Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

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Beim Servieren von frisch gebrühtem Espresso hat dieser eine Temperatur von $74^{\circ}$ C.

Nach $6\;\text{min}$ hat der Espresso nur noch eine Temperatur von $50^\circ$ C. Die Zimmertemperatur beträgt $21^\circ$ C.

Stelle die Gleichung für die beschränkte exponentielle Abnahme der Espressotemperatur auf.

Es handelt sich hier um beschränkte, exponentielle Abnahme.

Dazu gehört die Bestandsgleichung $\displaystyle B(t)=S+(B_0-S)\cdot e^{-kt}$ .

Bei dieser Aufgabe entspricht $B(t)$ der Temperatur $T(t)$ des Espressos und $t$ ist die Zeit in Minuten.

Die untere Schranke $S$ ist die Zimmertemperatur von $21^\circ$ C. Die Anfangstemperatur ist $T_0=74^\circ$ C. Somit ergibt sich folgende Gleichung für die Temperaturabnahme:

$\displaystyle T(t)=21+(74-21)\cdot e^{-kt}=21+53\cdot e^{-kt}$ .

Die Wachstumskonstante $k$ kann über die Angabe $T(6)=50$ berechnet werden:

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-k\cdot t}$
	↓	Setze $T(6)=50$ ein.
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-k\cdot 6}$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle 29$	$=$	$\displaystyle 53\cdot e^{-k\cdot 6}$	$\displaystyle :53$
$\displaystyle \dfrac{29}{53}$	$=$	$\displaystyle e^{-k\cdot 6}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{29}{53}\right)$	$=$	$\displaystyle -k\cdot 6$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\frac{29}{53}\right)}{(-6)}$	$=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 0{,}1$

Antwort: Die Gleichung für die beschränkte Temperaturabnahme lautet:

$\displaystyle T(t)=21+53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$ , $T(t)$ in ${}^\circ$ C und $t$ in Minuten.

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Wie lange dauert es, bis die Espressotemperatur $40^\circ$ C beträgt?

Setze $T(t)=40$ :

$\displaystyle T(t)$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$
	↓	Setze $T(t)=40$ .
$\displaystyle 40$	$=$	$\displaystyle 21+53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle 19$	$=$	$\displaystyle 53\cdot e^{-0{,}1\cdot t}$	$\displaystyle :53$
$\displaystyle \dfrac{19}{53}$	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}1\cdot t}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln\left(\dfrac{19}{53}\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}1\cdot t$	$\displaystyle :(-0{,}1)$
$\displaystyle \dfrac{\ln\left(\dfrac{19}{53}\right)}{(-0{,}1)}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 10{,}3$

Antwort: Nach etwa $10{,}3$ Minuten beträgt die Espressotemperatur $40^\circ$ C.

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