Zur Lösung quadratischer Gleichungen kann man die pq-Formel benutzen. Dieser Artikel erklärt dir mit anschaulichen Beispielen, wie man die pq-Formel verwendet. In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form %%ax^2+bx+c=0%%. Die Variablen %%a%%, %%b%% und %%c%% können durch beliebige Werte ersetzt werden.

Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:

  • %%x^2+2x+3=0%%

%%a=1%%, %%b=2%%, %%c=3%%

  • %%2x^2+6x+2=0%% oder

%%a=2%%, %%b=6%%, %%c=2%%

  • %%3x^2+4x+1=0%%

%%a=3%%, %%b=4%%, %%c=1%%

Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass %%a%% nicht %%0%% sein darf.

Hier erfährst du den Grund

In dem Fall wäre %%ax^2+bx+c=bx+c%%. Das ist keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung. Für diese Art benötigt man nicht die pq-Formel zur Lösung.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Artikel Quadratische Gleichung.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen %%x_1%% und %%x_2%%. Hat die quadratische Gleichung die Form %%x^2+px+q=0\;%%, so berechnet man die beiden Lösungen %%x_1%% und %%x_2%% mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:

$$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$

Achtung!

  • Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden %%a=1%% sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:
  • %%x^2+2x+3=0%% hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden %%a%% eine %%1%% (%%x^2%% entspricht %%1x^2%%) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.
  • %%2x^2+6x+2=0%% hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden %%a%% eine %%2%% (%%2x^2%%) und muss zuerst umgeformt werden.
  • Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei %%\left(\frac p2\right)^2-q=0%% die Lösungen %%x_1\;\mathrm{und}\;x_2%% zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden %%a=1%% sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen. So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch %%a%%:

  1. %%ax^2+bx+c=\frac0a%%

  2. %%x^2+\frac bax+\frac ca=0%%

Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel %%x^2+4x+3=0%% (%%a=1%%, %%p=4%%, %%q=3%%) hat als Vorfaktor eine %%1%% und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden:

$$x_{1,2}=-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-3}$$

Nun lösen wir die Formel:

  1. %%x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}%%
  2. %%x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}%%
  3. %%x_{1,2}=-2\pm\sqrt{1}%%
  4. Somit ist %%x_{1}=-2+1%%
  5. Und %%x_{2}=-2-1%%

Die Lösung lautet also:

  • %%x_{1}=-1%% und
  • %%x_{2}=-3%%

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel %%2x^2+8x+2=0%% (%%a=2%%, %%p=8%%, %%q=2%%) hat als Vorfaktor eine %%2%%. Die Umformung schaut wie folgt aus:

$$x^2+\frac 82x+\frac 22=0$$

Kürzt man diese, erhält man:

$$x^2+4x+1=0$$

Setzt man diese nun in die pq-Formel ein, erhält man folgende Gleichung:

$$x_{1,2}=-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-1}$$

Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:

  1. %%x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-1}%%
  2. %%x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-1}%%
  3. %%x_{1,2}=-2\pm\sqrt{3}%%
  4. Somit ist %%x_{1}=-2+\sqrt{3}%%
  5. Und %%x_{2}=-2-\sqrt{3}%%

Die Lösung lautet also:

  • %%x_{1}=-2+\sqrt{3}%% und
  • %%x_{2}=-2-\sqrt{3}%%

Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform %%x^2+px+q=0%% mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.

Zunächst bringt man %%q%% auf die rechte Seite

%%x^2 + px = -q%%

Quadratische Ergänzung: Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung %%\left(\frac p2\right)^2%%

%%x^2 + 2 \cdot \frac p2 \, x + \left(\frac p2\right)^2 = \left(\frac p2\right)^2 - q%%

Erste binomische Formel rückwärts:

%%\left(x + \frac p2 \right)^2 = \left(\frac p2\right)^2 - q%%

Auflösen nach %%x%%. Dazu zuerst das Quadrieren rückgängig machen: %%\pm \sqrt{\ \ }%%

%%x + \frac p2 = \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}%%

Auf beiden Seiten %%- \frac p2%%:

%%x = -\frac p2\pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}%%

Fertig.

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.

Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch %%a%%:

  1. %%ax^2+bx+c=0%%

  2. %%x^2+\frac bax+\frac ca=0%%

Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-{\frac ba}\pm\sqrt{\left({\frac ba}\right)^2-4\cdot1\cdot \frac ca}}{2\cdot1}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba}2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}%%

Wenn man für %%\frac ba = p%% einsetzt und für %%\frac ca = q%% ergibt sich die pq-Formel:

$$\displaystyle x_{1,2}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba\ }2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-\frac44q}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$

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Vielen Dank für die schöne Zusammenfassung. Eine Anmerkung habe ich zu dem ersten Teil, wo die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung dargestellt wird. Die Verwendung der Bezeichner "p" und "q" erscheint nicht ganz konsistent. Zu Beginn wurde beschrieben "Quadratische Gleichungen haben die Form ax2+px+q=0. Die Variablen a, p und q können durch beliebige Werte ersetzt werden." und später "Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1 sein." Das heißt aber in den oben genannten Beispielen, in denen a ungleich 1 ist, dass nicht "p" und "q" eingesetzt werden können, sondern "p/a" bzw. "q/a". Ich denke das könnte so wie es jetzt da steht irritieren, vielleicht wäre es besser nur in der Normalform einer quadratischen Gleichung "p" und "q" zu verwenden und in der allgemeinen Form (mit a nicht notwendig gleich 1) die Bezeichner "b" und "c", also ax2+bx+c=0. Im Abschnitt "Den quadratischen Vorfaktor umformen" wurde diese Notation so verwendet, bei den Musterbeispielen wieder die Notation mit "p" und "q". Schönen Gruß, Hauke
Rebi 2017-11-20 19:21:38
Hallo Hauke,
ich bin deiner Meinung, man sollte in der allgemeinen Formel a, b und c verwenden und in der bereits umgeformten Form p und q.
Kannst du es ausbessern? Das wäre sehr schön. Falls nicht, werde ich mich in den nächsten Tagen darum kümmern.
Liebe Grüße,
Rebi
Rebi 2017-12-03 09:28:45
So, ich habe es ausgebessert.
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Hallo,
kann mir einer erklären wie ich die Erklärung in Word oder ähnlichem ausdrucken kann. Wenn ich es kopiere und in Word einfüge, dann ist alles durcheinander. Ich möchte es ausdrucken um damit zu lernen. danke für Eure Hilfe.
Digamma 2016-11-25 13:42:27
Hallo Jana,
ich kann dir leider nicht erklären, wie du den Text nach Word kopieren kannst, ohne dass die Formeln kaputtgehen. Aber du kannst versuchen, den Text einfach mit der Druck-Funktion des Browsers auszudrucken. Auf dem Ausdruck erscheinen dann zwar auch die Steuerelemente oben auf der Seite, der Text selbst müsste aber in Ordnung sein.
Viele Grüße, Digamma
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Ist es erwünscht, evtl. in einem Spoiler, eine Herleitung der pq-Formel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung einzufügen?
peterjaumann 2016-11-10 14:36:33
Hallo Digamma,

gute Idee! Gerade in einem Spoiler kann ich mir das sehr gut vorstellen. Üblicherweise kennzeichnen wir derartige Spoiler mit "Vertiefung: [...]", wie du auch in den Richtlinien nochmals nachlesen kannst:
https://de.serlo.org/richtlinie-artikel-gliederung#

Viele Grüße
Peter
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