Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Eine Kerze ist anfangs $18 cm$ lang. Beim Abbrennen wird sie stündlich um $1,5 cm$ kürzer.

Zeichne den Graphen der Funktion:
Brenndauer $t$ (in Stunden) $⟼$ Länge der Kerze $L$ (Länge in $cm$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Graph der Funktion:
Zum Zeichnen benötigt man $2$ Punkte auf dem Graphen.
Für $t = 0$ ist $L (0) = 18 cm \Rightarrow P (0 | 18)$
Nach $10$ Stunden ist die Kerze um
1 $, 5 \cdot 10 = 15 cm$ kürzer geworden.
Sie hat nun eine Länge von:
$18 cm - 15 cm = 3 cm \Rightarrow Q (10 | 3)$ .
Zeichne die beiden Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
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Notiere die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Es handelt sich hier um lineares, negatives Wachstum. Dazu gehört die Bestandsgleichung $B (t) = k \cdot t + B_{0} $ (und $k < 0$ ).
Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ der Länge $L (t)$ der Kerze. Die Änderungsrate ist $k = - 1,5$ (Die Kerze wird pro Stunde um $1,5 cm$ kürzer.) und die Anfangslänge ist $L_{0} = 18 cm$ .
Eingesetzt in die Funktionsgleichung $L (t) = k \cdot t + L_{0} $ folgt:
$L (t) = - 1,5 \cdot t + 18$
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Wie lang ist die Kerze nach 3 Stunden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Setze $t = 3$ in die Funktionsgleichung ein:
$L (t)$ $=$ $- 1,5 \cdot t + 18$
↓
Setze $t = 3$ ein.
$=$ $- 1,5 \cdot 3 + 18$
$=$ $- 4,5 + 18$
$=$ $13,5$
Antwort: Nach $3$ Stunden ist die Kerze noch $13,5 cm$ lang.
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Wann ist die Kerze abgebrannt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Die Kerze ist abgebrannt, wenn $L (t) = 0$ ist.
$0$ $=$ $- 1,5 \cdot t + 18$ $+ 1,5 \cdot t$
$1,5 \cdot t$ $=$ $18$ $: 1,5$
$t$ $=$ $\frac{18}{1,5}$
$t$ $=$ $12$
Antwort: Nach $12$ Stunden ist die Kerze abgebrannt.
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$L (t)$	$=$	$- 1,5 \cdot t + 18$
	↓	Setze $t = 3$ ein.
	$=$	$- 1,5 \cdot 3 + 18$
	$=$	$- 4,5 + 18$
	$=$	$13,5$

$0$	$=$	$- 1,5 \cdot t + 18$	$+ 1,5 \cdot t$
$1,5 \cdot t$	$=$	$18$	$: 1,5$
$t$	$=$	$\frac{18}{1,5}$
$t$	$=$	$12$

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