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Lineares Wachstum

Lineares Wachstum bzw. linearer Zerfall liegt dann vor, wenn die Änderung eines Wertes NN, bei gleicher zeitlicher Änderung, konstant ist.

Anders gesagt: Die Ausgangsmenge verändert sich in gleichen Zeitabständen um die immer gleiche Menge. Die lineare Wachstumsfunktion ist eine Geradengleichung:

 

N(t)=at+N0N(t)=a\cdot t+N_0\\

Dabei ist:

  • N(t)  N\left(t\right)\; : die Anzahl bzw. Größe von NN nach der Zeit tt,

  • aa         : die Änderungsrate,

  • N0N_0     : die Anzahl bzw. Größe von NN nach der Zeit 00, also der Startwert.

Eigenschaften

  • Die Wachstumsgeschwindigkeit bzw. Änderungsrate aa ist bei linearem Wachstum bzw. Zerfall konstant: aRa\in\mathbb{R}.

  • Sie entspricht der Steigung des Graphen der linearen Wachstumsfunktion.

  • Monotonie: Ist a>0a>0, spricht man von linearem Wachstum. Die Funktion ist dann streng monoton steigend.

  • Ist a<0a<0, beschreibt die Funktion linearen Zerfall. Die Funktion ist dann streng monoton fallend.

Der Graph einer linearen Wachstumsfunktion

Wie bei linearen Funktionen wird die Änderungsrate aa mit Hilfe eines Steigungsdreiecks berechnet.

Steigungsdreieck bei linearem Wachstum

ΔN(t)\Delta N(t) bezeichnet die Differenz der Werte von NN zu zwei Zeitpunkten.

Im Graphen links:

Δt\Delta t steht für die Zeitspanne, in der man NN beobachtet. Hier:

Beispiel

Ein Baum wird in den Garten gepflanzt. Zu diesem Zeitpunkt ragt er um 1  m1\;\text{m} aus dem Boden heraus. Nach wie vielen Jahren ist der Baum 5  m5\;\text{m} hoch, wenn er durchschnittlich im Jahr um 10  cm10\;\text{cm} wächst?

Lösung:

Als Erstes schreibt man sich die gegebenen und gesuchten Werte aus der Angabe heraus.

Gesucht ist der Zeitpunkt tt, zu dem der Baum die Größe 5  m5\;\text{m} erreicht hat.

Gegeben ist die Größe des Baumes zu Beginn (= Startwert N0N_0), seine Wachstumsgeschwindigkeit (= Änderungsrate aa) und seine nach tt Jahren erreichte Größe (= N(t)N(t))

(Bemerkung: tt wird in Jahren angegeben, NN gibt die Größe des Baumes in Meter an.

Der Baum wächst 10  cm10\;\text{cm} pro Jahr, daher ist die Einheit von a:  cmJahra:\;\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}.)

N0=1  mN_0=1\;\text{m}

a=10  cmJahr=0,1  mJahra=10\;\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}=0{,}1\;\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}

N(t)=5  mN\left(t\right)=5\;\text{m}

Nun setzt man die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung N(t)=at+N0N(t)=a\cdot t+N_0 ein und löst die Gleichung nach dem gesuchten tt auf.

Antwort: Nach 4040 Jahren ist der Baum 5  m5\;\text{m} hoch.

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