Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus$ {0} definierte Funktion $f:x\mapsto1-\displaystyle\frac{1}{x^2}$ ,

welche die Nullstellen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$ hat.

Abbildung1 zeigt den Graphen von $f$ , der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 3$ gegeben.

Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die x-Koordinate $\frac12$ hat.

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ , die x-Achse und die Gerade $g$ einschließen.

Im Zusammenhang mit einer gegebenen gebrochenrationalen Funktion ist ein Flächenstück zu berechnen.

Lösung Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sind die beiden Funktionen

$f:x\mapsto 1-\frac{1}{x^2}$ und

$g:x\mapsto -3$

zu schneiden.

Setze die beiden Funktionsterme gleich und löse die Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle 1-\frac{1}{x^2}&=&-3&|\cdot\,x^2\\ x^2-1&=&-3x^2&|+3x^2+1\\4x^2&=&1&|:4\\x^2&=&\displaystyle \frac{1}{4}&| \sqrt{}\\x_1&=&\displaystyle +\frac 12\\x_2&=&\displaystyle -\frac 12\end{array}$

Einer der beiden Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$ ist der Punkt $S (0,5 ∣ - 3)$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Die Teilaufgabe verlangt eine Flächenberechnung.

Schraffiere zunächst die zu berechnende Fläche in einer Skizze.

Achtung:

Gemeint ist eine Fläche, deren Rand allein aus Teilen des Graphen von $f$ , aus Teilen der x-Achse und Teilen des Graphen von $g$ besteht.

Die richtige Fläche

Eine falsche Fläche

Die Fläche $A^{'}$ ist deshalb nicht die gemeinte Fläche, da ihr Rand einen Teil der y-Achse enthält.

Dennoch ist $A^{'}$ hilfreich zur Berechnung der Fläche $A$ , da - wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur y-Achse - gilt: $A=2\cdot A'$

So berechnest du die Fläche $A^{'}$ :

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}A'&=&\text{Rechteck}_{ABCD}\;+\displaystyle{\big|}\int_{0{,}5}^1f\left(x\right)\mathrm{dx}\;{\big|}\\&=&\quad 0{,}5\cdot 3\quad\quad+\,\big |\displaystyle \int_{0{,}5}^1 (1-\frac{1}{x^2})\mathrm{dx}\,\big |&\text{Beachte:}\int \frac{1}{x^2}\mathrm{dx}=\int x^{-2}\mathrm{dx}=-x^{-1}+c\\&=&\quad\;\,1{,}5\quad\quad\quad+\big |\,\big [x+x^{-1}\big ]_{0{,}5}^1\,\big |\\&=&\quad\;\,1{,}5\quad\quad\quad +\big |(1+1)-(0{,}5+2) \big |\\&=&\quad\;\,1{,}5\quad\quad\quad+\quad\quad 0{,}5\\A'&=&\quad\;\;\,2\end{array}$

Damit gilt für die gesuchte Fläche $A$ der Teilaufgabe:

\displaystyle A= 2 \cdot A'= 4

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