Gegeben ist die in %%\mathbb{R}\setminus%%{0} definierte Funktion %%f:x\mapsto1-\displaystyle\frac{1}{x^2}%%,

die die Nullstellen %%x_1=-1%% und %%x_2=1%% hat.

Abb. 1

Abbildung1 zeigt den Graphen von %%f%%, der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Weiterhin ist die Gerade %%g%% mit der Gleichung %%y=-3%% gegeben.

a)

(1 BE)

Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen %%g%% den Graphen von %%f%% schneidet, die x-Koordinate %%\frac12%% hat.

b)

(4 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von %%f%%, die x-Achse und die Gerade %%g%% einschließen.

Im Zusammenhang mit einer gegebenen gebrochenrationalen Funktion ist ein Flächenstück zu berechnen.

Hinweis zur Aufgabenstellung

Von dem in der Abbildung 1 vorgegebenen Graphen der Funktion %%f:\,x\mapsto\,1-\frac{1}{x^2}%% ist als Eigenschaft angegeben, dass er zur y-Achse symmetrisch ist.

Dies kannst du aber auch selbst erkennen, da gilt:

%%\displaystyle f(-x)=1-\frac{1}{(-x)^2}=1-\frac{1}{x^2}=f(x)%% für alle %%x\in D_f%%.

Dieser "Hilfestellung" kannst du entnehmen, dass die angesprochene Symmetrieeigenschaft im Verlauf der Lösung eine Rolle spielt.

Lösung Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sind die beiden Funktionen

%%f:x\mapsto 1-\frac{1}{x^2}%% und

%%g:x\mapsto -3%%

zu schneiden.

Setze die beiden Funktionsterme gleich und löse die Gleichung.

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle 1-\frac{1}{x^2}&=&-3&|\cdot\,x^2\\ x^2-1&=&-3x^2&|+3x^2+1\\ 4x^2&=&1&|:4\\ x^2&=&\displaystyle \frac{1}{4}&| \sqrt{} \\ x_1&=&\displaystyle +\frac 12\\ x_2&=&\displaystyle -\frac 12\end{array}%%

Einer der beiden Schnittpunkte der Graphen von %%f%% und %%g%% ist der Punkt %%S(0,5|-3)%%.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Teilaufgabe verlangt eine Flächenberechnung.

Schraffiere zunächst die zu berechnende Fläche in einer Skizze.

Achtung:

Gemeint ist eine Fläche, deren Rand allein aus Teilen des Graphen von %%f%%, aus Teilen der x-Achse und Teilen des Graphen von %%g%% besteht.

Die richtige Fläche

richtig

Eine falsche Fläche

falsche Fläche

Die Fläche %%A'%% ist deshalb nicht die gemeinte Fläche, da ihr Rand einen Teil der y-Achse enthält.

Dennoch ist %%A'%% hilfreich zur Berechnung der Fläche %%A%%, da - wegen der Symmetrie des Graphen von %%f%% zur y-Achse - gilt: %%A=2\cdot A'%%

Flächenberechnung

So berechnest du die Fläche %%A'%%:

%%\begin{array}{rcll} A'&=&\text{Rechteck}_{ABCD}\;+\displaystyle\color{red}{\big|}\int_{0,5}^1f\left(x\right)\mathrm{dx}\;\color{red}{\big|}\\ &=&\quad 0,5\cdot 3\quad\quad+\,\big |\displaystyle \int_{0,5}^1 (1-\frac{1}{x^2})\mathrm{dx}\,\big |&\text{Beachte:}\int \frac{1}{x^2}\mathrm{dx}=\int x^{-2}\mathrm{dx}=-x^{-1}+c\\ &=&\quad\;\,1,5\quad\quad\quad+\big |\,\big [x\color{red}{+x^{-1}}\big ]_{0,5}^1\,\big |\\ &=&\quad\;\,1,5\quad\quad\quad +\big |(1+1)-(0,5+\color{red}{2}) \big |\\ &=&\quad\;\,1,5\quad\quad\quad+\quad\quad\color{red}{0,5}\\ A'&=&\quad\;\;\,2\end{array}%%

Damit gilt für die gesuchte Fläche %%A%% der Teilaufgabe: $$A=4$$