Wertetabelle

Funktion: $B(t)=100-90\cdot e^{-t}$

Anfangswert des Bestandes

Der Anfangswert des Bestandes ist der Bestand zur Zeit $t=0$.

Der Funktionswert für $t=0$ wurde schon in Aufgabe $a$) berechnet: $B(0)=10$.

Bestand nach 3 Jahren

Setze $t=3$ die Wachstumsfunktion ein:

Nach $3$ Jahren ist der Bestand auf rund $96$ Individuen angewachsen.

Die allgemeine Wachstumsfunktion für beschränktes exponentielles Wachstum lautet: $B(t)= S-(S-B_0)\cdot e^{-k\cdot t}$

Gegeben ist die Wachstumsfunktion $B(t)=100-90\cdot e^{-t}$. Die Schranke $S$ kann direkt abgelesen werden: $S=100$

Alternativ kann der Grenzwert von $B(t)$ für $t\rightarrow +\infty$ berechnet werden:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}B(t)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}100-\underbrace{90\cdot e^{-t}}_{\rightarrow 0}=100$

Der Bestand nähert sich für $t\rightarrow +\infty$ der Grenze $S=100$.

$80\;\%$ von $S=100$ sind $80$.

Setze $B(t)= 80$.

Nach etwa $1{,}5$ Jahren ist der aktuelle Bestand auf $80\;\%$ von $S=100$ angewachsen.