Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen (z.B. Position von Nullstellen, Hochpunkten etc.)

Dieser Artikel behandelt nur Funktionsterme in Form von Polynomen.

Eine beispielhafte Aufgabe wäre:

Finde eine Funktion 2. Grades, die eine doppelte Nullstelle bei 1 besitzt und durch den Punkt (0,1) verläuft.

Der allgemeine Ansatz

Als erste Information benötigt man den Grad der zu bestimmenden Funktion. Davon ausgehend lässt sich die allgemeine Funktionsgleichung %%f(x)=ax^n+bx^{n-1}+…%% aufstellen. Ziel ist es nun, die Unbekannten a,b,… zu bestimmen. Dazu sind mehrere Informationen erforderlich, die jeweils unterschiedliche Gleichungen liefern. Zum Beispiel resultiert aus der Information, dass ein gegebener Punkt %%\boldsymbol P=(p_x,p_y)%% auf dem Funktionsgraphen liegt, die Gleichung

%%a\cdot p_x^n+b\cdot p_x^{n-1}+…=p_y%%

Mehrere Bedingungen führen zu mehreren Gleichungen, die zusammen ein Lineares Gleichungssystem ergeben, dessen Lösung die Koeffizienten a,b,… sind.

Von der Information zur Gleichung

Ein großer Teil der Arbeit bei dieser Problemstellung liegt im Aufstellen der zu einer Information zugehörigen Gleichungen. In der folgenden Tabelle steht links jeweils die gegebene Information, in der Mitte die allgemeine Gleichung die daraus resultiert und rechts ein erläuterndes Beispiel.

In den folgenden drei Abschnitten wird hinsichtlich der Anzahl an Gleichungen, die eine Information liefert, unterschieden.

 

Einfache Information

Sei die allgemeine Funktion f beispielhaft vom Grad 3:

  • %%f(x)=ax^3+bx²+cx+d%%

  • %%f`(x)=3ax²+2bx+c%%

  • %%f``(x)=6ax+2b%%

 

Information

allgemeine Gleichung

(am Beispiel von Gleichungen vom Grad 3)

Beispiel

%%f%% besitzt eine Nullstelle (%%f(x)=0%%) bei  %%N_1%%

%%a\cdot N_1^3+b\cdot N_1^2+c \cdot N_1+d=0%%

%%N_1 =2:%% %%a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d=0%%

%%G_f%%  verläuft durch  %%P=(p_x,p_y)%%

%%a\cdot p_x^3+b\cdot p_x^2+c \cdot p_x+d=p_y%%

%%P=(2,3)%% :     %%a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d=3%%

%%f%% hat eine Extremstelle (%%f'(x)=0%%) bei  %%E_1%%

%%3a\cdot E_1^2+2b\cdot E_1+c=0%%

%%f'(2)=0:%% %%3a\cdot4+2b\cdot2+c=0%%

f hat eine Wendestelle (%%f''(x)=0%%) bei %%W_1%%  

%%6a\cdot W_1 +2b=0%%

%%f''(2)=0%% :    %%6a\cdot2+2b=0%%

Beispiel

Gesucht ist eine Funktion vom Grad 2, die eine Nullstelle bei x=2 besitzt, durch den Punkt P=(-1,-3) verläuft und ein Minimum bei %%\mathbf x\boldsymbol=\frac{\mathbf1}{\mathbf4}%% besitzt. 

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad 2

%%\Rightarrow f(x)=ax^2+bx+c%%, %%\Rightarrow f'(x)=2ax+b%%

Nullstelle bei %%x=2%%

%%\Rightarrow f(2)=0%%

%%\Rightarrow a\cdot 4 +b \cdot 2 +c=0%%

Durch den Punkt %%P=(-1,-3)%%

%%\Rightarrow f(-1)=-3%%

%%\Rightarrow a\cdot1+b\cdot (-1)+c=-3%%

Minimum bei %%x=\frac14%%

%%\Rightarrow f'(\frac14)=0%%

%%\Rightarrow 2\cdot a\cdot \frac14+b=0%%

  

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem

 

$$\begin{array}{cccccccc}(\mathrm I)&4a&+&2b&+&1c&=&0\\(II)&1a&-&1b&+&1c&=&-3\\(III)&\frac12a&+&1b&+&0c&=&0\end{array}$$

mit der eindeutigen Lösung

%%a=2%%, %%b=-1%%, %%c=-6%%

also hat %%f%% die Form $$f(x)=2x^2-x-6$$

8237_No0t0I130G.xml

Mehrfache Information

Viele Aussagen verraten uns mehrere Information auf einmal.

Die folgende Tabelle stellt die Aussagen den eigentlichen Informationen gegenüber.

 

Aussage

Einfache Informationen

%%f%% besitzt eine doppelte Nullstelle bei  %%N_1%%

  • %%f%% besitzt eine Nullstelle bei  %%N_1: f(N_1)=0%%

  • %%f%% besitzt eine Extremstelle bei  %%N_1:f'(N_1)=0%%

%%f%% besitzt einen Extrempunkt bei  %%P=(p_x,p_y)%%

  • %%f%% verläuft durch den Punkt %%P: f(p_x)=p_y%%

  • %%f%% besitzt eine Extremstelle bei %%P: f'(p_x)=0%%

%%f%% besitzt einen Wendepunkt bei  %%P=(p_x,p_y)%%

  • %%f%% verläuft durch den Punkt %%P: f(p_x)=p_y%%

  • %%f%% besitzt eine Wendestelle bei %%P: f''(p_x)=0%%

%%f%% besitzt eine Sattelstelle bei %%S_1=(p_x,p_y) %%

  • %%f'(p_x)=0%%

  • %%f''(p_x)=0%%

Beispiel

Gesucht ist eine Funktion vom Grad 3,

%%f(x)=ax^3+bx²+cx+d%% ,

%%f`(x)=3ax²+2bx+c%% ,

%%f``(x)=6ax+2b%%

die eine Doppelte Nullstelle bei %%N_1=-1%%

  • %%a\cdot(-1)+b\cdot1+c\cdot(-1)+d=0%%
  • %%3a\cdot1+2b\cdot(-1)+c=0%%

und einen Extrempunkt bei %%E=(1,1)%%

  • %%a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot1+d=1%%
  • %%3a\cdot1+2b\cdot1+c=0%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem

 

%%\begin{array}{ccccc}-1a&+1b&-1c&+1d&=0\\3a&-2b&+1c&+0d&=0\\3a&+2b&+1c&+0d&=0\\a&+1b&+1c&+1d&=1\end{array}%%

mit der eindeutigen Lösung

%%a=-\frac14\;,\;b=0\;,\;c=\frac34\;,\;d=\frac12%%

also hat f die Form $$f(x)=-\frac14x^3+\frac34x+\frac12$$

8239_uor3lI8epk.xml

 

 

Besondere Informationen

Aus manchen Informationen resultieren noch stärkere Aussagen als die bisher beschriebenen.

Information

Auswirkung

Beispiel

%%f%% ist achsensymetrisch zur y-Achse

alle Variablen vor ungeraden Potenzen von %%x%% entfallen

%%f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e%%

wird zu

%%f(x)=ax^4+cx^2+e%%

%%f%% ist punktsymetrisch zum Ursprung

alle Variablen vor geraden Potenzen von %%x%% entfallen

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

wird zu

%%f(x)=ax^3+cx%%

Beispiel

---folgt in Kürze!

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