Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Tante Luna zeigt ihrem 13-jährigen Neffen Luca ein Sparbuch, auf dem sich $5796{,}37\ €$ befinden. "Als du 8 Jahre alt warst", sagt sie, "hatte ich mir etwas Geld gespart und es zu einem festen Zinssatz angelegt. Wenn du 18 Jahre bist, bekommst du von mir $6719{,}58 \ €$ ."

Wie viel Geld hatte Tante Luna angelegt und zu welchem Zinssatz?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinseszinsrechnung

\displaystyle f(x)=c\cdot a^x

Diese Formel benötigst du, um die Aufgabe zu lösen.

Hier ist:

$f (x)$ das Ergebnis (in diesem Fall die Geldsumme die man bekommt bzw.bekommen kann, nachdem man das Geld angelegt hat), abhängig von $x$ , also der Zeit in Jahren
$c$ der Anfangswert (in diesem Fall das Geld, welches anfangs angelegt wird)
$a$ der Wachstumsfaktor (in diesem Fall der Zinssatz + 1) mit dem Exponenten $x$ , der die Zeit in Jahren bedeutet

Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich ein Gleichungssystem. Dazu musst du zwei Gleichungen aufstellen.

Zum einen weißt du, dass Luca als er 13 Jahre alt war, also $5$ Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), $5796,37 €$ auf dem Konto hatte. Andererseits weißt du, dass er sobald er 18 Jahre alt ist, also $10$ Jahre nach der Kontoeröffnung (bzw. dem Nullpunkt), $6719,58 €$ auf dem Konto haben wird.Wenn du jetzt diese Werte in zwei Gleichungen einsetzt kannst du ein Gleichungssystem aufstellen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}I.\;f\left(5\right)=c\cdot a^5=5796{,}37\\II.\;f(10)=c\cdot a^{10}=6719{,}58\end{array}

Wende nun eines der Lösungsverfahren für Gleichungssysteme an. Hier eignet sich z.B das Gleichsetzungsverfahren. Hierzu musst du beide Gleichungen umformen und anschließend gleichsetzen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}I.\;c\cdot a^5=5796{,}37\;\vert\div a^5\end{array}

\displaystyle \;I'.\;c=\frac{5796{,}37\;}{a^5}

\displaystyle \;II.\;c\cdot a^{10}=6719{,}58\;\vert\div a^{10}

\displaystyle II'.\;c=\frac{6719{,}58}{a^{10}}

\displaystyle I'.\;=II'.

\displaystyle \frac{5796{,}37\;}{a^5}=\frac{6719{,}58}{a^{10}}\;

Um die Variable aus dem Nenner zu bekommen musst du mit $a^{10}$ erweitern.

\displaystyle \frac{5796{,}37\;}{a^5}=\frac{6719{,}58}{a^{10}}\;\;\vert\cdot a^{10}

\displaystyle \frac{5796{,}37\cdot a^{10}\;}{a^5}=\frac{6719{,}58\cdot a^{10}}{a^{10}}\;\;

Kürze die Brüche auf beiden Seiten. Dies ist aufgrund der Potenzgesetze möglich.

\displaystyle 5796{,}37\cdot a^5\;=6719{,}58

Forme die Gleichung nach $a^{5} a⁵$ um.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}5796{,}37\cdot a^5\;=6719{,}58\;\vert\div5796{,}37\end{array}

\displaystyle a^5\;=\frac{6719{,}58}{5796{,}37}

\displaystyle a^5\approx1{,}159

Ziehe nun die 5. Wurzel.

\displaystyle a^5\approx1{,}159\;\vert\sqrt[5]{}

\displaystyle a\approx\sqrt[5]{1{,}159\;}

\displaystyle a\approx1{,}03

Bestimme jetzt den Zinssatz und verfasse einen Antwortsatz.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1{,}03\cdot100\%=103\%=100\%\;+\;3\%\end{array}

Setze das Ergebnis für a in eine der Anfangsgleichungen ein.

\displaystyle \;a\;in\;I'.

\displaystyle \;c=\frac{5796{,}37\;}{a^5}

\displaystyle \;c=\frac{5796{,}37\;}{1{,}03^5}

\displaystyle c=5000

Schreibe jetzt noch einen Antwortsatz mit der richtigen Einheit.

$\Rightarrow$ Als Luca 8 Jahre alt war,hatte Tante Luna $5000 €$ auf der Bank angelegt.

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