Max behauptet: „Werden bei einem Rechteck alle Seitenlängen verdoppelt, dann verdoppelt sich auch sein Flächeninhalt.“
Hat Max recht? Kreuze an. Begründe deine Entscheidung mit einem Beispiel.(1,5 Punkte)
Nein
Ja

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen aa und bb ist:
ARechteck=ab\displaystyle A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b
Wir schauen nun ein Gegenbeispiel an. Damit können wir beweisen, dass die Aussage nicht immer stimmt, also falsch ist.
Wir suchen uns nun die Seitenlängen a=4cma=4\,\mathrm{cm} und b=5cmb=5\,\mathrm{cm} aus, du kannst aber auch alle anderen Zahlen verwenden. Der Flächeninhalt A1A_1 dieses Rechtecks ist:
A1=ab=4cm5cm=20  cm2\displaystyle {{A}}_{1} = a \cdot b = 4\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} = 20\;\mathrm{cm}^{2}
Wenn wir die Seitenlängen verdoppeln, dann bekommen wir 2a=24cm=8cm2a=2\cdot 4\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm} und 2b=25cm=10cm2b=2\cdot 5\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}. Das Rechteck mit den verdoppelten Seitenlängen hat also den Flächeninhalt:
A2=2a2b=8cm10cm=80cm2\displaystyle {{A}}_{2} = 2a \cdot2b = 8\,\mathrm{cm} \cdot 10\,\mathrm{cm}= 80\mathrm{cm}^{2}
Nun ist 80cm280\,\mathrm{cm}^2 nicht das Doppelte von 20cm220\,\mathrm{cm}^2. Das Doppelte von 20cm220\,\mathrm{cm}^2 ist nämlich 220cm2=40cm22\cdot 20\,\mathrm{cm}^2 = 40\,\mathrm{cm}^2. Damit ist die Aussage falsch.
Anmerkung: Der Flächeninhalt wird immer viermal so groß.
Der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks ist A1=abA_1=a\cdot b. Wenn die Seiten verdoppelt werden, dann sind die neuen Seitenlängen 2a2a und 2b2b. Der neue Flächeninhalt ist dann:
$$\begin{array}{rll}A_2 & = 2a \cdot 2b & \left| \text{Kommutativgesetz anwenden} \right. \\ & =2\cdot 2\cdot a\cdot b \\ & =4\cdot a\cdot b & \left| \text{Ersetze }a\cdot b\text{ mit }A_1 \right. \\ & =4\cdot A_1\end{array}$$
Der neue Flächeninhalt A2A_2 ist viermal so groß wie der ursprüngliche Flächeninhalt A1A_1.