Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f$ .

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f$ . Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen
Aus gegebenen Graphen sind charakteristische Eigenschaften der zugehörigen Funktionen zu erschließen bzw. im Rahmen der Zeichengenauigkeit vernünftig abzuschätzen.
Infrage kommt nur der Graph I.
Begründung:
Der Graph der Funktion $f$ hat für die (geschätzten) Werte $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = + 2$ lokale Extrema.
Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ der Funktion $f$ muss deshalb (etwa) für diese Werte Nullstellen haben.
Damit scheidet Graph II aus.
Dem Graphen von $f$ entnimmt man für $x = 0$ eine (Wende-)Tangente mit einer geschätzten Steigung von -1.
Damit scheidet Graph III aus. Denn für diesen Graph gilt $f^{'} (0) \approx - 2$ . Der Graph I dagegen passt mit $\approx - 0,9$ gut.
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Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$ . Geben Sie das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1; 3]$ an. Begründen Sie Ihre Angabe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen
Die Lösung der Aufgabe verlangt die Vertrautheit mit dem Zusammenhang einer Funktion und einer ihrer Stammfunktionen und Kenntnis eines Monotoniekriteriums.
Ergebnis:
Jede Stammfunktion $F$ ist im Intervall $[1; 3]$ monoton fallend.
Begründung:
Für jede Stammfunktion $F$ ist $f$ die zugehörige Ableitungsfunktion.
Da $f$ im Intervall $[1; 3]$ negativ ist, ist nach dem Monotoniekriterium differenzierbarer Funktion $F$ monoton fallend.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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