Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Beim Servieren von frisch gebrühtem Espresso hat dieser eine Temperatur von $74^{\circ}$ C.

Nach $6 min$ hat der Espresso nur noch eine Temperatur von $50^{\circ}$ C. Die Zimmertemperatur beträgt $21^{\circ}$ C.

Stelle die Gleichung für die beschränkte exponentielle Abnahme der Espressotemperatur auf.

Es handelt sich hier um beschränkte, exponentielle Abnahme.
Dazu gehört die Bestandsgleichung $B (t) = S + (B_{0} - S) \cdot e^{- k t}$ .
Bei dieser Aufgabe entspricht $B (t)$ der Temperatur $T (t)$ des Espressos und $t$ ist die Zeit in Minuten.
Die untere Schranke $S$ ist die Zimmertemperatur von $21^{\circ}$ C. Die Anfangstemperatur ist $T_{0} = 74^{\circ}$ C. Somit ergibt sich folgende Gleichung für die Temperaturabnahme:
$T (t) = 21 + (74 - 21) \cdot e^{- k t} = 21 + 53 \cdot e^{- k t}$ .
Die Wachstumskonstante $k$ kann über die Angabe $T (6) = 50$ berechnet werden:
$T (t)$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- k \cdot t}$
↓
Setze $T (6) = 50$ ein.
$50$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- k \cdot 6}$ $- 21$
$29$ $=$ $53 \cdot e^{- k \cdot 6}$ $: 53$
$\frac{29}{53}$ $=$ $e^{- k \cdot 6}$ $\ln$
$\ln (\frac{29}{53})$ $=$ $- k \cdot 6$ $: (- 6)$
$\frac{\ln (\frac{29}{53})}{(- 6)}$ $=$ $k$
$k$ $\approx$ $0,1$
Antwort: Die Gleichung für die beschränkte Temperaturabnahme lautet:
$T (t) = 21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ , $T (t)$ in $^{\circ}$ C und $t$ in Minuten.
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Wie lange dauert es, bis die Espressotemperatur $40^{\circ}$ C beträgt?

Setze $T (t) = 40$ :
$T (t)$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$
↓
Setze $T (t) = 40$ .
$40$ $=$ $21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ $- 21$
$19$ $=$ $53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ $: 53$
$\frac{19}{53}$ $=$ $e^{- 0,1 \cdot t}$ $\ln$
$\ln (\frac{19}{53})$ $=$ $- 0,1 \cdot t$ $: (- 0,1)$
$\frac{\ln (\frac{19}{53})}{(- 0,1)}$ $=$ $t$
$t$ $\approx$ $10,3$
Antwort: Nach etwa $10,3$ Minuten beträgt die Espressotemperatur $40^{\circ}$ C.
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$T (t)$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- k \cdot t}$
	↓	Setze $T (6) = 50$ ein.
$50$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- k \cdot 6}$	$- 21$
$29$	$=$	$53 \cdot e^{- k \cdot 6}$	$: 53$
$\frac{29}{53}$	$=$	$e^{- k \cdot 6}$	$\ln$
$\ln (\frac{29}{53})$	$=$	$- k \cdot 6$	$: (- 6)$
$\frac{\ln (\frac{29}{53})}{(- 6)}$	$=$	$k$
$k$	$\approx$	$0,1$

$T (t)$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$
	↓	Setze $T (t) = 40$ .
$40$	$=$	$21 + 53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$	$- 21$
$19$	$=$	$53 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$	$: 53$
$\frac{19}{53}$	$=$	$e^{- 0,1 \cdot t}$	$\ln$
$\ln (\frac{19}{53})$	$=$	$- 0,1 \cdot t$	$: (- 0,1)$
$\frac{\ln (\frac{19}{53})}{(- 0,1)}$	$=$	$t$
$t$	$\approx$	$10,3$

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