Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

1.0 Gegeben ist die Funktion %%f(x)=-\frac14 (x^3+8x^2+16x)%% mit %%D_f=\mathbb{R}%%. Der Graph wird mit %%G_f%% bezeichnet.

1.1 Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f mit jeweiliger Vielfachheit. (4 BE)

1.2 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen %%G_f%%. (8 BE)

1.3 Berechnen Sie die maximale positive Steigung des Graphen %%G_f%%. (5 BE)

1.4 Zeichnen Sie den Graphen %%G_f%% im Bereich %%-6\le x\le 1%% unter Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: %%1 LE = 1cm%%. (4 BE)

Lösung zur Teilaufgabe 1.1

Grundsätzlich gibt es mehrere Methoden, Nullstellen einer Funktion zu ermitteln: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Polynomdivision, Substitution und für quadratische Funktionen die Mitternachtsformel.

Für diese Aufgabe kannst du Ausklammern und anschließend dank dem Satz vom Nullprodukt die Mitternachtsformel verwenden. Außerdem musst du wissen, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt.

%%f(x)=-\frac14 (x^3+8x^2+16x)%%

Klammere den Faktor %%x%% aus.

%%f(x)=-\frac14 x (x^2+8x+16)%%

Setze beide Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt gleich Null.

%%-\frac14 x=0 \qquad |: (-\frac14)%%

und

%%x^2+8x+16=0%%

Löse die erste Gleichung nach %%x%% auf, indem du durch %%-\frac14%% teilst.

Löse die zweite Gleichung auf, indem du in die Mitternachtsformel einsetzt.

%%x_1=0%%

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}=\frac{-8\pm\sqrt{64-64}}{2}=\frac{-8\pm0}{2}=-4%%

Damit erhält man eine einfache Nullstelle bei %%x_1=0%% und eine doppelte Nullstelle bei %%x_{2/3}=-4%%.

Lösung zur Teilaufgabe 1.2

Vorgehen

Für die Bestimmung der maximalen Monotonieintervalle musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Anschließend kannst du mit Hilfe einer Vorzeichenwechseltabelle die Art der Extrema bestimmen. Wenn du abschließend noch die ermittelten %%x%%-Werte in die Funktion einsetzt, erhälst du auch die %%y%%-Koordinaten und damit die Lage der Extrema.

Maximale Monotonieintervalle

Ableitung bilden

Die Ableitung der Funktion bildest du, indem du das Gesetz für die Ableitung von Potenzenfunktionen verwendest.

%%f'(x)=-\frac14(3x^2+8\cdot 2x+16)=-\frac14(3x^2+16x+16)%%

Nullstellen der Ableitung

Dazu setzt du die Ableitung gleich Null:

%%-\frac14(3x^2+16x+16)=0\qquad |:(-\frac14)%%

Teile durch den Vorfaktor.

%%3x^2+16x+16=0%%

Löse die quadratische Gleichung entweder Einsetzen in die Mitternachtsformel.

%%x_{1/2}=\displaystyle\frac{-16\pm\sqrt{16^2-4\cdot3\cdot16}}{2\cdot3}=\frac{-16\pm\sqrt{64}}{6}%%

%%x_1=\frac{-16+8}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac43%%

%%x_2=\frac{-16-8}{6}=\frac{-24}{6}=-4%%

Maximale Monotonieintervalle

Damit sind die Grenzen der Monotonieintervalle %%x=-4%% und %%x=-\frac43%%. Schreibe die dadurch abgetrennten Intervalle in Intervallschreibweise. Achte darauf, dass die Nullstellen ausgeschlossen sein müssen.

%%]-\infty;-4[\quad%% und %%\quad]-4;-\frac43[\quad%% und %%\quad]-\frac43;\infty[%%

Art der Extrema

Dafür fertigst du eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) an:

x

%%]-\infty;-4[%%

%%-4%%

%%\quad]-4;-\frac43[%%

%%-\frac43%%

%%]-\frac43,\infty[%%

VZ von f'(x)

%%-%%

%%0%%

%%+%%

%%0%%

%%-%%

%%G_f%%

%%\searrow%%

%%TP%%

%%\nearrow%%

%%HP%%

%%\searrow%%

Alternative Bestimmung durch die 2. Ableitung

Auch mit Hilfe der zweiten Ableitung kannst du die Art von Extrema bestimmen. Dazu bildest du diese und setzt die %%x%%-Werte ein.

