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Aufgaben

1.0 Gegeben ist die Funktion %%f: x \mapsto \frac3{16}(x+3)(x+\frac43)(4-x)%% mit %%D_f=\mathbb{R}%%.

1.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für %%x \to -\infty%% und %%x\to \infty%% an. (3 BE)

1.2 Zeigen Sie, dass sich f(x) auch in der Form %%f(x)=-\frac1{16}(3x^3+x^2-40x-48)%% darstellen lässt. (3 BE)

1.3 Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen %%G_f%%. (6 BE)

1.4 Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich %%-4\le x\le 4%% , auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1cm (4 BE)

1.5 Berechnen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen %%G_f%% im Schnittpunkt mit der y-Achse. Bestimmen Sie dann den Bereich, in dem die Steigung des Graphen %%G_f%% größer ist als die berechnete Tangentensteigung. (6 BE)

1.6 Die Parabel P ist der Graph der quadratischen Funktion p. %%S(-4|4)%% ist der Hochpunkt von P und zugleich Schnittpunkt von P mit %%G_f%%. Ein weiterer Schnittpunkt der beiden Graphen
liegt auf der y-Achse. Ermitteln Sie den Funktionsterm von p und zeichnen Sie die Parabel P im Bereich %%-4\le x\le 4%% in das Koordinatensystem ein. (6 BE)

[Mögliches Teilergebnis: %%p(x)=-\frac1{16}x^2-\frac12x+3%%]

1.7 Die Graphen %%G_f%% und P schließen zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächenstücks, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. (5 BE)

2.0 Gegeben ist die Funktionenschar %%g_a : x \mapsto 0,25(x^3-2ax^2)%% mit %%x, a \in \mathbb{R}%%

Der Graph von %%g_a%% wird mit %%G_a%% bezeichnet.

2.1 Ermitteln Sie die Nullstellen von %%g_a%% und geben Sie deren Vielfachheit in Abhängigkeit von a an. (5 BE)

2.2.0 Nun wird %%a=3%% gesetzt und es gilt: %%g_3(x) =0,25(x^3-6x^2)%%. Des Weiteren ist die lineare
Funktion %%t: x \mapsto -3x+2%% mit %%x \in \mathbb{R}%% gegeben.

2.2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von %%G_3%%. (4 BE)

2.2.2 Untersuchen Sie rechnerisch, ob die abschnittsweise definierte Funktion %%h: x\mapsto \displaystyle\left\{\begin{array}{llr} g_3(x) & \text{für} & x\leq 2\\ t(x) & \text{für} & x>2 \end{array}\right.%% an der Nahtstelle differenzierbar ist. (5 BE)

2.3.0 Beschreiben Sie mithilfe der Ergebnisse der letzten beiden Teilaufgaben die besondere Lage des Graphen der linearen Funktion t in Bezug auf %%G_3%%. (2 BE)

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