Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben
Gegeben ist die Funktion  f\, f:  x↦e2xx\;\displaystyle x\mapsto\frac{e^{2x}}{x} mit Definitionsbereich Df=R∖D_f= \mathbb{R}\setminus{0}.
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von ff.
(5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Bilde die 1. Ableitung der Funktion ff.
Zur Berechnng der Ableitung kannst du die Quotientenregel benutzen.
Gegeben ist:      f(x)=e2xx        ⇒\;\;\;f(x)=\displaystyle \frac{e^{2x}}{x}\;\;\;\;\Rightarrow
f′(x)=2⋅e2x⏞Kettenregel⋅x−1⋅e2xx2⏟Quotientenregel∣  e2x  ausklammern=e2x(2x−1)x2\begin {array}{rcll}f'(x)&=&\displaystyle \underbrace{\frac {\overbrace{\color{red}{2} \cdot e^{2x}}^{\color{red}{\text{Kettenregel}}} \cdot x - 1\cdot e^{2x}}{x^\color{red}2}}_{\color{red}{\text{Quotientenregel}}}&|\;e^{2x}\;\text{ausklammern}\\&=&\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\end{array}
Alternatives Vorgehen
Wenn dir die Quotientenregel an dieser Stelle nicht vertraut ist, kannst du auch die Produktregel zur Berechnung des möglichen Extremums benutzen, indem du den Funktionsterm f(x)f(x) als Produkt schreibst:
f(x)=e2xx=e2x⋅x−1f(x)=\displaystyle\frac{e^{2x}}{x}=e^{2x}\cdot x^{-1}
Die Produktregel ergibt dann:
f′(x)=2e2x⋅x−1+e2x⋅(−1)x−2=e2x(2x−1x2)=e2x(2x−1)x2\begin{array}{rcll}f'(x)&=&2e^{2x}\cdot x^{-1}+e^{2x}\cdot (-1)x^{-2}\\&=&e^{2x}\left(\displaystyle\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\\&=&\displaystyle\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\end{array}
Setze f′(x)f'(x) gleich Null und löse die Gleichung:
e2x(2x−1)x2=0  ∣ ⋅x2e2x⏟>0(2x−1)=0  ∣:e2x2x−1=0x=0,5\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}&=&0&\;|\,\cdot x^2\\\underbrace{e^{2x}}_{\color{red}{>0}}(2x-1)&=&\color{red}{0}&\;|:e^{2x}\\2x-1&=&0\\x&=&0,5\end{array}
Setze x=0,5x=0,5 in f(x)f(x) ein, um die 2. Koordinate des möglichen Extremums zu erhalten:
f(0,5)=2⋅0,50,5=e0,5=2ef(0,5)=\displaystyle \frac{2 \cdot 0,5}{0,5}=\frac{e}{0,5}=2e
Der Punkt M(0,5∣2e)M(0,5|2e) ist ein mögliches lokales Extremum.
Hinweis zur Aufgabenstellung
Im Aufgabentext war von "dem" zu bestimmenden Extrempunkt der Funktion ff die Rede.
Erst jetzt weißt du, dass MM tatsächlich der einzig mögliche ist.

Art des Extremums

Für das Vorliegen eines lokalen Extremums ist die Bedingung, dass die 1. Ableitung Null ist notwendig, aber nicht hinreichend.
Ob M(0,5∣2e)M(0,5|2e) ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder aber ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente ist, bestimmst du indem du entweder zeigst, dass
a) die 2. Ableitung für x=0,5x=0,5 ungleich Null ist oder
b) die 1. Ableitung bei x=0,5x=0,5 ihr Vorzeichen wechselt, d.h. die Funktionswerte links und rechts von x=0,5x=0,5 verschiedene Vorzeichen haben.
Berechnung der 2. Ableitung
f′(x)=e2x(2x−1)x2⇒f'(x)=\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\quad\Rightarrow
f′′(x)=[2e2x(2x−1)+e2x⋅2]⏞Produktregel⋅x2−2xe2x(2x−1)x4⏞Quotientenregel=x⋅e2x[(4x−2+2)⋅x−4x+2]x4=x⋅e2x(4x2−4x+2)x4=2e2x(2x2−2x+1)x3\begin{array}{rcll}f''(x)&=&\displaystyle\overbrace{\frac{\overbrace{[2e^{2x}(2x-1)+e^{2x}\cdot 2]}^{\color{red}{\text{Produktregel}}}\cdot x^2-2xe^{2x}(2x-1)}{x^\color{red}4}}^{\color{red}{\text{Quotientenregel}}}\\&=&\displaystyle\frac{x\cdot e^{2x}[(4x-2+2)\cdot x-4x+2]}{x^4}\\&=&\displaystyle\frac{x\cdot e^{2x}(4x^2-4x+2)}{x^4}\\&=&\displaystyle\frac{2e^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}\end{array}
Setze x=0,5x=0,5 in f′′(x)f''(x) ein:
f′′(0,5)=2⋅e1⋅0,50,53=8e >0f''(0,5)=\displaystyle \frac{2\cdot e^1\cdot 0,5}{0,5^3}=8e\,\color{red}{>}0
Daraus folgt, dass M(0,5∣2e)M(0,5|2e) das lokale Minimum der Funktion ff ist.
Betrachtung des Vorzeichenwechsels der 1. Ableitung als alternativer Nachweis für die Extremwerteigenschaft des Punktes MM:
Der Nachweis, dass die Funktionswerte einer Funktion links bzw. rechts einer bestimmten Stelle x0x_0 verschiedenes Vorzeichen haben, ist bei Summentermen in der Regel nicht ohne weiteres möglich.
Ist der Funktionsterm aber ein Produkt, so liest du einen eventuellen Vorzeichenwechsel mühelos aus den Vorzeichen der einzelnen Faktoren ab.
Der Funktionsterm der Funktion f′f' ist das Produkt von drei Faktoren:
f′(x)=e2x⏟1. Faktor⋅(2x−1)⏟2. Faktor⋅x−2⏟3. Faktorf'(x)= \underbrace{e^{2x}}_{\text{1. Faktor}}\cdot \underbrace{(2x-1)}_\text{2. Faktor}\cdot \underbrace{x^{-2}}_{\text{3. Faktor}}
Daraus liest du den Vorzeichenwechsel von f′f' ab:
Der 1. und der 3. Faktor sind "vorzeichenstabil". Sie sind sowohl für kleinere x-Werte als 0,5 wie auch für größere stets positiv.
Der 2. Faktor aber ist für x<0,5x<0,5 negativ und für x>0,5x>0,5 positiv.
Damit wechseln die Funktionswerte von f′f' - als Produktwerte - beim Durchgang von links nach rechts bei x=0,5x=0,5 ihr Vorzeichen von minus nach plus.
Für x=0,5x=0,5 ergibt sich also ein lokales Minimum.
Prüfungstaktischer Hinweis
Wie die gestellte Aufgabe zeigt, ist die Benutzung der 2. Ableitung einer Funktion als hinreichender Nachweis für das Vorliegen eines lokalen Extremums nicht immer der zweckmäßige Weg.
Die Berechnung der 2. Ableitung ist - vor allem bei Funktionen mit Quotiententermen - vielfach zeitaufwendig und störanfällig.
Der Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung dagegen - besonders wenn diese faktorisiert, d.h. als Produktterm vorliegt - kann oft zeitsparend und ohne unangenehme Rechenfehler gezeigt werden.

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Gegeben ist die in R∖\mathbb{R}\setminus{0} definierte Funktion f:x↦1−1x2f:x\mapsto1-\displaystyle\frac{1}{x^2},
die die Nullstellen x1=−1x_1=-1 und x2=1x_2=1 hat.
Abb. 1
Abbildung1 zeigt den Graphen von ff, der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
Weiterhin ist die Gerade gg mit der Gleichung y=−3y=-3 gegeben.
a)
Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen gg den Graphen von ff schneidet, die x-Koordinate 12\frac12 hat.
b)
Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von ff, die x-Achse und die Gerade gg einschließen.
Im Zusammenhang mit einer gegebenen gebrochenrationalen Funktion ist ein Flächenstück zu berechnen.
Hinweis zur Aufgabenstellung
Von dem in der Abbildung 1 vorgegebenen Graphen der Funktion f: x↦ 1−1x2f:\,x\mapsto\,1-\frac{1}{x^2} ist als Eigenschaft angegeben, dass er zur y-Achse symmetrisch ist.
Dies kannst du aber auch selbst erkennen, da gilt:
f(−x)=1−1(−x)2=1−1x2=f(x)\displaystyle f(-x)=1-\frac{1}{(-x)^2}=1-\frac{1}{x^2}=f(x) für alle x∈Dfx\in D_f.
Dieser "Hilfestellung" kannst du entnehmen, dass die angesprochene Symmetrieeigenschaft im Verlauf der Lösung eine Rolle spielt.

Lösung Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sind die beiden Funktionen
f:x↦1−1x2f:x\mapsto 1-\frac{1}{x^2} und
g:x↦−3g:x\mapsto -3
Setze die beiden Funktionsterme gleich und löse die Gleichung.
%%\begin{array}{rcll}\displaystyle 1-\frac{1}{x^2}&=&-3&|\cdot\,x^2\\ x^2-1&=&-3x^2&|+3x^2+1\\4x^2&=&1&|:4\\x^2&=&\displaystyle \frac{1}{4}&| \sqrt{}\\x_1&=&\displaystyle +\frac 12\\x_2&=&\displaystyle -\frac 12\end{array}%%
Einer der beiden Schnittpunkte der Graphen von ff und gg ist der Punkt S(0,5∣−3)S(0,5|-3).

Lösung Teilaufgabe b)

Die Teilaufgabe verlangt eine Flächenberechnung.
Schraffiere zunächst die zu berechnende Fläche in einer Skizze.
Achtung:
Gemeint ist eine Fläche, deren Rand allein aus Teilen des Graphen von ff, aus Teilen der x-Achse und Teilen des Graphen von gg besteht.
Die richtige Fläche
richtig
Eine falsche Fläche
falsche Fläche
Die Fläche A′A' ist deshalb nicht die gemeinte Fläche, da ihr Rand einen Teil der y-Achse enthält.
Dennoch ist A′A' hilfreich zur Berechnung der Fläche AA, da - wegen der Symmetrie des Graphen von ff zur y-Achse - gilt: A=2⋅A′A=2\cdot A'

Flächenberechnung
So berechnest du die Fläche A′A':
A′=RechteckABCD  +∣∫0,51f(x)dx  ∣=0,5⋅3+ ∣∫0,51(1−1x2)dx ∣Beachte:∫1x2dx=∫x−2dx=−x−1+c=   1,5+∣ [x+x−1]0,51 ∣=   1,5+∣(1+1)−(0,5+2)∣=   1,5+0,5A′=     2\begin{array}{rcll}A'&=&\text{Rechteck}_{ABCD}\;+\displaystyle{\big|}\int_{0,5}^1f\left(x\right)\mathrm{dx}\;{\big|}\\&=&\quad 0,5\cdot 3\quad\quad+\,\big |\displaystyle \int_{0,5}^1 (1-\frac{1}{x^2})\mathrm{dx}\,\big |&\text{Beachte:}\int \frac{1}{x^2}\mathrm{dx}=\int x^{-2}\mathrm{dx}=-x^{-1}+c\\&=&\quad\;\,1,5\quad\quad\quad+\big |\,\big [x+x^{-1}\big ]_{0,5}^1\,\big |\\&=&\quad\;\,1,5\quad\quad\quad +\big |(1+1)-(0,5+2) \big |\\&=&\quad\;\,1,5\quad\quad\quad+\quad\quad 0,5\\A'&=&\quad\;\;\,2\end{array}
Damit gilt für die gesuchte Fläche AA der Teilaufgabe:

A=2⋅A′=4\displaystyle A= 2 \cdot A'= 4

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Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion %%f%%.

Abb. 2

a)

(3 BE)

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von %%f%%. Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Abb. 3

b)

(2 BE)

Die Funktion %%F%% ist eine Stammfunktion von %%f%%. Geben Sie das Monotonieverhalten von %%F%% im Intervall %%[1;3]%% an. Begründen Sie Ihre Angabe.

Aus gegebenen Graphen sind charakteristische Eigenschaften der zugehörigen Funktionen zu erschließen bzw. im Rahmen der Zeichengenauigkeit vernünftig abzuschätzen.

Lösung Teilaufgabe a)

Funktion f

Ableitungsfunktion

Infrage kommt nur der Graph I.

Begründung:

Der Graph der Funktion %%f%% hat für die (geschätzten) Werte %%x_1=-2%% und %%x_2=+2%% lokale Extrema.

Die Ableitungsfunktion %%f'%% der Funktion %%f%% muss deshalb (etwa) für diese Werte Nullstellen haben.

Damit scheidet Graph II aus.

Dem Graphen von %%f%% entnimmt man für %%x=0%% eine (Wende-)Tangente mit einer geschätzten Steigung von -1.

Damit scheidet Graph III aus. Denn für diesen Graph gilt %%f'(0)\approx-2%%. Der Graph I dagegen passt mit %%\approx -0,9%% gut.

Vertiefung der Aufgabenstellung

Der gegebene Graph von %%f%% ist allem Anschein nach punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und deshalb könnte zu ihm näherungsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grades passen. (Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt!)

Damit ist der gesuchte Graph der Ableitungsfunktion tatsächlich "parabelförmig", wie in allen drei zur Auswahl stehenden Graphen angedeutet.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Lösung der Aufgabe verlangt die Vertrautheit mit dem Zusammenhang einer Funktion und einer ihrer Stammfunktionen und Kenntnis eines Monotoniekriteriums.

Ergebnis:

Jede Stammfunktion %%F%% ist im Intervall %%[1;3]%% monoton fallend.

Begründung:

Für jede Stammfunktion %%F%% ist %%f%% die zugehörige Ableitungsfunktion.

Da %%f%% im Intervall %%[1;3]%% negativ ist, ist nach dem Monotoniekriterium differenzierbarer Funktion %%F%% monoton fallend.

Graphische Veranschaulichung

Die Teilaufgabe b) war in der Abiturprüfung ohne graphische Bezugnahme - aus Zeitersparnisgründen - zu lösen.

Außerhalb des Prüfungsstresses kann eine graphische Veranschaulichung dem Verständnis sicherlich förderlich sein.

Veranschulichung

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a)

(3 BE)

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen %%h_k%% mit %%k\in\mathbb{R}^+%%, die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen %%D_k%% unterscheiden.

Es gilt %%\;h_k:\,x\mapsto cos \,x%% mit %%D_k=[0;k]%%.

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion %%h_7%%. Geben Sie den größtmöglichen Wert von %%k%% an, sodass die zugehörige Funktion %%h_k%% umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von %%k%% den Graphen der Umkehrfunktion von %%h_k%% in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

Abb.4

b)

(2 BE)

Geben Sie den Term einer in %%\mathbb{R}%% definierten und umkehrbaren Funktion %%j%% an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von %%j%% und der Graph der Umkehrfunktion von %%j%% haben keinen gemeinsamen Punkt.

Im Teil a) sind die Funktionen einer Funktionenschar zu erkennen und zu unterscheiden. Zu einer umkehrbaren Funktion der Schar ist graphisch die Umkehrfunktion zu zeichnen.

Im Teil b) ist eine umkehrbare Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften anzugeben.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters in einer Funktionenschar und Kenntnisse zur Umkehrbarkeit von Funktionen.

Lösung Teilaufgabe a)

Hinführung zum Aufgabenverständnis

Findet sich eine Gruppe von Personen zusammen, so spricht man auch von einer Menschenschar.

Werden bei einer Aufgabe mehrere Funktionen gleichzeitg angesprochen, so spricht man von einer "Funktionenschar".

Dabei ist es unerheblich, wie viele Funktionen zu betrachten sind. Es kann sich um vergleichsweise wenige - also vielleicht nur zwei oder drei -, es kann sich aber auch - und das ist sogar der Normalfall - um sehr viele Funktionen, sogar um unendlich viele handeln.

Um wie viele Funktionen es sich handelt, wird durch den sogenannten "Scharparameter" und seine Anzahl festgelegt.

Jeder einzelne Scharparameter bestimmt "seine" Funktion.

In dieser Aufgabe wird für den Scharparameter der Buchstabe k gewählt. Jede zu einem festen Wert %%k%% gehörende Funktion heißt hier %%h_k%%.

Für das Verständnis von Funktionenscharen ist nun wichtig zu beachten:

Funktionen, die den gleichen Funktionsterm, aber verschiedene Definitionsmengen haben, sind verschiedene Funktionen.

Und genau dies trifft für alle Funktionen %%h_k%% dieser Schar zu:

Jede Funktion hat den Funktionsterm %%cos\,x%% (in dem %%k%% also gar nicht vorkommt), aber den Definitionsbereich %%D_k\in[0;k]%%.

Die einzelnen Graphen der Funktionenschar sind also Kosinuslinien, die bei %%x=0%% beginnen und jeweils bei %%x=k%% enden. Sie unterscheiden sich also lediglich in ihrer Länge.

Und da gilt, dass für %%k%% jede positive reelle Zahl infrage kommt (%%\;k\in\mathbb{R}^+%%), besteht die Kurvenschar aus unendlich vielen dieser Kosinuslinien beliebiger Längen.

Die Funktionenschar besteht wegen %%k\in \mathrm{R}^+%% aus unendlich vielen Graphen mit dem Funktionsterm %%cos\,x%%, die alle bei %%x=0%% beginnen und für jedes gewählte %%k%% bei %%x=k%% enden, da gilt %%D_k=[0;k]%%.

Die Graphen sind also Kosinusgraphen unterschiedlicher Länge.

Der größtmögliche Wert für %%k%%, damit %%h_k%% umkehrbar ist, ist %%k=\pi%%.

Begründung:

Alle %%h_k%% mit %%0<k\leq\pi%% sind monton fallend und damit umkehrbar.

Umkehrfunktion

Lösung Teilaufgabe b)

Eine in %%\mathrm{R}%% definierte Funktion %%j%%, die im ganzen Verlauf umkehrbar ist, muss monoton steigend oder monoton fallend sein.

Damit der Graph von %%j%% und der Graph ihrer Umkehrfunktion %%j^{-1}%% keinen Punkt gemeinsam haben, darf der Graph von %%j%% mit der Winkelhalbierenden %%w:x\mapsto x%% keinen Punkt gemeinsam haben.

Beispiele sind:

  • Die e-Funktion: %%j:x\mapsto e^x%% mit %%D=\mathrm{R}%%

  • Eine lineare Funktion: %%j: x \mapsto x +c;\; c\neq 0%% mit %%D=\mathrm{R}%%

e-Funktion

lineare Funktion

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