%%f''(x)=-\frac14(3\cdot 2x+16)=-\frac14(6x+16)%%

%%f''(-4)=-\frac14(6 \cdot(-4)+16)=2>0%%

Bei %%x=-4%% ist die zweite Ableitung größer als Null, also ist hier ein Tiefpunkt.

%%f''(-\frac43)=-\frac14(6 \cdot(-\frac43)+16)=-2<0%%

Bei %%x=-\frac43%% ist die zweite Ableitung kleiner als Null, also ist hier ein Hochpunkt.

Bei %%x=-4%% ist ein Tiefpunkt und bei %%x=-\frac43%% ist ein Hochpunkt.

Lage der Extrema

Setze dazu die ermittelten %%x%%-Werte in die Funktion ein:

%%f(-4)=-\frac14 ((-4)^3+8(-4)^2+16(-4))=0%%

%%f(-\frac43)=-\frac14 ((-\frac43)^3+8(-\frac43)^2+16(-\frac43))=\frac{64}{27}%%

Damit weiß man, dass bei %%(-4|0)%% ein Tiefpunkt und bei %%(-\frac43|\frac{64}{27})%% ein Hochpunkt liegt.

Lösung zur Teilaufgabe 1.3

Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion dargestellt. Will man nun die Stelle mit maximaler Steigung ermitteln, sucht man das Extremum der Ableitung. Um dieses herauszufinden, geht man genauso vor, wie bei dem Extremum einer Funktion (Extrema berechnen). Man leitet einmal ab und setzt das Ergebnis gleich Null. Nur diesmal handelt es sich bei dem Abzuleitendem bereits um die Ableitung.

Du bildest also die Ableitung der Ableitung (Ableitung von Potenzenfunktionen), also die zweite Ableitung:

%%f''(x)=-\frac14(3\cdot 2x+16)=-\frac14(6x+16)%%

Diese setzt du gleich Null:

%%-\frac14(6x+16)=0\qquad |:(-\frac14)%%

Teile durch den Vorfaktor.

%%6x+16=0\qquad|-16%%

Isoliere %%x%% auf einer Seite.

%%6x=-16\qquad|:6%%

Teile durch den Faktor.

%%x=-\frac{16}{6}=-\frac83%%

Jetzt kennst du die Stelle, an der die Steigung extrem ist. Um zu erkennen, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du eine weitere Ableitung bilden und den Wert einsetzen:

%%f'''(x)=-\frac14\cdot 6=-\frac32<0%%

Nachdem dieser Wert unabhängig vom %%x%%-Wert kleiner als %%0%% ist, muss es sich um ein Maximum haben. Alternativ hättest du dir auch eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) anschauen können.

Nachdem du nun auch weißt, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du den Wert dieser Steigung noch genau ausrechnen, indem du den %%x%%-Wert in die Ableitung einsetzt:

%%f'(-\frac83)=-\frac14(3((-\frac83)^2+16(-\frac83)+16)=\frac43%%

Die maximal positive Steigung des Graphen %%G_f%% beträgt %%\frac43%%.

Lösung zur Teilaufgabe 1.4

Um einen Graphen zu zeichnen, bietet es sich an, eine Wertetabelle zu erstellen.

Wertetabelle

Merkmale

Du sollst den Graphen unter "Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse" zeichnen, deswegen solltest du folgende Merkmale einzeichnen

  • einfache Nullstelle bei %%x=0%%

  • doppelte Nullstelle bei %%x=-4%% und gleichzeitig Tiefpunkt bei %%(-4|0)%%

  • Hochpunkt bei %%(-\frac43|\frac{64}{27})%%

  • Wendepunkt bei %%x=-\frac83%%, da hier der Ort maximaler Steigung ist

Graph

Graph einer Funktion 3. Grades

2.0 Der Graph %%G_p%% der quadratischen Funktion p enthält die Punkte %%A(-6|6)%%, %%B(-2|-2)%% und %%C(1| 2,5)%%.

2.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x). (7 BE)

