$N(t)=N_0\cdot e^{k\cdot t}$ mit $t$ in Jahren ab dem Jahr 2022

$N(0)=N_0=80000$

Nach einem Jahr hat die Einwohnerzahl um $4\%$ zugenommen.

$k=\ln (a)$ und $a=1+{\displaystyle \frac{4}{100}}=\mathrm{1,04}$$\Rightarrow k=\ln (\mathrm{1,04})\approx \mathrm{0,0392}$

Antwort: Die Wachstumsfunktion lautet $N(t)=80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}$ ($t$ in Jahren ab 2022).

Setze $t=15$ in $N(t)=80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}$ ein:

$N(15)=80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot 15}\approx 144030$

Antwort: Nach $t=15$ Jahren beträgt die Einwohnerzahl etwa $144030$.

Für die Verdopplungszeit gilt die Formel: $T_2={\displaystyle \frac{\ln (2)}{k}}$

Setze $k=\ln (a)$ mit $a=\mathrm{1,04}$ ein: $\Rightarrow$$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (\mathrm{1,04})}\approx \mathrm{17,7}$

Antwort: Nach rund $\mathrm{17,7}$ Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.

Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist die erste Ableitung $N{}^{\prime }(t)$ der Wachstumsfunktion.

$N{}^{\prime }(t)=k\cdot N_0\cdot e^{k\cdot t}=\mathrm{0,0392}\cdot 80000\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}=3136\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}$

Soll die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat betragen, dann gilt für das ganze Jahr: $12\cdot 400=4800$

$\Rightarrow N{}^{\prime }(t)=3136\cdot e^{\mathrm{0,0392}\cdot t}=4800$

Antwort: Rund $\mathrm{10,9}$ Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit etwa 400 Einwohner pro Monat.