Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1
Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Lösung Teilaufgabe a)
Lösung Teilaufgabe b)



Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion %%f%%.
a)
(3 BE)
Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von %%f%%. Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
b)
(2 BE)
Die Funktion %%F%% ist eine Stammfunktion von %%f%%. Geben Sie das Monotonieverhalten von %%F%% im Intervall %%[1;3]%% an. Begründen Sie Ihre Angabe.
Aus gegebenen Graphen sind charakteristische Eigenschaften der zugehörigen Funktionen zu erschließen bzw. im Rahmen der Zeichengenauigkeit vernünftig abzuschätzen.
Lösung Teilaufgabe a)
Infrage kommt nur der Graph I.
Begründung:
Der Graph der Funktion %%f%% hat für die (geschätzten) Werte %%x_1=-2%% und %%x_2=+2%% lokale Extrema.
Die Ableitungsfunktion %%f'%% der Funktion %%f%% muss deshalb (etwa) für diese Werte Nullstellen haben.
Damit scheidet Graph II aus.
Dem Graphen von %%f%% entnimmt man für %%x=0%% eine (Wende-)Tangente mit einer geschätzten Steigung von -1.
Damit scheidet Graph III aus. Denn für diesen Graph gilt %%f'(0)\approx-2%%. Der Graph I dagegen passt mit %%\approx -0,9%% gut.
Der gegebene Graph von %%f%% ist allem Anschein nach punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und deshalb könnte zu ihm näherungsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grades passen. (Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt!)
Damit ist der gesuchte Graph der Ableitungsfunktion tatsächlich "parabelförmig", wie in allen drei zur Auswahl stehenden Graphen angedeutet.
Lösung Teilaufgabe b)
Die Lösung der Aufgabe verlangt die Vertrautheit mit dem Zusammenhang einer Funktion und einer ihrer Stammfunktionen und Kenntnis eines Monotoniekriteriums.
Ergebnis:
Jede Stammfunktion %%F%% ist im Intervall %%[1;3]%% monoton fallend.
Begründung:
Für jede Stammfunktion %%F%% ist %%f%% die zugehörige Ableitungsfunktion.
Da %%f%% im Intervall %%[1;3]%% negativ ist, ist nach dem Monotoniekriterium differenzierbarer Funktion %%F%% monoton fallend.
Die Teilaufgabe b) war in der Abiturprüfung ohne graphische Bezugnahme - aus Zeitersparnisgründen - zu lösen.
Außerhalb des Prüfungsstresses kann eine graphische Veranschaulichung dem Verständnis sicherlich förderlich sein.
a)
(3 BE)
Betrachtet wird eine Schar von Funktionen %%h_k%% mit %%k\in\mathbb{R}^+%%, die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen %%D_k%% unterscheiden.
Es gilt %%\;h_k:\,x\mapsto cos \,x%% mit %%D_k=[0;k]%%.
Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion %%h_7%%. Geben Sie den größtmöglichen Wert von %%k%% an, sodass die zugehörige Funktion %%h_k%% umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von %%k%% den Graphen der Umkehrfunktion von %%h_k%% in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.
b)
(2 BE)
Geben Sie den Term einer in %%\mathbb{R}%% definierten und umkehrbaren Funktion %%j%% an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von %%j%% und der Graph der Umkehrfunktion von %%j%% haben keinen gemeinsamen Punkt.
Im Teil a) sind die Funktionen einer Funktionenschar zu erkennen und zu unterscheiden. Zu einer umkehrbaren Funktion der Schar ist graphisch die Umkehrfunktion zu zeichnen.
Im Teil b) ist eine umkehrbare Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften anzugeben.
Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters in einer Funktionenschar und Kenntnisse zur Umkehrbarkeit von Funktionen.
Lösung Teilaufgabe a)
Findet sich eine Gruppe von Personen zusammen, so spricht man auch von einer Menschenschar.
Werden bei einer Aufgabe mehrere Funktionen gleichzeitg angesprochen, so spricht man von einer "Funktionenschar".
Dabei ist es unerheblich, wie viele Funktionen zu betrachten sind. Es kann sich um vergleichsweise wenige - also vielleicht nur zwei oder drei -, es kann sich aber auch - und das ist sogar der Normalfall - um sehr viele Funktionen, sogar um unendlich viele handeln.
Um wie viele Funktionen es sich handelt, wird durch den sogenannten "Scharparameter" und seine Anzahl festgelegt.
Jeder einzelne Scharparameter bestimmt "seine" Funktion.
In dieser Aufgabe wird für den Scharparameter der Buchstabe k gewählt. Jede zu einem festen Wert %%k%% gehörende Funktion heißt hier %%h_k%%.
Für das Verständnis von Funktionenscharen ist nun wichtig zu beachten:
Funktionen, die den gleichen Funktionsterm, aber verschiedene Definitionsmengen haben, sind verschiedene Funktionen.
Und genau dies trifft für alle Funktionen %%h_k%% dieser Schar zu:
Jede Funktion hat den Funktionsterm %%cos\,x%% (in dem %%k%% also gar nicht vorkommt), aber den Definitionsbereich %%D_k\in[0;k]%%.
Die einzelnen Graphen der Funktionenschar sind also Kosinuslinien, die bei %%x=0%% beginnen und jeweils bei %%x=k%% enden. Sie unterscheiden sich also lediglich in ihrer Länge.
Und da gilt, dass für %%k%% jede positive reelle Zahl infrage kommt (%%\;k\in\mathbb{R}^+%%), besteht die Kurvenschar aus unendlich vielen dieser Kosinuslinien beliebiger Längen.
Die Funktionenschar besteht wegen %%k\in \mathrm{R}^+%% aus unendlich vielen Graphen mit dem Funktionsterm %%cos\,x%%, die alle bei %%x=0%% beginnen und für jedes gewählte %%k%% bei %%x=k%% enden, da gilt %%D_k=[0;k]%%.
Die Graphen sind also Kosinusgraphen unterschiedlicher Länge.
Der größtmögliche Wert für %%k%%, damit %%h_k%% umkehrbar ist, ist %%k=\pi%%.
Begründung:
Alle %%h_k%% mit %%0<k\leq\pi%% sind monton fallend und damit umkehrbar.
Lösung Teilaufgabe b)
Eine in %%\mathrm{R}%% definierte Funktion %%j%%, die im ganzen Verlauf umkehrbar ist, muss monoton steigend oder monoton fallend sein.
Damit der Graph von %%j%% und der Graph ihrer Umkehrfunktion %%j^{-1}%% keinen Punkt gemeinsam haben, darf der Graph von %%j%% mit der Winkelhalbierenden %%w:x\mapsto x%% keinen Punkt gemeinsam haben.
Beispiele sind:
Die e-Funktion: %%j:x\mapsto e^x%% mit %%D=\mathrm{R}%%
Eine lineare Funktion: %%j: x \mapsto x +c;\; c\neq 0%% mit %%D=\mathrm{R}%%