Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

1.0 Die Glocken-Apotheke bietet ihren erkälteten Kunden Hustensaft (H), Kopfschmerztabletten (K) und Nasenspray (N) an, wobei jeder entsprechende Kunde mindestens eines dieser Produkte erwirbt. Im Folgenden werden nur diese drei Medikamente betrachtet. Aus Erfahrung weiß der Apotheker, dass unabhängig voneinander 25% der Kunden einen Hustensaft erwerben und jeder fünfte Kunde Kopfschmerztabletten kauft. Kunden kaufen zu 60% auch ein Nasenspray, wenn sie mindestens eines der anderen Medikamente erwerben. Der Einkauf eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

1.1 Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller 7 Elementarereignisse. (5 BE)

[Teilergebnis: %%P({H\overline{K}N})=0,12%%]

1.2 Gegeben seien folgende Ereignisse:

%%E_1%%: „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“

%%E_2%%: „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“

%%E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}%%

Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an. Beschreiben Sie %%E_3%% möglichst einfach in Worten und berechnen Sie %%P(E_3)%%. (5 BE)

1.3.0 Der Apotheker bietet seinen Kunden nur Hustensaft der Marken A und B an. Von 500 Hustensaftkäufern entscheiden sich 400 für den Hustensaft A. Bei 280 der Kunden, die Hustensaft A kaufen, tritt eine Verbesserung der Symptome ein. Von den Käufern der Hustensaftmarke B geben 30 an, dass keine Verbesserung der Symptome auftritt.

1.3.1 Stellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, überprüfen Sie, ob die Ereignisse

A: „Ein Kunde kauft Hustensaft der Marke A.“ und

V: „Es tritt eine Verbesserung der Symptome auf.“

stochastisch unabhängig sind und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)

1.3.2 Berechnen Sie %%P(\overline{A}\cup V)%%. (2 BE)

Lösung zur Teilaufgabe 1.1

Für diese Aufgabe solltest du wissen, wie ein Baumdiagramm aufgebaut ist und was die Pfadregeln sind.

Herleitung Baumdiagramm

Die ausführliche Herleitung des Baumdiagramms ist durch mehrere erklärende Bilder lang geworden und findet sich deswegen in dem Spoiler.

Ausführliche Herleitung des passenden Baumdiagramms

Wichtig ist hier, dass du bei jedem Produkt zwischen "das Produkt wird gekauft" und "das Produkt wird nicht gekauft" unterscheiden musst und nicht alle Produkte von einem Knotenpunkt ausgehend hinzeichnest. Das kannst du daran erkennen, dass keine feste Anzahl von Produkten gekauft wird (oder wenn du einen Blick auf das mögliche Teilergebnis wirfst).

Entscheidend ist, dass das Nasenspray (N) erst im dritten Schritt aufgemalt wird, da die Wahrscheinlichkeit für den Kauf eines Nasensprays von dem Kaufverhalten bei Hustensaft (H) und Kopfschmerztabletten (K) abhängt. Die Reihenfolge von H und K könnte auch vertauscht werden, die hier gezeigte Variante passt allerdings zum möglichen Teilergebnis.

Achte außerdem darauf, dass der Ast, bei dem kein Produkt gekauft wird, kein gültiger Ast ist, weil in der Aufgabenstellung steht, dass mindestens ein Produkt gekauft wird.

Baumdiagramm ohne eingetragene Wahrscheinlichkeiten

Als nächstes kannst du die Wahrscheinlichkeiten dem Text entnehmen:

  • Hustensaft: %%25\% %%, also %%0,25%% und als Gegenwahrscheinlichkeit %%1-0,25=0,75%%

  • Kopfschmerztabletten: jeder Fünfte (und unabhängig vom Kauf eines Hustensafts, also im linken wie im rechten Block), also %%\frac15=0,2%% und als Gegenwahrscheinlichkeit %%1-0,2=0,8%%

Baumdiagramm mit der Hälfte der Wahrscheinlichkeiten

Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für %%N%% und %%\overline{N}%% ergänzen. Diese beträgt für %%N%% %%0,6%%, wenn vorher schon ein Produkt gekauft wurde, das heißt überall außer ganz rechts ist die Wahrscheinlichkeit für %%N%% %%0,6%% und die Gegenwahrscheinlichkeit %%1-0,6=0,4%%.

