Teil A II

1.0 Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \frac3{16}(x+3)(x+\frac43)(4-x)$ mit $D_f=\mathbb{R}$.

1.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für $x \to -\infty$ und $x\to \infty$ an. (3 BE)

1.2 Zeigen Sie, dass sich f(x) auch in der Form $f(x)=-\frac1{16}(3x^3+x^2-40x-48)$ darstellen lässt. (3 BE)

1.3 Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen $G_f$. (6 BE)

1.4 Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich $-4\le x\le 4$ , auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1cm (4 BE)

1.5 Berechnen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen $G_f$ im Schnittpunkt mit der y-Achse. Bestimmen Sie dann den Bereich, in dem die Steigung des Graphen $G_f$ größer ist als die berechnete Tangentensteigung. (6 BE)

1.6 Die Parabel P ist der Graph der quadratischen Funktion p. $S(-4|4)$ ist der Hochpunkt von P und zugleich Schnittpunkt von P mit $G_f$. Ein weiterer Schnittpunkt der beiden Graphen liegt auf der y-Achse. Ermitteln Sie den Funktionsterm von p und zeichnen Sie die Parabel P im Bereich $-4\le x\le 4$ in das Koordinatensystem ein. (6 BE)

[Mögliches Teilergebnis: $p(x)=-\frac1{16}x^2-\frac12x+3$]

1.7 Die Graphen $G_f$ und P schließen zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächenstücks, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. (5 BE)

2.0 Gegeben ist die Funktionenschar $g_a : x \mapsto 0{,}25(x^3-2ax^2)$ mit $x, a \in \mathbb{R}$

Der Graph von $g_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

2.1 Ermitteln Sie die Nullstellen von $g_a$ und geben Sie deren Vielfachheit in Abhängigkeit von a an. (5 BE)

2.2.0 Nun wird $a=3$ gesetzt und es gilt: $g_3(x) =0{,}25(x^3-6x^2)$. Des Weiteren ist die lineare Funktion $t: x \mapsto -3x+2$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

2.2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von $G_3$. (4 BE)

2.2.2 Untersuchen Sie rechnerisch, ob die abschnittsweise definierte Funktion

an der Nahtstelle differenzierbar ist. (5 BE)

2.3.0 Beschreiben Sie mithilfe der Ergebnisse der letzten beiden Teilaufgaben die besondere Lage des Graphen der linearen Funktion t in Bezug auf $G_3$. (2 BE)