[Mögliches Ergebnis: %%p(x)=\frac12(x^2+4x)%%]

2.2 Zeichnen Sie den Graphen %%G_p%% im Bereich %%-6\le x\le 1%% in das vorhandene Koordinatensystem ein. (2 BE)

2.3 Die Graphen %%G_f%% und %%G_p%% schließen insgesamt zwei endliche Flächenstücke ein. Markieren Sie im vorhandenen Koordinatensystem das weiter links gelegene und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die ganzzahligen Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden. (6 BE)

Lösung zur Teilaufgabe 2.1

Hierfür musst du in der Lage sein, ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen aufzulösen.

Durch die angegebenen Punkte kannst du drei Gleichungen aufstellen, indem du jeweils den %%x%%- und %%y%%-Wert in die allgemeine Form einer quadratischen Funktion einsetzt:

%%y=ax^2+bx+c%%

%%(I)%% %%a(-6)^2+b(-6)+c=6%%

%%(II)%% %%a(-2)^2+b(-2)+c=-2%%

%%(III)%% %%a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=2,5\\%%

Vereinfache die einzelnen Gleichungen.

%%(I)%% %%36a-6b+c=6%%

%%(II)%% %%4a-2b+c=-2%%

%%(III)%% %%a+b+c=2,5\\%%

Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung %%(I)%% nach %%c%%.

%%(I')%% %%c=6-36a+6b\\%%

Setze den Term für %%c%% in %%(II)%% und %%(III)%% ein.

%%(II')%% %%4a-2b+(6-36a+6b)=-2%%

%%(II')%% %%-32a+4b+6=-2\\%%

%%(III')%% %%a+b+(6-36a+6b)=2,5%%

%%(III')%% %%-35a+7b+6=2,5%%

%%(III')%% %%-35a+7b=-3,5\quad|:7%%

%%(III'')%% %%-5a+b=-0,5\\%%

Löse eine weitere Gleichung nach einer Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung %%(II')%% nach %%b%%.

%%(II'')%% %%4b=-8+32a%%

%%(II'')%% %%b=-2+8a\\%%

Setze das Ergebnis für %%b%% in Gleichung %%(III')%% ein.

%%(III'')%% %%-5a+(-2+8a)=-0,5%%

%%(III'')%% %%3a-2=-0,5\qquad|+2\\%%

%%3a=1,5\qquad|:3%%

%%a=0,5\\%%

Setze den Wert für %%a%% in %%b%% ein.

%%b=-2+8\cdot 0,5=-2+4=2\\%%

Setze die Werte für %%a%% und %%b%% in den Ausdruck für %%c%% ein.

%%c=6-36\cdot 0,5+6\cdot 2=0%%

Wenn du diese Werte wieder in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzt, erhälst du

%%p(x)=0,5x^2+2x+0=\frac12(x^2+4x)%%

Lösung zur Teilaufgabe 2.2

Zum Zeichnen eines Graphen kannst du eine Wertetabelle anfertigen.

Zwei ganzrationale Funktionen mit Schnittpunkt

Lösung zur Teilaufgabe 2.3

Für die Lösung dieser Teilaufgabe solltest du wissen, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen ausrechnest.

Markierung des linken endlichen Flächenstücks

Das gesuchte Flächenstück ist in orange markiert.

Endliche, eingeschlossene Fläche markiert

Berechnung des Flächeninhalts

Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnet man mit Hilfe eines Integrals.

Die Grenzen des Integrals dürfen abgelesen werden, es handelt sich um die %%x%%-Werte der Schnittpunkte der beiden Graphen:

Der linke Schnittpunkt liegt bei %%x=-6%%, der rechte bei %%x=-4%%.

Nun kann man in die Formel für die Flächenberechnung zwischen zwei Graphen einsetzen:

%%\displaystyle\left|\int_a^b\left(f(x)-p(x)\right)\mathrm{d}x\right|=%%

Reihenfolge %%f(x)%% und %%p(x)%%

Die Reihenfolge von %%f(x)%% und %%p(x)%% ist egal, solange man an Betragsstriche denkt. Lässt man diese weg, muss man darauf achten, dass man den unteren Graphen vom oberen abzieht.