Ganz rechts ist die Wahrscheinlichkeit für %%\overline{N}%% %%0%%, da ein Produkt gekauft werden muss. Also ist die Wahrscheinlichkeit für %%N%% in diesem Fall %%1%%.

Baumdiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten

Und die Lösung mit nur einem Ast ganz rechts sieht dann so aus:

Mögliche Lösung für das Baumdiagramm

Lösung: Baumdiagramm

Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten

Diese kannst du mit Hilfe der Pfadregeln berechnen:

%%\begin{array}{lll} P(HKN)&=0,25\cdot 0,2\cdot 0,6&=0,03\\ P(HK\overline{N})&=0,25\cdot 0,2\cdot 0,4&=0,02\\ P(H\overline{K}N)&=0,25\cdot 0,8\cdot 0,6&=0,12\\ P(H\overline{K}\overline{N})&=0,25\cdot 0,8\cdot 0,4&=0,08\\ P(\overline{H}KN)&=0,75\cdot 0,2\cdot 0,6&=0,09\\ P(\overline{H}K\overline{N})&=0,75\cdot 0,2\cdot 0,4&=0,06\\ P(\overline{H}\overline{K}N)&=0,75\cdot 0,8\cdot 1&=0,6\end{array}%%

Lösung zur Teilaufgabe 1.2

%%E_1%%: „Ein zufällig ausgewählter Kunde kauft keine Kopfschmerztabletten.“

Du bist also auf der Suche nach allen Ergebnissen, wo ein %%\overline{K}%% vorkommt. Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:

%%E_1=\{H\overline{K}N; H\overline{K}\overline{N}; \overline{H}\overline{K}N\}%%

%%E_2%%: „Es wird Nasenspray und mindestens ein weiteres Produkt gekauft.“

Du bist also auf der Suche nach allen Ergebnissen, wo ein %%N%% und %%H%%, %%K%% oder beides vorkommt. Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:

%%E_2=\{HKN; H\overline{K}N; \overline{H}KN\}%%

%%E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}%%

Um es dir einfacher zu machen, kannst du hier die Regel von De Morgan anwenden, um %%E_3%% umzuformen:

%%E_3=\overline{\overline{E_1} \cup E_2}=E_1\cap \overline{E_2}%%

Deswegen sucht du alle Ergebnisse, die gleichzeitig in Ereignis %%E_1%%, aber nicht in Ereignis %%E_2%% sind (es muss beides gleichzeitig stimmen, weil du die Schnittmenge suchst).

Das ist bei folgenden Ergebnissen der Fall:

%%E_3=\{H\overline{K}\overline{N}; \overline{H}\overline{K}N\}%%

Möglichst einfache Formulierung

Für eine möglichst einfache Formulierung schaust du dir am besten die beiden Ergebnisse genauer an. Vielleicht fällt dir dabei auf, dass in beiden Fällen zweimal ein "Nicht" vorkommt. Bei beiden Ergebnissen wird also genau ein Medikament eingekauft, beim ersten nur Hustensaft und beim zweiten nur Nasenspray. Eine mögliche Formulierung könnte deshalb lauten:

Es wird entweder nur Hustensaft oder nur Nasenspray gekauft.

Wahrscheinlichkeit von %%E_3%%

Die Wahrscheinlichkeit von %%E_3%% kannst du nach den Pfadregeln berechnen. Unterschiedliche Pfade müssen dabei addiert werden:

%%P(E_3)=P(\{H\overline{K}\overline{N}\})+ P(\{\overline{H}\overline{K}N\})%%

Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe 1.1 einsetzen.

%%=0,08+0,6=0,68=68\% %%

Die Wahrscheinlichkeit für %%E_3%% beträgt %%68\% %%.

Lösung zur Teilaufgabe 1.3.1

Für diese Teilaufgabe musst du dich mit Vierfeldertafeln und mit stochastischer Unabhängigkeit auskennen.

Vierfeldertafel

Du zeichnest zuerst eine leere Vierfeldertafel mit den beiden Ereignissen, die in der Aufgabenstellung angegeben sind. Anschließend kannst du die schwarzen Werte aus dem Text entnehmen und schließlich die roten Werte über Additionen und Subtraktionen ausrechnen, wie das genau funktioniert, wird im Artikel zu Vierfeldertafeln erklärt.

%%\begin{array}{c|c|c|c} \ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\ \hline \mathrm{V} & 280 & \color{red}{70} & \color{red}{350} \\ \hline \mathrm{\overline V}& \color{red}{120} & 30 & \color{red}{150} \\ \hline \ & 400 & \color{red}{100} & 500 \\ \end{array}%%

Nun kannst du eine Vierfeldertafel mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten erstellen, indem du den Wert in jeder Zelle durch die Gesamtzahl %%500%% teilst. Vielleicht hast du auch direkt diese Vierfeldertafel erstellt:

%%\begin{array}{c|c|c|c} \ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\ \hline \mathrm{V} & 0,56 & 0,14& 0,7\\ \hline \mathrm{\overline V}& 0,24& 0,06 & 0,3 \\ \hline \ & 0,8 & 0,2 & 1 \\ \end{array}%%

Stochastische Unabhängigkeit

Überprüfung

Um zu überprüfen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, musst du folgende Formel nachrechnen. Stimmt sie (auf beiden Seiten erhältst du dasselbe Ergebnis), dann sind sie unabhängig.

%%P(A\cup V)=P(A)\cdot P(V)%%

%%P(A\cup V)%% kannst du in der Vierfeldertafel ablesen: %%P(A\cup V)=0,56%%

Auch die Werte für %%P(A)%% und %%P(V)%% kannst du ablesen und danach kannst du das Produkt ausrechnen:

%%P(A)\cdot P(V)=0,8\cdot 0,7=0,56%%

Damit stimmt die Formel und die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

Bedeutung im Sachzusammenhang

Die Verbesserung der Symptome hängt nicht von der Wahl des Medikaments ab. Sie ist bei Hustensaft A genauso gut wie bei Hustensaft B.

Lösung zur Teilaufgabe 1.3.2

Für die Berechnung von %%P(\overline A \cup V)%% solltest du den Satz von Sylvester kennen.

%%P(\overline A \cup V)=P(\overline A)+P(V)-P(\overline A \cap V)%%

%%P(\overline A \cup V)=P(\overline A)+P(V)-P(\overline A \cap V)%%

Lies die Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel ab.

%%=0,2+0,7-0,14=0,76%%

Das Ergebnis von %%P(\overline A \cup V)%% beträgt %%76\% %%.

2.0 Ein Pharmakonzern führt eine Untersuchung über die Wirksamkeit des Grippemittels G durch. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Tage bis zur vollständigen Genesung bei
Einnahme des Medikaments G an. Dabei ergibt sich mit %%a,b \in \mathbb{R}%% folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Zufallsgröße und zugeordnete Wahrscheinlichkeiten

2.1 Bestimmen Sie die Parameter a und b, wenn die vollständige Genesung im Durchschnitt nach 6,6 Tagen eintritt. (5 BE)

[Teilergebnis: a = 0,05]

2.2 Berechnen Sie mit den Werten von a und b aus Teilaufgabe 2.1 %%P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)%%. (4 BE)

2.3 Ermitteln Sie mithilfe der Werte aus Teilaufgabe 2.2 die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse auf 5 Nachkommastellen gerundet (6 BE):

%%E_4%%: „Von 20 Patienten sind nach 4 Tagen genau 4 vollständig genesen.“

%%E_5%%: „Von 100 Patienten tritt bei höchstens 30 die vollständige Genesung nach genau 7 Tagen ein.“

%%E_6%%: „Von 50 Patienten tritt bei mindestens 10 aber weniger als 20 die vollständige Genesung nach genau 7 Tagen ein.“

3.0 Der Pharmakonzern behauptet, dass bei höchstens 15% der Patienten nach der Einnahme des Medikaments G Nebenwirkungen auftreten. Der Apotheker glaubt jedoch, dass der Anteil höher ist (Gegenhypothese). Deshalb führt er eine Befragung bei 200 seiner Kunden durch, die das Medikament G genommen haben.

3.1 Geben Sie zu diesem Test die Testgröße und die Nullhypothese an und ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau. (5 BE)

3.2 Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn bei 35 der befragten Kunden Nebenwirkungen auftreten? Erläutern Sie im Sachzusammenhang, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht. (3 BE)

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