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Aufgaben

Gegeben ist ein Rechteck ABCD mit den Eckpunkten A(5|-4|-3), B(5|4|3), C(0|4|3) und D.

a)

(3 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten von D und geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke [AC] an.

b)

(2 BE)

Begründen Sie, dass die Dreiecke BCM und ABM den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen.

In einem räumlichen Koordinatensystem sind Berechnungen und Überlegungen für ein Rechteck durchzuführen.

Lösung Teilaufgabe a)

a)

(3 BE)

Gegeben sind die drei Eckpunkte %%A(5|-4|-3)%%, %%B(5|4|3)%% und %%C(0|4|3)%% eines Rechtecks %%ABCD%%. Die Koordinaten des vierten Eckpunkts %%D%% und des Mittelpunktes der Diagonalen %%[AC]%% sind zu berechnen.

Was du als gegeben betrachten darfst:

Der Innenwinkel %%\beta%% beim Eckpunkt %%B%%

beträgt %%90°%%. (Sonst würde %%ABCD%% kein Rechteck ergeben können!)

Da Gegenseiten im Rechteck parallel und gleich lang sind, erhältst du den Eckpunkt %%D%% so:

%%\begin{align} \overrightarrow{OD}&=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}\\ &=\pmatrix{0\\4\\3}+\left[\pmatrix{5\\-4\\-3}-\pmatrix{5\\4\\3}\right]\\ &=\pmatrix{0\\4\\3}+\pmatrix{0\\-8\\-6}\\ &=\pmatrix{0\\-4\\-3}\end{align}%%

Ergebnis:

%%D(0|-4|-3)%% ist der gesuchte vierte Eckpunkt des Vierecks.

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte der Strecke.

Also gilt für den gesuchten Mittelpunkt %%M(m_1|m_2|m_3)%% der Strecke %%[AC]%%:

%%m_1=\displaystyle \frac{5+0}{2}=2,5\quad%%und

%%m_2=\displaystyle \frac{-4+4}{2}=0\quad\;%%und

%%m_3=\displaystyle \frac {-3+3}{2}=0%%

Ergebnis:

%%M(2,5|0|0)%% ist der gesuchte Mittelpunkt der Strecke %%[AC]%%.

Mittelpunkt einer Strecke als Teilungspunkt der Strecke

Ist eine Strecke %%[AB]%% durch die Gleichung

%%\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot \overrightarrow {AB}%% mit %%0\leq \lambda \leq 1\quad%%gegeben, so erhältst du den Mittelpunkt als besonderen Teilungspunkt der Strecke für %%\lambda= \frac12%%.

Hier:

%%[AC]:\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\-4\\-3}+\lambda \cdot \pmatrix{-5\\8\\6}%%

%%\lambda=\frac12%% ergibt %%M(2,5|0|0)%%.

Lösung Teilaufgabe b)

b)

(2 BE)

Für eine Dreiecksfläche gilt:

%%A_\triangle=\displaystyle \frac12 \cdot \text {Grundlinie} \cdot \text{Höhe}%%

Beide Dreiecke haben eine gleich lange Grundlinie

%%\mathrm{\overline {AM}}=\mathrm{\overline {MC}}=\frac 12 \cdot \overline {AC}%% und die gleiche dazugehörige Höhe, den Abstand des Punktes %%B%% von der Grundlinie.

Somit haben die Dreiecke %%BCM%% und %%ABM%% den gleichen Flächeninhalt.

Dreiecke

a)

(2 BE)

Die Ebene %%E%%: %%3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6%% enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

b)

(3 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit der Normalenform von Ebenengleichungen und Kenntnisse über Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im %%\mathbb{R^3}%%.

Lösung Teilaufgabe a)

a)

(2 BE)

Setze den Punkt %%P(\color{red}{p}|\color{red}{p}|\color{red}{p})%% in die Ebenengleichung %%3x_1+2x_2+2x_3=6%% von %%E%% ein und löse die Gleichung nach %%p%% auf.

%%\begin{align} 3\cdot p+2\cdot p +2\cdot p&=6\\ 7\cdot p&=6\\ p&=\displaystyle \frac67\end{align}%%

Ergebnis:

Der Punkt %%P(\frac67|\frac67|\frac67)%% liegt auf der Ebene %%E%%.

Lösung Teilaufgabe b)

b)

(3 BE)

So begründest du - ohne besonderen rechnerischen Nachweis - die Behauptung:

Alle Punkte des Raums mit drei gleichen Koordinaten liegen auf derselben Geraden %%g:\overrightarrow{x}=\lambda\cdot \pmatrix{1\\1\\1};\;\lambda \in \mathbb{R}%%.

Jede der unendlich vielen Ebenen, zu denen %%g%% (echt) parallel ist, erfüllt die Behauptung, enthält also keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Alternative Begründung

Keine der unendlich vielen Ebenen %%E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=c%% mit %%c\neq0%% und %%n_1+n_2+n_3=0%% enthält einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten.

Denn kein Punkt %%P(p|p|p)%% erfüllt die Ebenengleichung:

%%\begin {align}n_1\cdot p+n_2\cdot p+n_3 \cdot p&= c\\ p\cdot \underbrace{(n_1+n_2+n_3)}_{\color{red}{0}}&= c\\ 0&=c\end{align}%%

Es soll aber %%c\neq 0%% sein!

Anmerkung

Die beiden dargestellten Möglichkeiten zur Begründung der Behauptung der Aufgabe hängen zusammen:

Die Gerade %%g:\overrightarrow{x}=\lambda \cdot \pmatrix{1\\1\\1}%% ist genau dann zu einer Ebene %%E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=c%% echt parallel, wenn %%c\neq 0%% und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist. Wenn also gilt:

%%\pmatrix{1\\1\\1}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}=0\quad\Rightarrow \;n_1+n_2+n_3=0%%.

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