Setze die Werte ein.

%%\displaystyle\left|\int_{-6}^{-4}\left(-\frac14 (x^3+8x^2+16x)-(0,5x^2+2x)\right)\mathrm{d}x\right|=%%

Vereinfache.

%%\displaystyle\left|\int_{-6}^{-4}\left(-\frac14 x^3-2,5x^2-6x\right)\mathrm{d}x\right|=%%

Bilde die Stammfunktion.

%%=\displaystyle\left| \left[-\frac14\cdot \frac14 x^4-2,5\cdot \frac13x^3-6\cdot \frac12 x^2\right]_{-6}^{-4}\right|%%

Vereinfache.

%%=\displaystyle\left| \left[-\frac1{16} x^4- \frac56x^3-3 x^2\right]_{-6}^{-4}\right|%%

Setze die Grenzen ein.

%%=\displaystyle\left| \left[-\frac1{16} (-4)^4- \frac56(-4)^3-3 (-4)^2\right]-\left[-\frac1{16} (-6)^4- \frac56(-6)^3-3 (-6)^2\right]\right|%%

Berechne den Wert.

%%=\displaystyle\frac53%%

Der Flächeninhalt beträgt %%\frac53 FE\approx 1,7 FE%%.

3.0 Gegeben sind die reellen Funktionen %%h_t=\frac14x(tx-1)(x+4)(x-3)%% mit %%D_{h_t}=\mathbb{R}%% und %%t \in \mathbb{R}%%.

3.1 Bestimmen Sie Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion %%h_t%% in Abhängigkeit von t. (7 BE)

3.2 Begründen Sie, welche der im Folgenden dargestellten Graphen zur Funktionenschar %%h_t%% gehören können und welche nicht. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung mithilfe der ganzzahligen Nullstellen und ggf. des Grenzverhaltens bzw. des Leitkoeffizienten.

Geben Sie für den Fall, dass der Graph zur Funktionenschar %%h_t%% gehört, den zutreffenden Wert von t an. (6 BE)

Graphen ganzrationaler Funktionen

Lösung zur Teilaufgabe 3.1

Für diese Teilaufgabe musst du mit ganzrationalen Funktionen vertraut sein, insbesondere mit Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen.

Nullstellen

Nullstellen kannst du in dieser Form %%h_t=\frac14x(tx-1)(x+4)(x-3)%%, aufgeteilt in die verschiedenen Linearfaktoren, fast direkt ablesen. Du darfst die einzelnen Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich Null setzen und nach %%x%% auflösen.

Damit erhälst du die folgenden Nullstellen:

Faktor 1:

%%\frac14x=0\qquad |:\frac14%%

Teile durch den Vorfaktor.

%%x_1=0%%

Faktor 2:

%%tx-1=0\qquad|+1%%

Löse nach %%x%% auf.

%%tx=1\qquad|:t%%

Teile durch %%t%%, damit %%x%% alleine auf einer Seite steht.

%%x_2=\frac1t%%

Faktor 3:

%%x+4=0\qquad|-4%%

Isoliere %%x%% auf einer Seite.

%%x_3=-4%%

Faktor 4:

%%x-3=0\qquad|+3%%

Isoliere %%x%% auf einer Seite.

%%x_4=3%%

Normalerweise gibt es also %%4%% einfache Nullstellen bei den Werten %%x_1=0%%, %%x_2=\frac1t%%, %%x_3=-4%% und %%x_4=3%%.

Jetzt musst du dir überlegen, ob das immer der Fall ist oder ob es Ausnahmen gibt.

Ausnahmen

Zwei Dinge könnten dir bei dieser Überlegung auffallen:

  1. Ist %%t=0%%, kannst du %%x_2=\frac1t%% nicht ausrechnen, weil du nicht durch Null teilen darfst. Du solltest dir also genauer anschauen, was mit %%h_t(x)%% passiert, wenn %%t=0%% ist.

  2. Es könnte passieren, dass %%x_2=\frac1t%% bei passend ausgewähltem %%t%% genau gleich groß ist, wie %%x_1, x_3%% oder %%x_4%%. In diesem Fall hättest du eine doppelte Nullstelle, dafür aber weniger verschiedene.

