$N(t)=N_0\cdot e^{k\cdot t}N(t)=N\_0\backslash cdot\; e^\{k\backslash cdot\; t\}$ mit $tt$ in Jahren ab dem Jahr 2022

$N(0)=N_0=80000N(0)=N\_0=80000$

Nach einem Jahr hat die Einwohnerzahl um $4\mathrm{\%}4\backslash ;\backslash \%$ zugenommen.

$k=\ln (a)k=\backslash ln(a)$ und $a=1+{\displaystyle \frac{4}{100}}=\mathrm{1,04}a=1+\backslash dfrac\{4\}\{100\}=1\{,\}04$$\Rightarrow k=\ln (\mathrm{1,04})\approx \mathrm{0,0392}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;k=\backslash ln(1\{,\}04)\backslash approx0\{,\}0392$

Antwort: Die Wachstumsfunktion lautet $N(t)=80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}N(t)=80000\backslash cdot\; e^\{0\{,\}0392\backslash cdot\; t\}$ ($tt$ in Jahren ab 2022).

Setze $t=15t=15$ in $N(t)=80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}N(t)=80000\backslash cdot\; e^\{0\{,\}0392\backslash cdot\; t\}$ ein:

$N(15)=80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot 15}\approx 144030N(15)=80000\backslash cdot\; e^\{0\{,\}0392\backslash cdot15\}\backslash approx144030$

Antwort: Nach $t=15t=15$ Jahren beträgt die Einwohnerzahl etwa $144030144030$.

Für die Verdopplungszeit gilt die Formel: $T_2={\displaystyle \frac{\ln (2)}{k}}T\_\{2\}=\backslash dfrac\{\backslash ln(2)\}\{k\}$

Setze $k=\ln (a)k=\backslash ln(a)$ mit $a=\mathrm{1,04}a=1\{,\}04$ ein: $\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (\mathrm{1,04})}\approx \mathrm{17,7}T\_2=\backslash frac\{\backslash ln(2)\}\{\backslash ln(1\{,\}04)\}\backslash approx17\{,\}7$

Antwort: Nach rund $\mathrm{17,7}17\{,\}7$ Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.

Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist die erste Ableitung $N{}^{\mathrm{\prime }}(t)N\{\}\text{'}(t)$ der Wachstumsfunktion.

$N{}^{\mathrm{\prime }}(t)=k\cdot N_0\cdot e^{k\cdot t}=\mathrm{0,0392}\cdot 80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}=3136\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}N\{\}\text{'}(t)=k\backslash cdot\; N\_0\backslash cdot\; e^\{k\backslash cdot\; t\}=0\{,\}0392\backslash cdot\; 80000\backslash cdot\; e^\{0\{,\}0392\backslash cdot\; t\}=3136\backslash cdot\; e^\{0\{,\}0392\backslash cdot\; t\}$

Soll die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat betragen, dann gilt für das ganze Jahr: $12\cdot 400=480012\backslash cdot\; 400=4800$

$\Rightarrow N{}^{\mathrm{\prime }}(t)=3136\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}=4800\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;N\{\}\text{'}(t)=3136\backslash cdot\; e^\{0\{,\}0392\backslash cdot\; t\}=4800$

Antwort: Rund $\mathrm{10,9}10\{,\}9$ Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat.