Gegeben ist die Funktion f\, f:  xe2xx\;\displaystyle x\mapsto\frac{e^{2x}}{x} mit Definitionsbereich Df=RD_f= \mathbb{R}\setminus{0}.
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von ff.
(5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Bilde die 1. Ableitung der Funktion ff.
Zur Berechnng der Ableitung kannst du die Quotientenregel benutzen.
Gegeben ist:      f(x)=e2xx        \;\;\;f(x)=\displaystyle \frac{e^{2x}}{x}\;\;\;\;\Rightarrow
f(x)=2e2xKettenregelx1e2xx2Quotientenregel  e2x  ausklammern=e2x(2x1)x2\begin {array}{rcll}f'(x)&=&\displaystyle \underbrace{\frac {\overbrace{\color{red}{2} \cdot e^{2x}}^{\color{red}{\text{Kettenregel}}} \cdot x - 1\cdot e^{2x}}{x^\color{red}2}}_{\color{red}{\text{Quotientenregel}}}&|\;e^{2x}\;\text{ausklammern}\\&=&\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\end{array}
Wenn dir die Quotientenregel an dieser Stelle nicht vertraut ist, kannst du auch die Produktregel zur Berechnung des möglichen Extremums benutzen, indem du den Funktionsterm f(x)f(x) als Produkt schreibst:
f(x)=e2xx=e2xx1f(x)=\displaystyle\frac{e^{2x}}{x}=e^{2x}\cdot x^{-1}
Die Produktregel ergibt dann:
f(x)=2e2xx1+e2x(1)x2=e2x(2x1x2)=e2x(2x1)x2\begin{array}{rcll}f'(x)&=&2e^{2x}\cdot x^{-1}+e^{2x}\cdot (-1)x^{-2}\\&=&e^{2x}\left(\displaystyle\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\\&=&\displaystyle\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\end{array}
Setze f(x)f'(x) gleich Null und löse die Gleichung:
e2x(2x1)x2=0  x2e2x>0(2x1)=0  :e2x2x1=0x=0,5\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}&=&0&\;|\,\cdot x^2\\\underbrace{e^{2x}}_{\color{red}{>0}}(2x-1)&=&\color{red}{0}&\;|:e^{2x}\\2x-1&=&0\\x&=&0,5\end{array}
Setze x=0,5x=0,5 in f(x)f(x) ein, um die 2. Koordinate des möglichen Extremums zu erhalten:
f(0,5)=20,50,5=e0,5=2ef(0,5)=\displaystyle \frac{2 \cdot 0,5}{0,5}=\frac{e}{0,5}=2e
Der Punkt M(0,52e)M(0,5|2e) ist ein mögliches lokales Extremum.
Im Aufgabentext war von "dem" zu bestimmenden Extrempunkt der Funktion ff die Rede.
Erst jetzt weißt du, dass MM tatsächlich der einzig mögliche ist.

Art des Extremums

Für das Vorliegen eines lokalen Extremums ist die Bedingung, dass die 1. Ableitung Null ist notwendig, aber nicht hinreichend.
Ob M(0,52e)M(0,5|2e) ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder aber ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente ist, bestimmst du indem du entweder zeigst, dass
a) die 2. Ableitung für x=0,5x=0,5 ungleich Null ist oder
b) die 1. Ableitung bei x=0,5x=0,5 ihr Vorzeichen wechselt, d.h. die Funktionswerte links und rechts von x=0,5x=0,5 verschiedene Vorzeichen haben.
Berechnung der 2. Ableitung
f(x)=e2x(2x1)x2f'(x)=\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\quad\Rightarrow
f(x)=[2e2x(2x1)+e2x2]Produktregelx22xe2x(2x1)x4Quotientenregel=xe2x[(4x2+2)x4x+2]x4=xe2x(4x24x+2)x4=2e2x(2x22x+1)x3\begin{array}{rcll}f''(x)&=&\displaystyle\overbrace{\frac{\overbrace{[2e^{2x}(2x-1)+e^{2x}\cdot 2]}^{\color{red}{\text{Produktregel}}}\cdot x^2-2xe^{2x}(2x-1)}{x^\color{red}4}}^{\color{red}{\text{Quotientenregel}}}\\&=&\displaystyle\frac{x\cdot e^{2x}[(4x-2+2)\cdot x-4x+2]}{x^4}\\&=&\displaystyle\frac{x\cdot e^{2x}(4x^2-4x+2)}{x^4}\\&=&\displaystyle\frac{2e^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}\end{array}
Setze x=0,5x=0,5 in f(x)f''(x) ein:
f(0,5)=2e10,50,53=8e>0f''(0,5)=\displaystyle \frac{2\cdot e^1\cdot 0,5}{0,5^3}=8e\,\color{red}{>}0
Daraus folgt, dass M(0,52e)M(0,5|2e) das lokale Minimum der Funktion ff ist.
Betrachtung des Vorzeichenwechsels der 1. Ableitung als alternativer Nachweis für die Extremwerteigenschaft des Punktes MM:
Der Nachweis, dass die Funktionswerte einer Funktion links bzw. rechts einer bestimmten Stelle x0x_0 verschiedenes Vorzeichen haben, ist bei Summentermen in der Regel nicht ohne weiteres möglich.
Ist der Funktionsterm aber ein Produkt, so liest du einen eventuellen Vorzeichenwechsel mühelos aus den Vorzeichen der einzelnen Faktoren ab.
Der Funktionsterm der Funktion ff' ist das Produkt von drei Faktoren:
f(x)=e2x1. Faktor(2x1)2. Faktorx23. Faktorf'(x)= \underbrace{e^{2x}}_{\text{1. Faktor}}\cdot \underbrace{(2x-1)}_\text{2. Faktor}\cdot \underbrace{x^{-2}}_{\text{3. Faktor}}
Daraus liest du den Vorzeichenwechsel von ff' ab:
Der 1. und der 3. Faktor sind "vorzeichenstabil". Sie sind sowohl für kleinere x-Werte als 0,5 wie auch für größere stets positiv.
Der 2. Faktor aber ist für x<0,5x<0,5 negativ und für x>0,5x>0,5 positiv.
Damit wechseln die Funktionswerte von ff' - als Produktwerte - beim Durchgang von links nach rechts bei x=0,5x=0,5 ihr Vorzeichen von minus nach plus.
Für x=0,5x=0,5 ergibt sich also ein lokales Minimum.
Wie die gestellte Aufgabe zeigt, ist die Benutzung der 2. Ableitung einer Funktion als hinreichender Nachweis für das Vorliegen eines lokalen Extremums nicht immer der zweckmäßige Weg.
Die Berechnung der 2. Ableitung ist - vor allem bei Funktionen mit Quotiententermen - vielfach zeitaufwendig und störanfällig.
Der Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung dagegen - besonders wenn diese faktorisiert, d.h. als Produktterm vorliegt - kann oft zeitsparend und ohne unangenehme Rechenfehler gezeigt werden.