Fall %%t=0%%

Zuerst schauen wir uns den Fall an, der unter 1. beschrieben wird. Was passiert, wenn %%t=0%% ist?

Dann ist

%%h_0=\frac14x(0\cdot x-1)(x+4)(x-3)=\frac14x(-1)(x+4)(x-3)=-\frac14x(x+4)(x-3)%%.

Du siehst, dass in diesem Fall der Linearfaktor mit dem %%t%% verschwindet. Übrig bleiben nur die anderen drei Linearfaktoren. Wenn %%t=0%% ist, erhält man also drei einfache Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_3=-4%% und %%x_4=3%% (%%x_2%% gibt es hier nicht).

Zwei Linearfaktoren liefern diesselbe Nullstelle

Nun kannst du dir überlegen, wann %%x_2%% genauso groß ist wie %%x_3%% oder %%x_4%%. Genau genommen kannst du es sogar ausrechnen, indem du es gleichsetzt:

%%x_2=\frac1t=x_3=-4%%

%%\frac1t=-4\qquad|\cdot t : (-4)%%

Stelle die Gleichung nach %%t%% um.

%%t=-\frac14%%

Führe die gleiche Rechnung mit %%x_4%% durch.

%%x_2=\frac1t=x_4=3%%

%%\frac1t=3\qquad|\cdot t : 3%%

Stelle die Gleichung nach %%t%% um.

%%t=\frac13%%

Genauso kannst du das mit %%x_1%% überprüfen.

%%x_2=\frac1t=x_1=0%%

%%\frac1t=0\qquad|\cdot t%%

Wenn du allerdings nach %%t%% umstellst, …

%%1=0%%

…kommst du auf eine Gleichung, die nicht richtig sein kann (%%0%% ist nicht dasselbe wie %%1%%). Das heißt, diese Gleichung hat keine Lösung.

Du hast herausgefunden, dass für %%t=-\frac14%% %%x_2%% und %%x_3%% dasselbe sind und für %%t=\frac13%% %%x_2%% und %%x_4%% dasselbe sind. In beiden Fällen hat man also eine doppelte Nullstelle (beim ersten bei %%x=-4%% und beim zweiten bei %%x=-3%%).

Lösung im Überblick

Zusammengefasst gibt es also folgende Möglichkeiten, die unterschieden werden müssen:

  • %%t=0%%: Hier fällt ein Linearfaktor weg, man hat deswegen eine Nullstelle weniger und damit drei einfache Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_3=-4%% und %%x_4=3%%

  • %%t=-\frac14%% und %%t=\frac13%%: hier gibt es jeweils eine doppelte Nullstelle, weil %%x_2%% mit einer der anderen Nullstellen übereinstimmt. Für %%t=-\frac14%% gibt es zwei einfache Nullstellen bei %%x_1=0%% und bei %%x_4=3%%, außerdem gibt es eine doppelte Nullstelle bei %%x_{2/3}=-4%%. Für %%t=\frac13%% gibt es zwei einfache Nullstellen bei %%x_1=0%% und bei %%x_3=-4%%, außerdem gibt es eine doppelte Nullstelle bei %%x_{2/4}=3%%.

  • Für alle anderen Werte von %%t%% (%%t\in \mathbb{R}\setminus\{-4;0;3\}%%) gibt es vier einfache Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=\frac1t%%, %%x_3=-4%% und %%x_4=3%%.

Lösung zur Teilaufgabe 3.2

Für diese Teilaufgabe solltest du Nullstellen aus einem Graphen ablesen und aus einem Funktionsterm bestimmen können. Außerdem solltest du wissen, was ein Leitkoeffizient ist und wie sich eine ganzrationale Funktion im Unendlichen verhält.

Graph 1 (%%t=0%%)

Dieser Graph kann zu %%h_t(x)%% gehören. %%h_t(x)%% ist allerdings nur in genau einem Fall eine ganzrationale Funktion 3. Grades, nämlich wenn %%t=0%% ist (immer sonst gibt es insgesamt vier Nullstellen, man muss für den Grad die doppelten Nullstellen doppelt zählen).

