit bzw. Änderungsrate $a$ ist bei linearem Wachstum bzw. Zerfall konstant: $a\in\mathbb{R}$ .
Sie entspricht der Steigung des Graphen der linearen Wachstumsfunktion.
Monotonie: Ist $a > 0$ , spricht man von linearem Wachstum. Die Funktion ist dann streng monoton steigend.
Ist $a < 0$ , beschreibt die Funktion linearen Zerfall. Die Funktion ist dann streng monoton fallend.

Der Graph einer linearen Wachstumsfunktion

Wie bei linearen Funktionen wird die Änderungsrate $a$ mit Hilfe eines Steigungsdreiecks berechnet.

$\Delta N(t)$ bezeichnet die Differenz der Werte von $N$ zu zwei Zeitpunkten.

Im Graphen links:

\displaystyle \Delta N(t)=N(5)-N(0)

$\Delta t$ steht für die Zeitspanne, in der man $N$ beobachtet. Hier:

\displaystyle \Delta t=5-0=5

Beispiel

Ein Baum wird in den Garten gepflanzt. Zu diesem Zeitpunkt ragt er um $1\;\text{m}$ aus dem Boden heraus. Nach wie vielen Jahren ist der Baum $5\;\text{m}$ hoch, wenn er durchschnittlich im Jahr um $10\;\text{cm}$ wächst?

Lösung:

Als Erstes schreibt man sich die gegebenen und gesuchten Werte aus der Angabe heraus.

Gesucht ist der Zeitpunkt $t$ , zu dem der Baum die Größe $5\;\text{m}$ erreicht hat.

Gegeben ist die Größe des Baumes zu Beginn (= Startwert $N_{0}$ ), seine Wachstumsgeschwindigkeit (= Änderungsrate $a$ ) und seine nach $t$ Jahren erreichte Größe (= $N (t)$ )

(Bemerkung: $t$ wird in Jahren angegeben, $N$ gibt die Größe des Baumes in Meter an.

Der Baum wächst $10\;\text{cm}$ pro Jahr, daher ist die Einheit von $a:\;\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}$ .)

$N_0=1\;\text{m}$

$a=10\;\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}=0{,}1\;\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}$

$N\left(t\right)=5\;\text{m}$

Nun setzt man die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung $N(t)=a\cdot t+N_0$ ein und löst die Gleichung nach dem gesuchten $t$ auf.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}5\;\text{m}&=&0{,}1\;\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\cdot t+1\;\text{m}&|-1\;\text{m}\\4\;\text{m}&=&0{,}1\;\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\cdot t&|:0{,}1\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\\\frac{4\;\text{m}}{0{,}1\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}}&=&t\\40 \;\mathrm {Jahr(e)}&=&t\end{array}

Antwort: Nach $40$ Jahren ist der Baum $5\;\text{m}$ hoch.

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