Aufgaben
Auf einer Geburstagsparty sind 3030 Kinder.
Du weißt, dass es viermal so viele Mädchen sind wie Jungen.
Wie viele Mädchen und Jungen sind es jeweils?
Löse mit einem Gleichungssystem!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren

Tipp: Versuche die zwei Aussagen als Gleichungen aufzuschreiben und mithilfe eines Verfahrens für Gleichungssysteme zu lösen!

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Wir wissen:
  • 30 Kinder
  • 4 Mal so viele Mädchen wie Jungen
Lege die Variablen fest.
mm: Anzahl der Mädchen
jj: Anzahl der Jungen
Es sind insgesamt 30 Kinder!Jedes Kind ist entweder ein Mädchen oder ein Junge.
I  m+j=30\mathrm{I}\ \ m+j= 30
Die Anzahl der Mädchen ist viermal die Anzahl der Jungen.
Zu beachten: Wir müssen die Anzahl der Jungen mit 4 multiplizieren, nicht die der Mädchen!
II  4j=m\mathrm{II} \ \ 4j=m
Man hat jetzt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Bedenke, dass es drei mögliche Lösungsverfahren gibt.
In dieser Lösung wird das Einsetzungsverfahren verwendet.

Einsetzungsverfahren

1. Schritt: Löse nach einer Variablen auf

Sieh dir die zweite Gleichung an, diese ist schon nach mm aufgelöst.

2. Schritt: Setze mm in I\mathrm{I} ein

mm in I\mathrm{I}
%%\begin{array}{rrl}4j + j &=& 30\\5j&=&30\\ j&=&\color{#009900}6 \end{array}%%
  \displaystyle \;

3. Schritt: Setze jj in II\mathrm{II} ein

jj in II\mathrm{II}
%%\begin{array}{rrl}4\cdot \color{#009900}6 &=&m\\\color{#cc0000}{24}&=&m\end{array}%%


Lösungsmenge bestimmen

L={(jm)=(624)}\mathbb{L}=\{(j|m) = (6|24)\}
Es sind also 66 Jungs und 2424 Mädchen auf der Party.
Eis am Stiel
Mick und Max gehen einkaufen. Mick kauft sich 33 Schokoriegel und 22 Eis und bezahlt 4,80  4,80\;€, Max kauft sich einen Schokoriegel und 22 Eis für 3  3\;€. Kann sich Stefan ein Eis kaufen, wenn er 1,10  1,10\;€ dabei hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Erstelle aus dem Text ein lineares Gleichungssystem. Wähle eine Variable für die Schokoriegel und eine für das Eis.

Suche dir Variablen aus und stelle die Gleichungen auf

Stelle die Gleichungen möglichst gleich so auf, dass alle gleichen Variablen untereinander stehen.
x  =^x\;\widehat{=} Schokoriegel, y  =^y\;\widehat{=} Eis
%%\begin{array}{rrll}&\mathrm{I}& 3x + 2y &=& 4,80\\&\mathrm{II}& 1x + 2y &=& 3\end{array}%%
Wie du siehst, kommt zwei mal 2y2y vor. Deswegen lässt sich hier das Additions-/Subtraktionsverfahren gut verwenden. Da hier dasselbe Vorzeichen in beiden Gleichungen vorliegt, musst du die Gleichungen subtrahieren.
%%\begin{array}{llccll}&&\mathrm{I}& 3x &+& 2y &=& 4,80\\&- &\mathrm{II}& 1x &+& 2y &=& 3\\\hline&&&2x&+&0&=&1,80\end{array}%%


Nach der ersten Variablen auflösen

%%\begin{array}{rrl}2x+0&=&1,80\\x&=&\color{#009900}{0,90}\end{array}%%
:2|:2

Setze xx in I\mathrm{I} oder II\mathrm{II} ein

xx in II\mathrm{II}
%%\begin{array}{rrl}\color{#009900}{0,90} + 2y&=&3\\2y&=&2,10\\y&=&\color{#cc0000}{1,05}\end{array}%%


Lösungsmenge

L={(xy)=(0,91,05)}\mathbb{L}=\{(x|y)=(0,9|1,05)\}

Lösung im Sachkontext

Ein Schokoriegel kostet also 0,90  0,90\;€ und ein Eis 1,05  1,05\;€. Stefan kann sich folglich ein Eis kaufen.

Brennende Kerzen

Brennende Kerzen

Beide Kerze brennen langsam herunter. Da die rote Kerze deutlich dünner ist als die blaue, wird sie schneller kleiner. Am Anfang der Beobachtung ist die blaue Kerze %%6%% cm und die rote %%13%% cm hoch. Man hat bereits beobachtet, dass in einer Stunde die blaue um %%5%% mm und die rote %%9%% mm herunter brennt.

Stelle für beide Kerzen jeweils eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe hh in Abhängigkeit der Zeit tt darstellt. Es wird angenommen, dass die Kerzen gleichmäßig abbrennen.

Berechne nun, nach wie vielen Stunden die Kerzen gleich lang sind, indem du die beiden Funktionen als Gleichungen mit den Variablen %%h%% und %%t%% auffasst.

Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:

%% \begin{array}{lrll} \hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I} &h &= &-0,5t+6 \\ \mathrm{II} &h &= &-0,9t+13 \end{array} %%

Um nun die Zeit %%t%% zu finden an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.


Beide Gleichungen sind bereits nach %%h%% aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.

1. Gleichsetzen

%%\Rightarrow -0,5t+6 = -0,9t+13%%

2. Nach t auflösen

%% \begin{array}{rll} -0,5t+6 &= &-0,9t+13 \\ 0,4t + 6 &= &13 \\ 0,4t &= &7 \\ t &= &17,5 \end{array} %%

%% | +0,9t \\ | -6 \\ | :0,4 %%


Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe %%h%%.

Tipp: Berechne zuerst auf welche Höhe die beiden Kerzen herunter gebrannt sind, wenn sie gleich groß sind. Versuche dann noch einmal deine Ergebnisse im Bezug auf zwei brennende Kerzen in Worte zu fassen.

Höhe der Kerzen:

Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach 17,517,5 Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie? Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen, sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit t=17,5t = 17,5 muss noch die Höhe hh berechnet werden.
3. Einsetzen in eine der Gleichungen

%%\begin{array}{lll}h &= &-0,5\cdot (\color{red}{17,5}) + 6 \\&= &-8,75 +6 \\&= &-2,75\end{array}%%
Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung I\mathrm{I} ein und vereinfache.
Als Lösungsmenge ergibt sich also:
In Worten: Nach 17,517,5 Stunden sind beide Kerzen 2,75-2,75 cm groß.
Was bedeutet das 2,75\color{red}{-}2,75 cm?
Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.
Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der roten Kerze hrot=0,5t+6h_{rot} = -0,5t+6 kann man berechnen, dass diese bereits nach 1212 Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechung von Nullstellen)
Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.
KerzenGraph

Antwort:

Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.
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