allg. Formel

$a\cdot b^t=y$

Wachstumsfaktor $b$

Anfangswert $a=1$

Zeit $t$ in Minuten

Anzahl der Bakterien $y$

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Gegeben:

Die Bakterien teilen sich alle 10 Minuten, das heißt ihre Anzahl verdoppelt sich alle 10 Minuten:

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

$\Rightarrow 1{,}072^t=y$

Für $t=60\ \min$ (entspricht einer Stunde)

$1{,}072^{60}\approx 64$

Für $t=120\ \min$ (entspricht zweiStunde)

$1{,}072^{120}\approx 4201$

Für $t=360\ \min$ (entspricht sechs Stunden)

$1{,}072^{360}\approx 74151975970$

Für $t=720\ \min$ (entspricht zwölf Stunden)

$1{,}072^{12\cdot 60}\approx 5498515541\cdot 10^{12}$

Für $t=1440\ \min$ (entspricht 24 Stunden)

$1{,}072^{24\cdot 60}\approx 3023367315\cdot 10^{34}$

$1\cdot 1{,}072^t=N\left(t\right)$

Siehe 1. Teilaufgabe.

1. Volumen

Formel:

$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1\,m^3$

$1{,}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1m^3$ gleichgesetzt.

$1{,}072^t=5\cdot 10^{17}$

Logarithmiere.

$\log _{1{,}072}\left(5\cdot 10^{17}\right)\approx 586{,}16$

Rechne $586{,}16$ Minuten in Stunden um.

⇒ Es dauert ca. 9,77 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1m^3$ erreicht hat.

2. Volumen

$2\cdot10^{-18}\,m^3\cdot1{,}072^t=1000000000\,m^3$

$1{,}072^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1000000000\,m^3$ gleichgesetzt.

$1{,}072^t=5\cdot 10^{26}$

Logarithmiere.

$\log _{1{,}072}\left(5\cdot 10^{26}\right)=884{,}22$

⇒ Es dauert ca. 14,74 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1000000000\,m^3$ erreicht hat.

Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von $1 \, km^3$ hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf $1 \, m^3$ anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa $13$ Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.