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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f\, f:  xe2xx\;\displaystyle x\mapsto\frac{e^{2x}}{x} mit Definitionsbereich Df=RD_f= \mathbb{R}\setminus{0}.

    Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von ff.

    (5 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R}\setminus{0} definierte Funktion f:x11x2f:x\mapsto1-\displaystyle\frac{1}{x^2},

    welche die Nullstellen x1=1x_1=-1 und x2=1x_2=1 hat.

    Abb. 1

    Abbildung1 zeigt den Graphen von ff, der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

    Weiterhin ist die Gerade gg mit der Gleichung y=3y=-3 gegeben.

    a)

    Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen gg den Graphen von ff schneidet, die x-Koordinate 12\frac12 hat.

    b)

    Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von ff, die x-Achse und die Gerade gg einschließen.

  3. 3

    a)

    (3 BE)

    Betrachtet wird eine Schar von Funktionen hkh_k mit kR+k\in\mathbb{R}^+, die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen DkD_k unterscheiden.

    Es gilt   hk:xcosx\;h_k:\,x\mapsto cos \,x mit Dk=[0;k]D_k=[0;k].

    Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion h7h_7. Geben Sie den größtmöglichen Wert von kk an, sodass die zugehörige Funktion hkh_k umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von kk den Graphen der Umkehrfunktion von hkh_k in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

    Abb.4

    b)

    (2 BE)

    Geben Sie den Term einer in R\mathbb{R} definierten und umkehrbaren Funktion jj an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von jj und der Graph der Umkehrfunktion von jj haben keinen gemeinsamen Punkt.

  4. 4

    Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion ff.

    Bild
    1. Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von ff. Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

      Bild
    2. Die Funktion FF ist eine Stammfunktion von ff. Geben Sie das Monotonieverhalten von FF im Intervall [1;3][1;3] an. Begründen Sie Ihre Angabe.


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