Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Gegeben ist die Funktion $\sf \, f$ : $\sf \; x\mapsto\dfrac{e^{2x}}{x}$ mit Definitionsbereich $\sf D_f= \mathbb{R}\setminus$ {0}.

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $\sf f$ .

(5 BE)

Gegeben ist die in $\sf \mathbb{R}\setminus$ {0} definierte Funktion $\sf f:x\mapsto1-\dfrac{1}{x^2}$ ,

die die Nullstellen $\sf x_1=-1$ und $\sf x_2=1$ hat.

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Abbildung1 zeigt den Graphen von $\sf f$ , der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Weiterhin ist die Gerade $\sf g$ mit der Gleichung $\sf y=-3$ gegeben.

Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen $\sf g$ den Graphen von $\sf f$ schneidet, die x-Koordinate $\sf \dfrac12$ hat.

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $\sf f$ , die x-Achse und die Gerade $\sf g$ einschließen.

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $\sf f$ .

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(3 BE)

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $\sf f$ . Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

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(2 BE)

Die Funktion $\sf F$ ist eine Stammfunktion von $\sf f$ . Geben Sie das Monotonieverhalten von $\sf F$ im Intervall $\sf [1;3]$ an. Begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen $\sf h_k$ mit $\sf k\in\mathbb{R}^+$ , die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen $\sf D_k$ unterscheiden.

Es gilt $\sf \;h_k:\,x\mapsto cos \,x$ mit $\sf D_k=[0;k]$ .

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $\sf h_7$ . Geben Sie den größtmöglichen Wert von $\sf k$ an, sodass die zugehörige Funktion $\sf h_k$ umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von $\sf k$ den Graphen der Umkehrfunktion von $\sf h_k$ in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

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(2 BE)

Geben Sie den Term einer in $\sf \mathbb{R}$ definierten und umkehrbaren Funktion $\sf j$ an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von $\sf j$ und der Graph der Umkehrfunktion von $\sf j$ haben keinen gemeinsamen Punkt.

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