$N(t)=N_0\cdot e^{k\cdot t}$ mit $t$ in Jahren ab dem Jahr 2022

$N(0)=N_0=80000$

Nach einem Jahr hat die Einwohnerzahl um $4\;\%$ zugenommen.

$k=\ln(a)$ und $a=1+\dfrac{4}{100}=1{,}04$$\;\Rightarrow\;k=\ln(1{,}04)\approx0{,}0392$

Antwort: Die Wachstumsfunktion lautet $N(t)=80000\cdot e^{0{,}0392\cdot t}$ ($t$ in Jahren ab 2022).

Setze $t=15$ in $N(t)=80000\cdot e^{0{,}0392\cdot t}$ ein:

$N(15)=80000\cdot e^{0{,}0392\cdot15}\approx144030$

Antwort: Nach $t=15$ Jahren beträgt die Einwohnerzahl etwa $144030$.

Für die Verdopplungszeit gilt die Formel: $T_{2}=\dfrac{\ln(2)}{k}$

Setze $k=\ln(a)$ mit $a=1{,}04$ ein: $\;\Rightarrow\;$$T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)}\approx17{,}7$

Antwort: Nach rund $17{,}7$ Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.

Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist die erste Ableitung $N{}'(t)$ der Wachstumsfunktion.

$N{}'(t)=k\cdot N_0\cdot e^{k\cdot t}=0{,}0392\cdot 80000\cdot e^{0{,}0392\cdot t}=3136\cdot e^{0{,}0392\cdot t}$

Soll die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat betragen, dann gilt für das ganze Jahr: $12\cdot 400=4800$

$\;\Rightarrow\;N{}'(t)=3136\cdot e^{0{,}0392\cdot t}=4800$

Antwort: Rund $10{,}9$ Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat.