Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$ . $G_f$ schneidet die x-Achse bei $x=0$ , $x=5$ und $x=10$ und verläuft durch den Punkt $(1|2)$ .
a)
(4 BE)
Ermitteln Sie einen Funktionsterm von $f$ .
(zur Kontrolle:
$f(x)=\frac{1}{18}\cdot(x^3-15x^2+50x)$
b)
(6 BE)
Zeigen Sie, dass $G_f$ im Punkt $W(5|0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ .
c)
(4 BE)
$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:x\,\mapsto\,\frac{1}{18}(x^3-25x)$ durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion $g$ , dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
Im Folgenden wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_1$ mit $\displaystyle F_1(x)=\int_1^ x f(t)dt$ betrachtet.
d)
(3 BE)
$F_1$ hat für $0\leq x \leq 10$ zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.
e)
(2 BE)
Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass $F_1$ mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.
f)
(2 BE)
Begründen Sie, dass $F_1$ höchstens vier Nullstellen hat.
g)
(6 BE)
Für $0\leq x \leq 5$ gilt, dass der Graph von $f$ und der Graph einer trigonometrischen Funktion $h$
die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,
beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,
jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts $\frac{625}{72}$ einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion $h$ .
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K:x\,\mapsto x^3-12x^2+50x+20$ mit $x\,\in[0;9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in $1000$ Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $K$ .
a) 3 BE
Geben Sie mit Hilfe von Abbildung 2
die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125000$ Euro betragen.
das Monotonieverhalten von $K$ an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)=E(x)-K(x)$ . Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
b) 2 BE
Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
c) 3 BE
Zeichnen Sie den Graphen von $E$ in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
d) 5 BE
Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

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