Für %%t=0%% ist %%h_0(x)=-\frac14x(x+4)(x-3)%% (Berechnung siehe Teilaufgabe 3.1). Hier ist der Leitkoeffizient negativ und damit geht die Funktion von "links oben" nach "rechts unten", was mit dem Graphen übereinstimmt. Auch die Nullstellen (siehe Teilaufgabe 3.1) stimmen mit dem Graphen überein.

Graph 2 (%%t=-\frac12%%)

Man erkennt, dass es vier Nullstellen gibt, bei %%x=-4%%, %%x=-2%%, %%x=0%% und %%x=3%%. Alle außer der Nullstelle bei %%x=-2%% sind Nullstellen wie oben im Fall %%t\in \mathbb{R}\setminus\{-4;0;3\}%% beschrieben. Das heißt, bei dieser Nullstelle könnte es sich um die Nullstelle bei %%x=\frac1t%% handeln:

%%-2=\frac1t\qquad|\cdot t :(-2)%%

Löse nach %%t%% auf, um den zugehörigen %%t%%-Wert zu ermitteln.

%%t=-\frac12%%

Für den Fall %%t=-\frac12%% ist

%%h_{-\frac12}=\frac14x(-\frac12x-1)(x+4)(x-3)%%

Jetzt kannst du in der ersten Klammer ein Minus ausklammern.

%%=-\frac14x(\frac12x+1)(x+4)(x-3)%%

Du kannst so nämlich erkennen, dass der Leitkoeffizient negativ ist und damit das Verhalten im Unendlichen so sein muss, wie es im Graphen gemalt ist, von "links unten" nach "rechts unten". Auch die Nullstellen stimmen überein, wie du gerade überprüft hast.

Graph 3 (kein %%t%%)

Du erkennst hier eine doppelte Nullstelle bei %%x=0%%. Du hast allerdings in Teilaufgabe 3.1 ausgerechnet, dass %%x_2%% nie Null sein kann und dass es folglich auch keine doppelte Nullstelle bei %%x=0%% geben kann. Deswegen ist Graph 3 kein Graph der Funktionenschar %%h_t(x)%%.

4.0 Ein Planschbecken soll entsprechend
folgender Skizze hergestellt werden,
wobei der Boden und die Wand luftgefüllte Hohlkammern mit einer Dicke von 10 cm sind. Die Summe aus Radius R und Höhe h soll konstant
90 cm betragen.

Skizze Planschbecken

4.1 Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf, welche die Maßzahl des Volumens des mit Luft gefüllten Teils des Planschbeckens in Abhängigkeit von R beschreibt. (6 BE)

[Mögliches Ergebnis: %%V(R)=\pi(-10R^2+1700R-8000)%%]

4.2 Mit der Vorgabe
%%10<R\le55%% soll die Funktion %%V:R\mapsto V(R)%% den absolut größten Wert annehmen. Berechnen Sie für diesen Fall die maximale Füllhöhe des Planschbeckens. (5 BE)

Lösung zur Teilaufgabe 4.1

Für diese Teilaufgabe solltest du als Vorwissen die Formel für das Volumen einer Zylinders mitbringen (oder wissen, wo du sie nachschauen kannst). Außerdem solltest du sicher Klammern ausmultiplizieren können.

Der mit Luft gefüllte Teil des Planschbeckens ist der große Zylinder abzüglich der mit Wasser gefüllte kleine Zylinder.

%%V_{Luft}=V_{gr. Zylinder}-V_{kl. Zylinder}%%

Setze die Formeln für das Zylindervolumen ein. (Das Wort Zylinder wird nun mit ZL abgekürzt).

%%=\pi r_{gr. ZL}^2 h_{gr. ZL}-\pi r_{kl. ZL}^2 h_{kl. ZL}%%

Überlege dir aus der Zeichnung die Werte %%r_{gr. ZY}%%, %%h_{gr. ZY}%%, %%r_{kl. ZY}%% und %%h_{kl. ZY}%%.

%%r_{gr. ZY}=R%%

%%h_{gr. ZY}=h%%

%%r_{kl. ZY}=R-10%%

%%h_{kl. ZY}=h-10%%

%%=\pi R^2 h-\pi (R-10)^2 (h-10)%%

Setze die Werte in die Formel von oben ein.

Dein Ergebnis soll nur von R abhängen. Also verwendest du die Angabe in der Aufgabenstellung %%h+R=90%%, um alle %%h%%'s in Abhängigkeit von %%R%%'s auszudrücken.

%%h=90-R%%

Setze das in die Formel ein.

%%=\pi R^2 (90-R)-\pi (R-10)^2 ((90-R)-10)%%

Multipliziere die erste Klammer aus. Vereinfache die letzte Klammer.

%%=\pi (90R^2-R^3)-\pi (R-10)^2 (80-R)%%

Verwende die binomische Formel, um das Quadrat aufzulösen.

%%=\pi (90R^2-R^3)-\pi (R^2-20R+100) (80-R)%%

Multipliziere die hinteren beiden Klammern aus.

%%=\pi (90R^2-R^3)-\pi (80R^2-1600R+8000-R^3+20R^2-100R)%%

Klammere %%\pi%% aus.

%%=\pi \left[90R^2-R^3- (80R^2-1600R+8000-R^3+20R^2-100R)\right]%%

Löse die runde Klammer auf, indem du jedes Vorzeichen innerhalb umdrehst.

%%=\pi \left[\color{blue}{90R^2}\color{red}{-R^3}\color{blue}{-80R^2}\color{green}{+1600R}-8000\color{red}{+R^3}\color{blue}{-20R^2}\color{green}{+100R}\right]%%

Fasse zusammen.

%%=\pi \left[\color{blue}{-10R^2}\color{green}{+1700R}-8000\right]%%

Das Ergebnis ist also %%V(R)=\pi(-10R^2+1700R-8000)%%.

Lösung zur Teilaufgabe 4.2

Für diese Teilaufgabe solltest du Eigenschaften von Parabeln kennen.

Bei Graphen zu %%V(R)%% handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel, da der höchste Exponent 2 ist und der Leitkoeffizient negativ ist.

Den maximalen Wert kannst du ermitteln, indem die Ableitung bildest und sie gleich Null setzt (du gehst also so vor wie immer, um ein Extremum zu bestimmen):

%%V'(R)=\pi(-10\cdot 2R+1700)=\pi(-20R+1700)%%

Setze die Ableitung gleich Null.

%%\pi(-20R+1700)=0 \qquad|:\pi%%

Teile durch den Vorfaktor.

%%-20R+1700=0 \qquad|-1700%%

Löse nach %%R%% auf.

%%-20R=-1700\qquad|:(-20)%%

%%R=\frac{-1700}{-20}=85%%

Du weißt nun, dass der Scheitel der Parabel (deren Maximum) bei %%R=85%% liegt.

Du sollst allerdings den maximalen Wert im Bereich %%10<R\le55%% herausfinden. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel, also erhält man für den Wert %%R=55%% ein größeres Volumen.

Ausführliche Begründung für %%R=55%% mit Skizze

Du hast gerade berechnet, dass der %%x%%-Wert des Scheitels der Parabel bei %%R=85%% liegt. Nun musst du die überlegen, welcher Wert von %%10<R\le55%% den größten Wert für %%V%% liefert. Nachdem alle diese Werte auf der linken Seite des Scheitels %%A%% liegen (siehe Skizze), ist die Lösung der größte Wert, weil die Parabel im Bereich %%10<R\le55%% nur ansteigt.

Skizze einer nach unten geöffneten Parabel

Wenn man %%R=55%% hat, dann kann man die Bedingung %%h+R=90%% verwenden:

%%h+R=90\qquad |-R%%

Löse nach %%h%% auf.

%%h=90-R%%

Setze den Wert für %%R%% ein.

%%h=90-55=35%%

Nun bist du noch nicht ganz fertig, weil nicht nach der gesamten Höhe des Planschbeckens gefragt ist, sondern nur nach der maximalen Füllhöhe, die %%10%% cm weniger beträgt. Ziehe also noch %%10%% cm von deinem Ergebnis ab.

%%h_{Füllhöhe}=h_{gesamt}-10=35-10=25%%

Die Füllhöhe für das maximale Luftvolumen %%V(R)%% im angegebenen Intervall für %%R%% beträgt %%25%% cm.

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